湖南省娄底市冷水江潘桥中学高三数学文期末试题含解析

湖南省娄底市冷水江潘桥中学高三数学文期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设集合，则＝（    ） A．    B．      C．    D．R 参考答案： B 略 2. 函数在一个周期内的图象如右图，此函数的解析式为   （    ） A．      B． C．        D． 参考答案： A 3. 在中，角A,B,C所对应的边分别为则“”是 “”的（    ） A．充分必要条件         B．充分非必要条件       C．必要非充分条件       D．非充分非必要条件 参考答案： A 解析：本题考查正弦定理的应用。由于所以 所以，故“”是 “”的充要条件，故选答案为A. 4. 在等差数列中，若，则 的值为（  ）     A．24               B．15               C．16               D．17 参考答案： 答案：A  5. 为了解决某学校门前公路的交通状况，从行驶过的汽车中随机抽取辆进行统计分析，绘制出关于它们车速的频率分布直方图（如图所示），那么车速在区间的汽车大约有（    ） （A）20辆 （B）40辆 （C）60辆 （D）80辆       参考答案： D 略 6. 对于平面和共面的直线、下列命题中真命题是     （A）若则　　　　（B）若则     （C）若则　　　　（D）若、与所成的角相等，则 参考答案： 答案：C 解析:对于平面和共面的直线、，真命题是“若则”，选C. 7. 已知函数，则下列说法正确的是（    ） A. f（x）的最小正周期为2π B. f（x）的最大值为 C. f（x）在上单调递增 D. f（x）的图象关于直线x对称 参考答案： B 【分析】 根据倍角公式和辅助角公式化简，得.可直接判断的正误；选项，求出的取值范围，判断的单调性，即得的正误；选项，把代入，看是否取得最值，即得的正误. 【详解】 . 的最小正周期为，最大值为，故错误，正确. 对，当时，，又在上单调递减，在上单调递减.故错误. 对，，不最值，故错误. 故选：. 【点睛】本题考查三角恒等变换和三角函数的性质，属于中档题. 8. 若，则      ▲      . 参考答案： 9. 函数是奇函数的充要条件是（   ） A．   B．     C．或       D．或  参考答案： 答案：B 10. 已知点A、B、C、D均在球O上，AB=BC=，AC=3，若三棱锥D﹣ABC体积的最大值为，则球O的表面积为(     ) A．36π B．16π C．12π D．π 参考答案： B 考点：球内接多面体． 专题：综合题；空间位置关系与距离． 分析：确定∠BAC=120°，S△ABC=，利用三棱锥D﹣ABC的体积的最大值为，可得D到平面ABC的最大距离，再利用勾股定理，即可求出球的半径，即可求出球O的表面积． 解答： 解：设△ABC的外接圆的半径为r，则 ∵AB=BC=，AC=3，∴∠BAC=120°，S△ABC=， ∴2r==2 ∵三棱锥D﹣ABC的体积的最大值为， ∴D到平面ABC的最大距离为3， 设球的半径为R，则R2=3+（3﹣R）2， ∴R=2， ∴球O的表面积为4πR2=16π． 故选：B． 点评：本题考查球的半径，考查体积的计算，确定D到平面ABC的最大距离是关键． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 将直线绕原点顺时针旋转，再向左平移１个单位，所得到的直线的方程为_________．   参考答案： 解：直线绕原点顺时针旋转的直线为，再将向左平移１个单位得，即． 12. 若函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图所示，则ω=　  　． 参考答案： 3 【考点】正弦函数的图象． 【分析】由函数y=sin（ωx+φ）的部分图象求出周期T，从而求出ω的值． 【解答】解：由函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象知， =（x0+）﹣x0=， ∴T=， 即=， 解得ω=3． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查了y=Asin（ωx+?）的图象与性质的应用问题，是基础题． 　 13. 已知数列{an}中，a1=a，an+1=3an+8n+6，若{an）为递增数列，则实数a的取值范围为　　． 参考答案： （﹣7，+∞） 【考点】8H：数列递推式． 【分析】an+1=3an+8n+6，a1=a，可得：n=1时，a2=3a+14．n≥2时，an=3an﹣1+8n﹣2，相减可得：an+1﹣an+4=3（an﹣an﹣1+4），a=﹣9时，可得an+1﹣an+4=0，数列{an}是单调递减数列，舍去．由数列{an+1﹣an+4}是等比数列，首项为2a+18，公比为3．利用“累加求和”方法可得an，根据{an）为递增数列，因此?n∈N*，an+1＞an都成立．解出即可得出． 【解答】解：∵an+1=3an+8n+6，a1=a， ∴n=1时，a2=3a1+14=3a+14． n≥2时，an=3an﹣1+8n﹣2， 相减可得：an+1﹣an=3an﹣3an﹣1+8， 变形为：an+1﹣an+4=3（an﹣an﹣1+4）， a=﹣9时，可得an+1﹣an+4=0，则an+1﹣an=﹣4，是单调递减数列，舍去． ∴数列{an+1﹣an+4}是等比数列，首项为2a+18，公比为3． ∴an+1﹣an+4=（2a+18）×3n﹣1． ∴an+1﹣an=（2a+18）×3n﹣1﹣4． ∴an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1 =（2a+18）×（3n﹣2+3n﹣3+…+3+1）﹣4（n﹣1）+a =（2a+18）×﹣4n+4+a =（a+9）（3n﹣1﹣1）﹣4n+4+a． ∵{an）为递增数列，∴?n∈N*，an+1＞an都成立． ∴（a+9）（3n﹣1）﹣4（n+1）+4+a＞（a+9）（3n﹣1﹣1）﹣4n+4+a． 化为：a＞﹣9， ∵数列{}单调递减，∴n=1时取得最大值2． ∴a＞2﹣9=﹣7． 即a＞﹣7． 故答案为：（﹣7，+∞）． 【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、“累加求和”方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 14. 某校高三年级的学生共1000人，一次测验成绩的分布直方图如右图所示，现要按右图所示的4个分数段进行分层抽样，抽取50人了解情况，则80~90分数段应抽取         人． 参考答案： 20 15. 已知数列与均为等差数列（），且，则     ． 参考答案： 20； 16. 已知曲线及点，若曲线上存在相异两点，其到直线的距离分别为和，则          ． 参考答案： 14 17. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著《数书九章》中提出的求多项式值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图，是利用秦九韶算法求一个多项式的值，若输入n、x的值分别为3、 ，则输出v的值为______ 参考答案： 【分析】 此程序框图是循环结构图，模拟程序逐层判断，得出结果. 【详解】解： 模拟程序： 的初始值分别为 第1次循环：，，不满足； 第2次循环：，，不满足； 第3次循环：，，满足； 故输出. 【点睛】本题考查了程序框图的循环结构，解题的关键是要读懂循环结构的流程图，根据判断框内的条件逐步解题.   三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分13分）   已知函数，． （Ⅰ）若，求的单调递增区间； （Ⅱ）若，求的最小正周期的表达式并指出的最大值． 参考答案： 解：（Ⅰ）当时， ． 令． 解得． 所以的单调递增区间是.……………………7分 （Ⅱ）由                           ． 因为，所以． 则，．      解得． 又因为函数的最小正周期，且， 所以当时，的最大值为． ………………………………………13分 19. 在极坐标系下，已知圆O：ρ=cosθ+sinθ和直线l：． （1）求圆O和直线l的直角坐标方程； （2）当θ∈（0，π）时，求直线l与圆O公共点的极坐标． 参考答案： 【考点】简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系． 【专题】计算题． 【分析】（1）圆O的方程即ρ2=ρcosθ+ρsinθ，可得圆O 的直角坐标方程为：x2+y2=x+y，即x2+y2﹣x﹣y=0． （2）由，可得直线l与圆O公共点的直角坐标为（0，1），由此求得线l与圆O公共点的极坐标． 【解答】解：（1）圆O：ρ=cosθ+sinθ，即ρ2=ρcosθ+ρsinθ， 故圆O 的直角坐标方程为：x2+y2=x+y，即x2+y2﹣x﹣y=0． 直线l：，即ρsinθ﹣ρcosθ=1，则直线的直角坐标方程为：y﹣x=1，即x﹣y+1=0． （2）由，可得  ，直线l与圆O公共点的直角坐标为（0，1）， 故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为． 【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆的位置关系，属于基础题． 20. （本小题满分14分). 数列的前n项和为，和满足等式    （Ⅰ）求的值；    （Ⅱ）求证：数列是等差数列；    （Ⅲ）若数列满足，求数列的前n项和；    （Ⅳ）设，求证： 参考答案： 解：（I）由已知:                     …………2分        （II）∵    同除以                          …………4分   是以3为首项，1为公差的等差数列.                    …………6分    （III）由（II）可知,                    ……………7分      当                经检验，当n=1时也成立             ………………9分      …………10分 解得：                                                 …………11分    （Ⅳ）∵         …………14分 21. （本小题满分15分） 已知圆O：与轴负半轴的交点为A，点P在直线l：上，过点P作圆O的切线，切点为T． （1）若a＝8，切点,求直线AP的方程； （2）若PA=2PT，求实数a的取值范围．   参考答案： （1）由题意，直线PT切于点T，则OT⊥PT，又切点T的坐标为，所以，，故直线PT的方程为，即.联立直线l和PT，解得即，所以直线AP的斜率为，故直线AP的方程为，即，即.   （2）设，由PA＝2PT，可得，即，即满足PA＝2PT的点P的轨迹是一个圆，所以问题可转化为直线与圆有公共点，所以，即，解得.．   22. （2017?广安模拟）已知函数f（x）=|x+b2|﹣|﹣x+1|，g（x）=|x+a2+c2|+|x﹣2b2|，其中a，b，c均为正实数，且ab+bc+ac=1． （Ⅰ）当b=1时，求不等式f（x）≥1的解集； （Ⅱ）当x∈R时，求证f（x）≤g（x）． 参考答案： 【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法． 【分析】（Ⅰ）当b=1时，把f（x）用分段函数来表示，分类讨论，求得f（x）≥1的解集． （Ⅱ）当x∈R时，先求得f（x）的最大值为b2+1，再求得g（x）的最小值