河南省洛阳市第三十四中学高三数学理上学期期末试卷含解析

河南省洛阳市第三十四中学高三数学理上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 如图，为了测量A、C两点间的距离，选取同一平面上B、D两点，测出四边形ABCD各边的长度（单位：km）：AB=5，BC=8，CD=3，DA=5，且∠B与∠D互补，则AC的长为（　　）km． A．7 B．8 C．9 D．6 参考答案： A 【考点】解三角形的实际应用． 【分析】分别在△ACD，ABC中使用余弦定理计算cosB，cosD，令cosB+cosD=0解出AC． 【解答】解：在△ACD中，由余弦定理得：cosD==， 在△ABC中，由余弦定理得：cosB==． ∵B+D=180°，∴cosB+cosD=0，即+=0， 解得AC=7． 故选：A． 2. 如图,在三棱锥中，已知，，，，则异面直线与所成的角的大小为 （A）.                           （B）           （C）                            （D） 参考答案： D 略 3. 已知集合M={y|y=2x，x＞0}，N={y|y=lgx，x∈M}，则M∩N为(     ) A．（1，+∞） B．（1，2） C．[2，+∞） D．[1，+∞） 参考答案： A 【考点】对数函数的定义域；交集及其运算． 【专题】计算题． 【分析】利用指数函数的性质，求出集合M，对数函数的值域求出集合N，然后求解交集即可． 【解答】解：集合M={y|y=2x，x＞0}={y|＞1}， N={y|y=lgx，x∈M}={y|y＞0}， 所以M∩N={y|y＞1}． 故选A． 【点评】本题考查集合的交集的求法，求出函数的值域是解题的关键． 4. 中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N=n（modm），例如11=2（mod3）．现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n等于（　　） A．21 B．22 C．23 D．24 参考答案： C 【考点】EF：程序框图． 【分析】该程序框图的作用是求被3和5除后的余数为2的数，根据所给的选项，得出结论． 【解答】解：该程序框图的作用是求被3除后的余数为2，被5除后的余数为3的数， 在所给的选项中，满足被3除后的余数为2，被5除后的余数为3的数只有23， 故选：C． 5. 由曲线与直线所围成的封闭图形的面积为 （   ） 　A．　　　B．　　　C．　　　D． 参考答案： D 略 6. 若则 A.     B.     C.       D. 参考答案： A 7. 若数列的通项为，则其前项和为（   ） A．     B．  C．      D． 参考答案： D 法1：因为,所以 。选D. 法2：使用特种法。因为，所以，此时B,.C不成立，排除。。A, ,不成立，排除A,所以选D. 8. A.        B.      C.     D. 参考答案： C 9. 若，则 A.      B.     C.      D. 参考答案： C 10. 为了得到函数y=sin2x的图象，只需将函数的图象（   ） A．向左平移个单位     B．向右平移个单位    C．向左平移个单位   D．向右平移个单位 参考答案： A 试题分析：因为，所以的图象向左平移个单位后可得的图象，所以为了得到函数的图象，只需把的图象向左平移个单位，故选A. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若是平面内夹角为的两个单位向量，则向量的夹角为          ． 参考答案： 12. 函数的定义域是                         　　 参考答案： 13. 已知，若恒成立，则实数的取值范围是         。 参考答案： ； 14. 对于在区间上有意义的两个函数和，如果对任意，均有, 那么我们称和在上是接近的．若与在闭区间上是接近的，则的取值范围是   △  ． 参考答案： 答案： 15. （文）若函数在区间内有零点，则实数a的取值范围是___． 参考答案： 由得，即，设。设，则函数在上递减，在上递增，所以，即，即，所以，即则实数a的取值范围是。 16. 设实数，若仅有一个常数c使得对于任意的，都有满足方程，这时，实数的取值的集合为         。 参考答案： 17. 过双曲线的一个焦点F作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF(O为原点)的垂直平分线上，则双曲线的离心率为            . 参考答案： 不妨设F为左焦点，过F作渐近线的垂线，垂足为M,若垂足恰在线段OF(O为原点)的垂直平分线上，则说明直角三角形FMO为等腰直角三角形，所以渐近线的的斜率为1，即，所以，所以双曲线的离心率为。 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知 （Ⅰ）当时，求函数的极值； （Ⅱ）若函数没有零点，求实数的取值范围. 参考答案： 解：（Ⅰ）， 当时，，. 2 0 ↘ 极小值 ↗ 所以，函数的极小值为， 无极大值. （Ⅱ）. (1)当时，的情况如下表： 2 0 ↘ 极小值 ↗ 若使函数F(x)没有零点，当且仅当， 解得, 所以此时； （2）当时，的情况如下表： 2 0 ↗ 极大值 ↘ 因为,且， 所以此时函数总存在零点. （或：因为,又当时，； 故此时函数总存在零点.） （或：当时， 当时，令 即 由于 令得，即时，， 即时，存在零点.） 综上所述，所求实数的取值范围是 略 19. 如图，PD⊥平面，，点E，F，M分别为AP，CD，BQ的中点. （Ⅰ）求证：EF∥平面MPC； （Ⅱ）求二面角的正弦值； （Ⅲ）若N为线段CQ上的点，且直线DN与平面PMQ所成的角为，求线段QN的长. 参考答案： （Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）. 【分析】 （Ⅰ）连接，证得，利用用线面判定定理，即可得到； （Ⅱ）以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向的空间直角坐标系，求得平面和平面法向量，利用向量的夹角公式，即可求解． （Ⅲ）设，则，从而， 由（Ⅱ）知平面的法向量为，利用向量的夹角公式，得到关于的方程，即可求解． 【详解】（Ⅰ）连接，因为，所以，又因为，所以为平行四边形. 由点和分别为和的中点，可得且， 因为为的中点，所以且，可得且，即四边形为平行四边形，所以，又，， 所以. （Ⅱ）因为，，可以建立以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向的空间直角坐标系. 依题意可得， . 设为平面的法向量， 则，即，不妨设，可得 设为平面的法向量， 则，即，不妨设，可得. ，于是. 所以，二面角的正弦值为. （Ⅲ）设，即，则. 从而. 由（Ⅱ）知平面的法向量为， 由题意，，即， 整理得，解得或， 因为所以，所以. 【点睛】 本题考查了线面平行的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.   20. （本小题满分12分）     已知函数f（x）=2 sin（0≤x≤5），点A、B分别是函数y=f（x）图像上的最高点和最低点．        （1）求点A、B的坐标以及·的值；        （2）没点A、B分别在角、的终边上，求tan（）的值． 参考答案： 解：（1）， ，     …………………………………1分 ．  ……………………………………………………………2分 当，即时，，取得最大值； 当，即时，，取得最小值．  因此，点、的坐标分别是、．   ………………………………4分 ．   ……………………………………………………6分 （2）点、分别在角、的终边上， ，，             …………………………………………8分 ，       ………………………………………………10分 ． ………………………………………………12分   略 21. 如图，在各棱长均为2的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面A1ACC1⊥底面ABC． （1）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积； （2）已知点D是平面ABC内一点，且四边形ABCD为平行四边形，在直线AA1上是否存在点P，使DP∥平面AB1C？若存在，请确定点P的位置，若不存在，请说明理由． 参考答案： 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的性质． 【分析】（1）取AC中点O，连结AO，BO，摔倒导出BO⊥面A1ACC1，AO⊥面ABC，由此能求出三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积． （2）点P与A1重合时，连结AD，CD，A1D，推导出四边形A1B1CD是平行四边形，从而A1D∥B1C，由此得到DP∥平面AB1C． 【解答】解：（1）取AC中点O，连结AO，BO， ∵在各棱长均为2的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面A1ACC1⊥底面ABC． ∴BO⊥面A1ACC1，∴BO⊥AO，A1C=A1A，∴AO⊥AC，∴AO⊥面ABC， ∴AO=BO==， ∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积： V=S△ABC?AO===3． （2）点P与A1重合时，DP∥平面AB1C． 证明如下： 连结AD，CD，A1D， ∵四边形ABCD为平行四边形，∴A1B2ABCD， ∴四边形A1B1CD是平行四边形，∴A1D∥B1C， ∵B1C?平面AB1C，A1D?平面AB1C，∴A1D∥平面AB1C， ∴DP∥平面AB1C． 【点评】本题考查三棱柱的体积的求法，考查满足线面平行的点的位置的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用． 22. （12分） 如图，在长方体中，，点在棱上移动． （1）求证：； （2）为中点时，求点到平面 的距离； （3）等于何值时，二面角的大小是．     参考答案： 解析：（1）由于 ，，根据三垂线定理， 得．                                               (4分) 　（2）设到平面的距离为． 在中，，，，　　 而，，      得．                                               (8分) 　（3）过作于，连接，则． 为二面角的平面角．设则在中， ，得． 由于,  即，    解得． 　 因此，当时，二面角的大小为．      (12分)