山西省运城市永济栲栳中学高二数学理模拟试题含解析

山西省运城市永济栲栳中学高二数学理模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒芝麻，它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为（    ） A.         B.     C.    D.无法计算 参考答案： C 2. 对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是 （　　） A．46，45，56 B．46，45，53 C．47，45，56 D．45，47，53 参考答案： A 【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差． 【专题】计算题． 【分析】直接利用茎叶图求出该样本的中位数、众数、极差，即可． 【解答】解：由题意可知茎叶图共有30个数值，所以中位数为第15和16个数的平均值： =46． 众数是45，极差为：68﹣12=56． 故选：A． 【点评】本题考查该样本的中位数、众数、极差，茎叶图的应用，考查计算能力． 3. 如图，一圆锥形物体的母线长为4，其侧面积为4π，则这个圆锥的体积为（  ） A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 先利用侧面积求解底面圆的周长，进而解出底面面积，再求体高，最后解得体积 【详解】圆锥的展开图为扇形，半径，侧面积为为扇形的面积，所以扇形的面积，解得 ，所以弧长，所以底面周长为，由此可知底面半径，所以底面面积为，体高为，故圆锥的体积，故选C。 【点睛】本题已知展开图的面积，母线长求体积，是圆锥问题的常见考查方式，解题的关键是抓住底面圆的周长为展开图的弧长。 4. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是 A. B. C. D. 参考答案： A 【分析】 本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算． 【详解】由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为=，故选A． 【点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题． 5. 已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧， ?=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（　　） A．2 B．3 C． D． 参考答案： B 【考点】直线与圆锥曲线的关系． 【分析】可先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及?=2消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题． 【解答】解：设直线AB的方程为：x=ty+m，点A（x1，y1），B（x2，y2）， 直线AB与x轴的交点为M（m，0）， 由?y2﹣ty﹣m=0，根据韦达定理有y1?y2=﹣m， ∵?=2，∴x1?x2+y1?y2=2， 结合及，得， ∵点A，B位于x轴的两侧，∴y1?y2=﹣2，故m=2． 不妨令点A在x轴上方，则y1＞0，又， ∴S△ABO+S△AFO═×2×（y1﹣y2）+×y1， =． 当且仅当，即时，取“=”号， ∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是3，故选B． 6. 抛物线的焦点坐标为（          ） A.           B.           C.       D. 参考答案： A 7. 在长为10㎝的线段AB上任取一点P，并以线段AP为边作正方形，这个正方形的面积介于25cm2与64 cm2之间的概率为  （     ） (A)          (B)                        (C)                    (D) 参考答案： A 8. 在高三下学期初，某校开展教师对学生的家庭学习问卷调查活动，已知现有3名教师对4名学生家庭问卷调查，若这3名教师每位至少到一名学生家中问卷调查，又这4名学生的家庭都能且只能得到一名教师的问卷调查，那么不同的问卷调查方案的种数为（  ） A. 36 B. 72 C. 24 D. 48 参考答案： A 【分析】 分为两步进行求解，即先把四名学生分为1,1,2三组，然后再分别对应3名任课老师，根据分步乘法计数原理求解即可． 【详解】根据题意，分2步进行分析： ①先把4名学生分成3组，其中1组2人，其余2组各1人，有种分组方法； ②将分好的3组对应3名任课教师，有种情况； 根据分步乘法计数原理可得共有种不同的问卷调查方案． 故选A． 【点睛】解答本题的关键是读懂题意，分清是根据分类求解还是根据分布求解，然后再根据排列、组合数求解，容易出现的错误时在分组时忽视平均分组的问题．考查理解和运用知识解决问题的能力，属于基础题． 9. A. B. C. D. 参考答案： D 分析：根据公式，可直接计算得 详解： ，故选D. 点睛：复数题是每年高考的必考内容，一般以选择或填空形式出现，属简单得分题，高考中复数主要考查的内容有：复数的分类、复数的几何意义、共轭复数，复数的模及复数的乘除运算，在解决此类问题时，注意避免忽略中的负号导致出错. 10. 设P是△ABC所在平面外一点，若PA=PB=PC，则P在平面内的射影是△ABC的             （   ） A．内心 B．外心     C．重心      D．垂心 参考答案： B 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知正数满足，则的最小值为  ▲  ． 参考答案： 12. 圆的直径是圆周上任意两点的距离的最大值，圆周率是圆的周长与直径的比值。类比圆周率的定义，可得正八边形的周率=        参考答案： 13. 两直线，的夹角为_____ 参考答案： 【分析】 本题可设的斜率为以及的斜率为，然后观察与之间的关系，可发现，然后根据直线垂直的相关性质即可得出结果。 【详解】依题意，设的斜率为，的斜率为， 则，所以， 所以直线的夹角为． 故答案为． 【点睛】本题考查了直线相关性质，主要考查了直线与直线的位置关系以及直线斜率的求法，当两个斜率存在的直线垂直时，有，是基础题。 14. 过双曲线的左焦点，作圆的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若，则双曲线的离心率为_________. 参考答案： 设右焦点为F′，则 ∵ ， ∴ ， ∴E是PF的中点， ∴PF′=2OE=a， ∴PF=3a， ∵OE⊥PF， ∴PF′⊥PF， ∴（3a）2+a2=4c2， ∴.   15. 非空集合G关于运算满足：①对于任意a、bG，都有abG；②存在，使对一切都有a=a=a，则称G关于运算为融洽集，现有下列集合运算：    ⑴G={非负整数}，为整数的加法       ⑵G={偶数}，为整数的乘法 ⑶G={平面向量}，为平面向量的加法   ⑷G={二次三项式}，为多项式的加法 其中关于运算的融洽集有____________ 参考答案： ⑴⑵⑶ 略 16. （5分）若抛物线y2=4x上一点P到其焦点F的距离为3，延长PF交抛物线于Q，若O为坐标原点，则S△OPQ=　　． 参考答案： 【考点】： 抛物线的简单性质． 【专题】： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】： 先利用抛物线的定义，求出P的坐标，进而可求PQ的方程，代入抛物线方程，可求Q的坐标，从而可求S△OPQ． 解：抛物线的焦点F（1，0），准线方程为x=﹣1． ∵抛物线y2=4x上一点P到其焦点F的距离为3， ∴P的横坐标为2， 代入抛物线方程，可得P的纵坐标为±2， 不妨设P（2，2），可得直线PQ的斜率为2， ∴直线PQ的方程为y=2（x﹣1）， 代入抛物线，整理可得8（x﹣1）2=4x， 即2x2﹣5x+2=0， ∴x=2或， 将x=代入抛物线可得y=， ∴S△OPQ==． 故答案为：． 【点评】： 本题考查抛物线的定义，考查三角形面积的计算，确定P，Q的坐标是关键． 　 17. 在数列中，=____________. 参考答案： 31 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知数列{an}中，a1=1，an+1=． （1）求证：为等比数列，并求{an}的通项公式； （2）数列{bn}满足bn=（3n﹣2）?，数列{bn}的前n项和为Tn，若不等式（﹣1）n?λ＜Tn+对一切n∈N*恒成立，求λ的取值范围． 参考答案： 【考点】数列的求和；等比数列的通项公式． 【分析】（1）an+1=， =1+，化简得： =3（），数列以为首项，3为公比的等比数列， （2）{bn}的通项公式，前n项和为Tn，Tn=1×+2×+3×+…+（n﹣1）×+n×，采用乘以公比错位相减法，求得Tn=4﹣，当当n为偶数时，λ＜3，当n为奇数时，λ＞﹣2， 综上得：﹣2＜λ＜3． 【解答】证明：（1）由＜0，得=1+， ∴=3（），=， ∴数列以为首项，3为公比的等比数列， =3n﹣1=， ∴， （2）， 数列{bn}的前n项和为Tn，Tn=1×+2×+3×+…+（n﹣1）×+n×， Tn=1×+2×+3×+…+（n﹣1）×+n×， 两式相减： Tn=1++++…++， ∴Tn=4﹣， （﹣1）n?λ＜4﹣， 当n为偶数时，则λ＜4﹣，λ＜3， 当n为奇数时，﹣λ＜4﹣，﹣λ＜2，λ＞﹣2， ∴﹣2＜λ＜3． 19. 已知函数，b为实数. （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）当，且恒成立时，求b的最大值. 参考答案： 解：（1）当时，，∴， 所以函数在点处的切线方程为， 即为. （2）恒成立，则恒成立， 又，令，所以， 所以在为单调递增函数. 又因为，，所以使得， 即，，，，所以. 又因为，所以， 所以，， 令，，， 所以，即，又， 所以， 因为，，所以的最大值为－1.   20. 地统计局就某地居民的月收入调查了人，并根据所得数据画了样本的频率分 布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在）. （1）求居民月收入在的频率； （2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数； （3）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这人中用分层抽样方法抽出人作进一步分析，则月收入在的这段应抽多少人？ 参考答案： 解：（1）月收入在的频率为 。 （2），， ， 所以，样本数据的中位数为（元）； （3）居民月收入在的频率为， 所以人中月收入在的人数为（人）， 再从人用分层抽样方法抽出人，则月收入在的应该抽取 人。  略 21. (12分)设命题p:不等式的解集是;命题q:不等式的解集是,若“p或q”为真命题,试求实数a的值取值范围. 参考答案： 22. 已知两圆x2+y2﹣10x﹣10y=0，x2+y2+6x﹣2y﹣40=0， 求（1）它们的公共弦所在直线的方程；（2）公共弦长． 参考答案： 【考