2022-2023学年安徽省安庆市长凤中学高三数学理联考试卷含解析

2022-2023学年安徽省安庆市长凤中学高三数学理联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 下列函数，其中既是偶函数又在区间上单调递减的函数为(         ) A．         B．      C．        D． 参考答案： B 2. 集合，，则（   ） A．        B．        C．            D． 参考答案： B 略 3. 已知数阵中，每行的3个数依次成等差数列，每列的3个数也依次成等差数列，若，则这9个数的和为(    ) A．16   　　　　　　 B．18     　　　　C．9    　　　 D．8 参考答案： B 略 4. 满足集合,且＝的集合的个数是（   ） A．1    B．2    C．3    D．4   参考答案： B 5. 某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，…，599，600从中抽取60个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行： 32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45 若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第6个样本编号（　　） A. 522 B. 324 C. 535 D. 578 参考答案： D 【分析】 根据随机抽样的定义进行判断即可． 【详解】第行第列开始的数为（不合适），，（不合适），，，，（不合适），（不合适），，（重复不合适）， 则满足条件的6个编号为，，，，， 则第6个编号为 本题正确选项： 【点睛】本题主要考查随机抽样的应用，根据定义选择满足条件的数据是解决本题的关键． 6. 设相量=（2，3），=（﹣1，2），若m+与﹣2垂直，则实数m等于（　　） A．﹣ B． C． D．﹣ 参考答案： B 【考点】平面向量的坐标运算． 【分析】由向量的坐标运算求出m+、﹣2的坐标，由向量垂直的坐标运算列出方程求出m的值． 【解答】解：∵=（2，3），=（﹣1，2）， ∴m+=（2m﹣1，3m+2），﹣2=（4，﹣1）， ∵m+与﹣2垂直，∴4（2m﹣1）﹣（3m+2）=0， 解得m=， 故选B． 　 7. 如图所示程序框图中，输出 A. B.    C.      D.   参考答案： B 8. 已知函数则a的值为     A．1    B．－1  C． D． 参考答案： A 略 9. 如图，直线与抛物线交于点A，与圆的实线部分（即在抛物线内的圆弧）交于点B，F为抛物线的焦点，则△ABF的周长的取值范围是（   ） A．(4,6) B．(4,6] C．(2,4) D．(2,4] 参考答案： A ∵圆的圆心为(0,1)，抛物线的方程为 ∴圆心与抛物线的焦点重合 ∴ ∴三角形的周长 ∵ ∴三角形的周长取值范围是(4,6) 故选A   10. 复数的虚部是 A. B. C. D. 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 某商船在海上遭海盗袭扰，正以15海里/h的速度沿北偏东15°方向行驶，此时在其南偏东45°方向，相距20海里处的我海军舰艇接到命令，必须在80分钟内（含80分钟）追上商船为其护航．为完成任务，我海军舰艇速度的最小值为________（海里/h）． 参考答案： 12. （几何证明选讲选做题）如图，与圆相切点，为圆的割线，并且不过圆心，已知，，，则  ▲  ；圆的半径等于 ▲． 参考答案： ．12，7 13. （4分）设，则m与n的大小关系为　　． 参考答案： m＞n 【考点】： 定积分的简单应用． 【专题】： 计算题． 【分析】： 根据 ex，lnx的导数等于ex，，得到原函数是 ex，lnx，写出当自变量取两个不同的值时，对应的函数值，让两个数字相减进而比较即可得到结果． 解：∵ex，lnx的导数等于ex，， ∴m=ex|=e1﹣e0=e﹣1； n=lnx|=lne﹣ln1=1． 而e﹣1＞1 ∴m＞n． 故答案为：m＞n． 【点评】： 本题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，解题的关键是求原函数，也可利用几何意义进行求解，属于基础题． 14. 已知椭圆C：的左右焦点分别为，点P为椭圆C上的任意一点，若以三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是       。 参考答案： 知识点：椭圆的定义与离心率. 解析 ：解：因为点P的横坐标满足，且当点P在短轴顶点时，一定是锐角或直角，所以，所以椭圆C的离心率的取值范围是，故答案为. 思路点拨：先确定出点P的横坐标的范围，在根据是锐角或直角解不等式组即可. 15. 已知复数z满足（i为虚数单位），则｜z｜＝＿＿＿ 参考答案： 略 16. 在△ABC中，BO为边AC上的中线，=2，设∥，若=+λ，则λ的值为　　． 参考答案： 【考点】平面向量的基本定理及其意义． 【专题】方程思想；数形结合法；平面向量及应用． 【分析】根据题意得出G是△ABC的重心，用、表示出向量，用表示出，写出的表达式，利用向量相等列出方程组求出λ的值． 【解答】解：由已知得G是△ABC的重心，因此=（+）， 由于∥，因此设=k， 所以=（+）， 那么=+=+（+1）， =+λ， 所以， 解得λ=． 故答案为：． 【点评】本题考查了向量在几何中的应用问题，也考查平面向量的基本定理，是基础题目． 17. 若，当时，，若在区间内，有两个零点，则实数m的取值范围是                ． 参考答案： 【答案解析】解析：由于x∈(0,1]时，f(x)=x，则x∈(-1,0]时，(x+1)∈(0,1]，故 ，又函数有两个零点，等价于有两个实根，即为函数f(x)与直线y=m(x+1)有两个不同的交点，作图观察得实数m的取值范围是. 【思路点拨】一般判断函数的零点个数时，若直接解答不方便，可转化为两个函数的图像的交点问题，利用数形结合解答. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，）．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为． （l）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程： （2）若直线l与曲线C相交于A，B两点，且．求直线l的方程． 参考答案： (1)见解析(2) 【分析】 （1）将消去参数t可得直线的普通方程，利用x=ρcosθ， 可将极坐标方程转为直角坐标方程．（2）利用直线被圆截得的弦长公式计算可得答案． 【详解】（1）由消去参数t得（）， 由得曲线C的直角坐标方程为： （2）由得，圆心为（1，0），半径为2， 圆心到直线的距离为， ∴，即，整理得 ，∵，∴，，， 所以直线l的方程为：． 【点睛】本题考查参数方程，极坐标方程与直角坐标方程之间的互化，考查直线被圆截得的弦长公式的应用，考查分析能力与计算能力，属于基础题． 19. 如图1所示，平面多边形CDEF中，四边形ABCD为正方形，EF∥AB，AB=2EF =2,沿着AB将图形折成图2，其中为AD的中点.   （Ⅰ）求证：EH⊥BD； （Ⅱ）求四棱锥D-ABFE的体积. 参考答案： （Ⅰ）在梯形中,∵,, ∴, ∴,∵. ∴, ∴,∴.（4分） ∵平面平面,平面平面,∴平面. （Ⅱ）在中,,∴. 分别以为轴,轴,轴建立平面直角坐标系, 设,则,,, ,,则,,易知平面的一个法向量为, ∵平面的法向量为,∴即令,则,, ∴平面的法向量为,∵二面角的平面角的余弦值为, ∴,解得,即.（10分） 所以六面体的体积为： .（12分） 20. 如图1，等腰梯形BCDP中，BC∥PD，BA⊥PD于点A，PD=3BC，且AB=BC=1．沿AB把△PAB折起到△P'AB的位置（如图2），使∠P'AD=90°． （Ⅰ）求证：CD⊥平面P'AC； （Ⅱ）求二面角A﹣P'D﹣C的余弦值； （Ⅲ）线段P'A上是否存在点M，使得BM∥平面P'CD．若存在，指出点M的位置并证明；若不存在，请说明理由． 参考答案： 【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定． 【分析】（Ⅰ）推导出P'A⊥AD，AB⊥AP'，从而P'A⊥面ABCD，进而P'A⊥CD，再推导出AC⊥CD，由此能求出CD⊥平面P'AC． （Ⅱ）推导出P'A⊥面ABCD，AB⊥AD，从而建立空间直角坐标系，求出平面P'AD的法向量和平面P'CD的一个法向量，利用向量法能求出二面角A﹣P'D﹣C的余弦值． （Ⅲ）设，利用向量法能求出线段P'A上存在点M，使得BM∥平面P'CD． 【解答】（本小题共14分） 证明：（Ⅰ）因为∠P'AD=90°，所以P'A⊥AD． 因为在等腰梯形中，AB⊥AP，所以在四棱锥中，AB⊥AP'． 又AD∩AB=A，所以P'A⊥面ABCD． 因为CD?面ABCD，所以P'A⊥CD．… 因为等腰梯形BCDE中，AB⊥BC，PD=3BC， 且AB=BC=1． 所以，，AD=2．所以AC2+CD2=AD2． 所以AC⊥CD． 因为P'A∩AC=A，所以CD⊥平面P'AC． … 解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，P'A⊥面ABCD，AB⊥AD， 如图，建立空间直角坐标系，A（0，0，0），B（1，0，0）， C（1，1，0），D（0，2，0），P'（0，0，1）．… 所以，． 由（Ⅰ）知，平面P'AD的法向量为， 设为平面P'CD的一个法向量，则，即， 再令y=1，得． ==． 所以二面角A﹣P'D﹣C的余弦值为．  … （Ⅲ）线段P'A上存在点M，使得BM∥平面P'CD． 依题意可设，其中0≤λ≤1．所以M（0，0，λ），． 由（Ⅱ）知，平面P'CD的一个法向量． 因为BM∥平面P'CD，所以， 所以，解得． 所以，线段P'A上存在点M，使得BM∥平面P'CD… 　 21. 已知数列是等差数列,满足,数列满足： ． （1）求和； （2）记数列的前项和为,求. 参考答案： (1)；(2). 试题分析：(1)借助题设条件运用等差数列的有关知识求解；(2)借助题设运用裂项相消的求和法探求. 试题解析： （1）设数列的首项和公差分别为,则,解得, ①  , ② ①-②得：,当时,, 解得. 考点：等差数列裂项相消法求和等有关知识和方法的综合运用． 22. 已知等差数列满足：，，的前n项和为． （1）求及． （2）令 (n∈N*)，求数列的前n项和． 参考答案： （1）设等差数列的公差为d，因为，，所以有 所以；==.        ------------6 （2）由（1）知，所以bn===， 所以==，  即=.