2022年浙江省湖州市下汤中学高三数学文上学期期末试卷含解析

2022年浙江省湖州市下汤中学高三数学文上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若满足条件C=30°，AB=2，BC=a的△ABC有两个，那么a的取值范围是(     ) A．（1，2） B．（1，2） C．（2，4） D．（2，4） 参考答案： C 【考点】正弦定理． 【专题】解三角形． 【分析】由已知条件C的度数，AB及BC的值，根据正弦定理用a表示出sinA，由C的度数及正弦函数的图象可知满足题意△ABC有两个A的范围，然后根据A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出sinA的范围，进而求出a的取值范围． 【解答】解：∵C=30°，AB=2，BC=a， ∴由正弦定理得：，即 ==4， 解得：sinA=， 由题意得：当sinA∈（，1）时，满足条件的△ABC有两个， 解得：2＜a＜4， 则a的取值范围是（2，4）． 故选：C． 【点评】此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦定理，正弦函数的图象与性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键． 2. 已知函数，若，且，则的取值范围是（  ） A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 经过讨论可知，利用可得，从而将化为；通过求解函数的值域求得的取值范围. 【详解】设 若，则 ，不成立； 若，则 ，不成立 若，则     设，则 当时，，则单调递减 当时，，则单调递增 本题正确选项：C 【点睛】本题考查利用导数求解函数的最值问题，本题解题的关键是能够通过讨论得到的范围，从而构造出新函数，再利用导数求得结果. 3. 设、表示两条直线，、表示两个平面，下列命题中真命题是    (   )     A．若，则          B．若     C．若          D．若 参考答案： C 4. 将骰子抛2次，其中向上的数之和是5的概率是           (    ) A．            B．             C．            D．9 参考答案： A 5. 已知某运动员每次投篮命中的概率都为%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4 表示命中，5，6，，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了20组随机数：     907    966    191     925     271    932    812    458     569   683     431    257    393     027     556    488    730    113     537   989 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 A．0.35             B. 0.15              C . 0.20           D. 0.25 参考答案： D 6. 复数（i为虚数单位）的虚部是(     ) A． B． C． D． 参考答案： B 考点：复数代数形式的乘除运算． 专题：计算题． 分析：利用两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，求出复数z，即可得复数z的虚部． 解答： 解：===﹣ 故复数（i为虚数单位）的虚部是 故选B 点评：本题主要考查了复数的基本概念，以及复数代数形式的乘除运算，同时考查了计算能力，属于基础题． 7. 已知集合，，那么（   ） （A）（B）（C）（D） 参考答案： C ，所以，选C. 8. 若，则下列不等式    ①；②③；④ 中，正确的不等式有 （    ）       A．０个                B．１个           C．2个               D．３个 参考答案： C 9. 已知集合= （    ） A．{1} B． C．{—1，1} D．{—1} 参考答案： D 略 10. 已知三角形ABC中，点D是BC的中点，过点D的直线分别交直线AB，AC于E、F两点，若=（λ＞0），=μ（μ＞0），则的最小值是（　　） 　 A． .9 B． C． 5 D． 参考答案： D 考点： 基本不等式．343780 专题： 计算题． 分析： 由已知可得===x=，，从而可得λ，μ的关系，利用基本不等式可求 解答： 解：由D，E，F三点共线可设 ∵=（λ＞0），=μ（μ＞0） ∴===x = ∵D为BC的中点 ∴ ∴ ∴即λ+μ=2 则=（）（λ+μ）= 当且仅当即时取等号 故选D 点评： 本题主要考查了基本不等式在求解函数的最值中的应用，解题的关键是根据已知向量的知识寻求基本不等式的条件． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11.    抛物线上一点N到其焦点F的距离是3，则点N到直线y=1的距离等于           。 参考答案： 答案：   12. 函数的单调递减区间是    ▲       。 参考答案： 13. 双曲线的渐近线与直线围成的图形绕y轴旋转360°，则所得旋转体的体积为___；表面积为_____ 参考答案： 4π    【分析】 易得双曲线的渐近线方程为，求出与的交点坐标，然后得到该旋转体为底面半径是，高为2的圆柱，挖掉两个底面半径为，高为1，母线长为2的圆锥，最后根据体积公式和表面积公式即可得结果. 【详解】双曲线的渐近线，与直线的交点为和， 该旋转体为底面半径是，高为2的圆柱， 挖掉两个底面半径为，高为1，母线长为2的圆锥， 所以所得旋转体的体积为， 表面积为， 故答案为：，. 【点睛】本题主要考查了旋转体的结构特征与体积、表面积的计算问题，属于中档题. 14. 设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式<0的解集为________． 参考答案： (－1,0)∪(0,1) 15.    设直线的倾斜角为，若，则角的取值范围是 ． 参考答案： 答案：   16. 已知双曲线的右焦点为F，左顶点为A.以F为圆心，FA为半径的圆交C的右支于P，Q两点，的一个内角为60°，则C的离心率为______. 参考答案： 【分析】 由题意可得PA⊥PB，又，△APQ的一个内角为60°，即有△PFB为等腰三角形，PF＝PA＝a+c，运用双曲线的定义和离心率公式，计算即可得到所求． 【详解】如图，设左焦点为F1，圆于x轴的另一个交点为B， ∵△APQ的一个内角为60° ∴∠PAF＝30°，∠PBF＝60°?PF＝AF＝a+c， ?PF1＝3a+c， 在△PFF1中，由余弦定理可得． ?3c2﹣ac﹣4a2＝0?3e2﹣e﹣4＝0?， 故答案为：． 【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查直径所对的圆周角为直角，以及等腰三角形的性质，考查离心率公式的运用，属于中档题． 17. 若某几何体的三视图（单位：）如图所示， 则此几何体的体积是          ． 参考答案： 18 解析：该几何体是由二个长方体组成，下面体积为，上面的长方体体积为，因此其几何体的体积为18 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数f（x）=cos22x+sin2xcos2x+1 （1）求f（x）的最小正周期； （2）当x∈[0，]时，求f（x）的最值． 参考答案： 【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用． 【分析】（1）利用二倍角和辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期； （2）当x∈[0，]时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，即得出f（x）的最大值和最小值． 【解答】解：函数f（x）=cos22x+sin2xcos2x+1 化简可得：f（x）=（cos4x）+sin4x+1 =sin（4x+）+ （1）∴f（x）的最小正周期T= （2）当x∈[0，]时， 则4x+∈[，] 那么sin（4x+）∈[，1] 当4x+=时，函数f（x）取得最小值为1，此时x=； 当4x+=时，函数f（x）取得最大值为，此时x=． ∴当x∈[0，]时，函数f（x）的最大值为，最小值为1． 【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题． 19. ． （1）证明：存在唯一实数a，使得直线和曲线相切； （2）若不等式有且只有两个整数解，求a的范围． 参考答案： （1）设切点为，则 ①， 和相切，则  ②， 所以， 即．令，所以单增．又因为，所以，存在唯一实数，使得，且．所以只存在唯一实数，使①②成立，即存在唯一实数使得和相切． （2）令，即，所以， 令，则，由（1）可知，在上单减，在单增，且，故当时，，当时，， 当时，因为要求整数解，所以在时，，所以有无穷多整数解，舍去； 当时，，又，所以两个整数解为0，1，即， 所以，即， 当时，，因为在内大于或等于1， 所以无整数解，舍去，综上，． 20. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，△PCD为等边三角形，平面PAC⊥平面PCD，PA⊥CD，CD=2，AD=3. （Ⅰ）设G，H分别为PB，AC的中点，求证：GH∥平面PAD； （Ⅱ）求证：PA⊥平面PCD； （Ⅲ）求直线AD与平面PAC所成角的正弦值. 参考答案： （I）证明：连接BD，易知，， 又由，故GH∥PD， 又因为平面PAD，平面PAD， 所以GH∥平面PAD. （II）证明：取棱PC的中点N，连接，依题意，得， 又因为平面平面，平面平面， 所以平面，又平面，故， 又已知，， 所以平面. （III）解：连接，由（II）中平面， 可知为直线与平面所成的角. 因为为等边三角形，且为的中点， 所以，又， 在中，， 所以，直线与平面所成角的正弦值为. 【点睛】本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力和推理能力.   21. （本小题满分14分） （1）已知是公差为的等差数列，是与的等比中项，求该数列前10项和； （2）若数列满足，，试求的值. 参考答案： (1)设数列的首项为,公差为,则. 根据题意,可知道,即( 解得     (2)解法一:由,经化简可得 数列是首项为,公差为的等差数列.   . 解法二:分别把代入可得: ,,,,, 因此,猜想. . 22.   （15分）已知数列{}的前项的和为,对一切正整数都有 （1）求证:是等差数列;并求数列{}的通项公式; （2）当,证明: 参考答案： 解析: ， 故是公差为2的等差数列……………4分                                      ……………8分                            ……………………………..12分                                                ……………15分 注：其他方法酌情给分。