河北省廊坊市永清县里澜城中学高三数学理联考试题含解析

河北省廊坊市永清县里澜城中学高三数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若,其中为两两不等的非负整数,令 ,则的大小关系是(    ) A.               B.               C.               D. 参考答案： D 2. 某几何体的三视图如图所示，则其表面积为 A. B.C. D. 参考答案： C 四棱锥的表面积为 3. 设等差数列的前项和为，若，，则当取最小值时，＝ A．9                                B．8                                C．7                                 D．6 参考答案： D ，    ， . 故选D． 4. 已知向量，，且，则实数的值为（    ） A．                B．             C．                 D． 参考答案： B 略 5. 已知，则的值为（） A.       B.2      C.       D.-2 参考答案： B 考查正切的两角和差公式 ，而 6. 如图，边长为1的菱形ABCD中， ，沿BD 将 翻折，得到三棱锥A-BCD，则当三棱锥A-BCD体积最大时，异面直线AD 与BC所成角的余弦值为（   ）   A. B. C. D. 参考答案： D 【分析】 当三棱锥体积最大时，平面平面，取中点，连接，则平面，平面，以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出异面直线 与所成角的余弦值。 【详解】当三棱锥体积最大时，平面平面， 边长为1的菱形中， 取中点，连接，则平面，平面， 以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系 则， 设异面直线 与所成角为 即异面直线 与所成角的余弦值为 故选D。 【点睛】求异面直线所成的角，转化为两直线的方向向量的夹角，建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键. 7. 命题“”的否定是     (A)    (B)    (C)   (D) 参考答案： D 略 8. 下列四个图中，函数y=的图象可能是(      ) 参考答案： C 略 9. 双曲线的渐近线方程为 (A)3x±4y=0          (B) 4x±3y=0         (C) 3x±5y=0       (D)5x±3y=0 参考答案： C 10. 已知集合M={x|x﹣2＜0}，N={x|x＜a}，若M?N，则实数a的取值范围是(     ) A．[2，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，0） D．（﹣∞，0] 参考答案： A 考点：集合的包含关系判断及应用． 专题：集合． 分析：解出集合M，根据子集的概念即可求得实数a的取值范围． 解答： 解：M={x|x＜2}； ∵M?N； ∴a≥2； ∴a的取值范围是[2，+∞）． 故选A． 点评：考查子集的概念，描述法表示集合，可借助数轴求解． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知抛物线的焦点是双曲线的右焦点，且双曲线的右顶 点到点的距离为1，则       . 参考答案： 10 12. i＋i2＋i3+……+i2012=            . 参考答案： 0 i＋i2＋i3+ i4=0，∴i＋i2＋i3+……+i2012=0.   13. 已知是夹角为的两个单位向量，向量，，若，则实数k的值为____． 参考答案： 【分析】 由可得关于的方程，解出即可. 【详解】， 因为， ，所以， 所以，填. 【点睛】本题考查共基底的向量数量积的计算，依据数量积的运算律运算转化为基底向量的性质即可，这类问题是容易题. 14. 在中，已知分别为，，所对的边，为的面积．若向量满足，则=       ． 参考答案： 15. 设是定义在上周期为4的奇函数，若在区间，，则--------      参考答案： 【知识点】函数的周期性 B4 【答案解析】 解析：解：设0＜x≤2，则﹣2≤﹣x＜0， f（﹣x）=﹣ax+b，f（x）是定义在R上周期为4的奇函数， 所以f（﹣x）=﹣f（x）=﹣ax+1=﹣ax+b， ∴b=1，而f（﹣2）=f（2），∴﹣2a+1=2a﹣1，即a=， 所以f（2015）=f（﹣1）=．故答案为：． 【思路点拨】先根据奇偶性求出b，然后根据周期性可求出a的值，从而可求出f（2015）的值 16. 已知函数则的值是       ． 参考答案： 17. 面积为的等边三角形ABC中，D是AB边上靠近B的三等分点，则=　 　  ． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. . （1）若求的单调区间及的最小值; （2）试比较与的大小.,并证明 你的结论. 参考答案： 略 19. 已知函数． （Ⅰ）当时，求的单调区间； （Ⅱ）设函数在点处的切线为，直线与轴相交于点.若点的纵坐标恒小于1，求实数的取值范围． 参考答案： （Ⅰ）当时，，， 所以，当时，；当时，； 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． （Ⅱ）因为， 所以处切线的斜率， 所以切线的方程为， 令，得 . 当时，要使得点的纵坐标恒小于1， 只需，即 令， 则， 因为，所以， ①若即时，， 所以，当时，，即在上单调递增， 所以恒成立，所以满足题意. 略 20. 已知椭圆Γ： =1（a＞b＞0）的左顶点为A，右焦点为F2，过点F2作垂直于x轴的直线交该椭圆于M、N两点，直线AM的斜率为． （1）求椭圆Γ的离心率； （2）若△AMN的外接圆在点M处的切线与椭圆交于另一点D，△F2MD的面积为，求椭圆Γ的标准方程． 参考答案： 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】（1）由题意M（c，），因为A（﹣a，0），所以，，可得椭圆Γ的离心率 （2）由（1）可知，a=2c，由b2=a2﹣c2=4c2﹣c2=3c2，∴椭圆方程为：， M（c， c），A（﹣2c，0），设外接圆的圆心为T（t，0），由丨TA丨=丨TM丨得（t+2c）2=（t﹣c）2+c2，解得t=﹣． 求得切线方程，代入椭圆方程，求得丨MD丨，根据点到直线的距离公式及三角形面积公式，代入即可求得c的值，求得椭圆方程． 【解答】解：（1）由题意M（c，），因为A（﹣a，0），所以，，e=，∴椭圆Γ的离心率为． （2）由（1）可知，a=2c，由b2=a2﹣c2=4c2﹣c2=3c2，∴椭圆方程为：， M（c， c），A（﹣2c，0），设外接圆的圆心为T（t，0），由丨TA丨=丨TM丨得（t+2c）2=（t﹣c）2+c2，解得t=﹣． kTM=，∴切线斜率k=﹣，∴∴切线方程为3x+4y﹣9c=0， 代入椭圆方程消y得7x2﹣18cx+11c2=0， △=182c2﹣4×7×11c2=16c2＞0，xD=，yD=， ∴丨MD丨=，F2点到CD的距离d=， 由S=丨CD丨?d，得，∴c2=2， ∴椭圆方程为 21. 　　已知两点、，点是直角坐标平面上的动点，若将点的横坐标保持不变、纵坐标扩大到倍后得到点满足． (1) 求动点所在曲线的轨迹方程； (2)(理科)过点作斜率为的直线交曲线于两点，且满足，又点关于原点O的对称点为点，试问四点是否共圆，若共圆，求出圆心坐标和半径；若不共圆，请说明理由． 参考答案： 解(1)依据题意，有． ∵， ∴． ∴动点P所在曲线C的轨迹方程是． (2)(理科)因直线过点，且斜率为， 故有．联立方程组，得． 设两曲线的交点为、，可算得． 又，点与点关于原点对称， 于是，可得点、． 若线段、的中垂线分别为和，则有，． 联立方程组，解得和的交点为． 因此，可算得， 　　　　　　． 所以，四点共圆，圆心坐标为，半径为． 22. .已知函数． （1）求函数f(x)的最小正周期； （2）求函数f(x)在区间上的最值及相应的x值． 参考答案： （1）， 所以的最小正周期是． （2）因为，所以， 所以， 当时，；当时，．