四川省乐山市沐川县第六中学高三数学理期末试题含解析

四川省乐山市沐川县第六中学高三数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 如图，在半径为3的球面上有三点，，球心到平面的距离是，则两点的球面距离是 A.            B.           C.          D.     参考答案： B 略 2. 如图所示的方格纸中有定点，则(    ) A．      B．     C．       D． 参考答案： C 3. 已知复数 （其中i是虚数单位），那么z的共轭复数是（   ） A. B. C. D. 参考答案： A 复数 的共轭复数是. 故选A. 4. 下列函数中，与函数定义域相同的函数为 A．     B.       C.        D. 参考答案： C 略 5. 一个算法的程序框图如下图所示，若该程序输出的结果为，则判断框中应填入的条件是(    ) A.             B.           C.          D. 参考答案： D 6. 设为坐标原点，动点满足 的最小值是                             （    ）        A．－1                     B．+1                       C．－2                     D．1.5 参考答案： 答案：A 7. 函数的值域是（　　） A.         B．          C．         D. 参考答案： C 8. 设命题p：函数y＝sin 2x的最小正周期为；命题q：函数y＝cos x的图像关于直线x＝对称．则下列判断正确的是 (　  　) A．p为真         B．为假       C．p且q为假     D．p或q为真 参考答案： C 略 9. 在中，角A,B,C所对的边分别为表示的面积，若，，则 A.30°      B.45°      C.60°      D.90° 参考答案： B 根据正弦定理得，即，所以。即。由得，即，即，所以，所以，选B. 10. 设，，若对于任意，总存在，使得成立，则的取值范围是（     ） A．         B．         C．        D． 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在的展开式中常数项是__________. 参考答案： 答案:7 12. 已知则______________ 参考答案： 【知识点】两角和与差的正弦、余弦、正切C5 【答案解析】-1.   由 化简得sin2=-，sin+cos>0,所以 则cos2=所以-1. 【思路点拨】根据角的范围求出三角函数值，再利用三角恒等变换求出最后结果。 13. 已知函数f（x）=ax3+bx+1，若f（a）=8，则f（﹣a）=　　． 参考答案： ﹣6 【考点】3L：函数奇偶性的性质． 【分析】本题利用函数的奇偶性，得到函数解析式f（﹣x）与f（x）的关系，从面通过f（﹣a）的值求出f（a）的值，得到本题结论． 【解答】解：∵函数f（x）=ax3+bx+1， ∴f（﹣x）=a（﹣x）3+b（﹣x）+1=﹣ax3﹣bx+1， ∴f（﹣x）+f（x）=2， ∴f（﹣a）+f（a）=2． ∵f（a）=8， ∴f（a）=﹣6． 故答案为﹣6． 14. 已知向量，，，则实数          ． 参考答案： 解析： 由，则， 所以， 又由，所以，解得，故答案为. 15. 已知圆与直线及都相切，圆心在直线上，则圆的方程为__________． 参考答案： ∵圆心在上， ∴设圆心坐标为． ∵与和都相切， ∴，解得，， ∴的方程为． 16. 已知球O面上的四点A、B、C、D，平面ABC，，则球O的体积等于           。   参考答案： 略 17. 下图是根据部分城市某年6月份的平均气温（单位：℃）数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是［20．5，26．5］，样本数据的分组为，，，，，．已知样本中平均气温低于22．5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25．5℃的城市个数为           ； 参考答案： 9 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （12分）（2013?兰州一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°． （Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC； （Ⅱ）若PA=AB，求棱锥C﹣PBD的高． 参考答案： 解：（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD． 又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD． 又PA∩AC=A，所以BD⊥平面PAC．…（6分） （Ⅱ）解：∵VC﹣PBD=VP﹣CBD，设棱锥C﹣PBD的高为h， ∴   …（8分） ∵PA=AB，AB=2，∠BAD=60°， ∴PB=PD=，BD=2 ∴，，…（10分） ∴． 即棱锥C﹣PBD的高为．…（12分） 略 19. （本小题满分12分） 为调查某市学生百米运动成绩,从该市学生中按照男女生比例随机抽取50名学生进行百米测试，学生成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组，第二组……第五组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，根据有关规定，成绩小于16秒为达标． （1）用样本估计总体，某班有学生45人,设为达标人数,求的数学期望与方差； （2）如果男女生使用相同的达标标准,则男女生达标情况如下表：     请把表格填写完整。根据表中所给的数据，能否有99%的把握认为“体育达标与性别有关”？若有，你能否提出一个更好的解决方法来？ 附：    参考答案： （Ⅰ）..................................3分 若用样本估计总体，则总体达标的概率为0.6     从而～B(45，0.6） (人)，=10．8..................................6分 （Ⅱ）   性别 是否达标 男 女 合计 达标 a=24 b=6 30 不达标 c=8 d=12 20 合计 32 18 n=50 .....................................................................................................................9分 8．333 由于>6．625,故有99%的把握认为“体育达标与性别有关”. ........11分 解决办法：可以根据男女生性别划分达标的标准..............................12分 20. （本小题满分14分）    已知圆E的圆心在x轴上，且与y轴切于原点.过抛物线y2=2px(p＞0)焦点F作垂直于x轴的直线l分别交圆和抛物线于A、B两点.已知l截圆所得的弦长为,且.   （Ⅰ）求圆和抛物线的标准方程；   （Ⅱ）若P在抛物线运动，M、N在y轴上，且⊙E的切线PM（其中B为切点）且PN⊙E与有一个公共点，求△PMN面积S的最小值.    参考答案： （Ⅰ）设圆的标准方程为(x-r)2+y2=r2(r>0)， 由已知有F(，0)，即|EF|=r-． ∵ l截得的弦长为， ∴ ，整理得，① 又∵ ， ∴ ，解得p=1． 代入①，解得r=1． ∴ 抛物线的方程为y2=2x，圆的方程为(x-1)2+y2=1．………………………………6分 （Ⅱ）设P(x0，y0)，M(0，b)，N(0，c)，不妨设b>c， PM的方程为：，整理得：． 又直线PM与圆(x-1)2+y2=1相切， ∴ ， 化简得． 按题意，x0>2，上式化简得，．…………………………8分 同理，由直线PC与圆(x-1)2+y2=1相切，可得．………9分 ∴ 由根与系数的关系知， ，， 从而，……………………………………………………11分 ∵ P(x0，y0)是抛物线上的点， ∴ y02=2x0， ∴ ，即． 故S△PMN=         ≥2+4         =8， 当且仅当时，上式取等号，此时x0=4，y0=， ∴ S△PMN的最小值为8．………………………………………………………………14分 21. （本小题满分12分） （Ⅰ）一动圆与圆相外切，与圆相内切求动圆圆心的轨迹曲线E的方程，并说明它是什么曲线。 （Ⅱ）过点作一直线与曲线E交与A,B两点，若，求此时直线的方程。 参考答案： 解：（1）设动圆圆心的坐标为，半径为r 又内切和外切的几何意义                               所以所求曲线轨迹为椭圆， 方程为：  ⑵设直线方程为直线与椭圆交与A ， B 联立方程组把直线方程代入椭圆方程化简整理得   ① 又弦长公式，代入解的 所以直线方程为   22. 已知抛物线：的焦点F，直线与轴的交点为P，与抛物线C的交点为Q，且. （1）求的值； （2）已知点为C上一点，M，N是C上异于点T的两点，且满足直线T M和直线T N的斜率之和为，证明直线MN恒过定点，并求出定点的坐标. 参考答案： （1）设，由抛物线定义， 又，即，解得 将点代入抛物线方程，解得. （2）由（1）知的方程为，所以点坐标为 设直线的方程为，点 由得，责任， 所以 ，解得 所以直线方程为，恒过点.