辽宁省大连市报关学校2022-2023学年高一数学理测试题含解析

辽宁省大连市报关学校2022-2023学年高一数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. .函数f(x)＝cos2x＋sinxcosx在区间上的最大值为  (　　) 参考答案： D 略 2. 已知某一几何体的正视图与侧视图如图，则下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形有（     ） A．①②③⑤ B．②③④⑤ C．①②④⑤ D． ①②③④ 参考答案： D 3. 已知变量x，y满足约束条件，则的最大值为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 参考答案： B 画出二元一次不等式所示的可行域，目标函数为截距型，，可知截距越大值越大，根据图象得出最优解为，则的最大值为2，选B. 【点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，作图时，可将不等式转化为（或），“”取下方，“”取上方，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围． 4. 在△ABC中，tanA=，cosB=，则tanC=（　　） A．﹣2 B．1 C． D．﹣1 参考答案： D 【考点】两角和与差的正切函数． 【分析】先通过cosB，求得sinB，进而可求得tanB，进而根据tanC=﹣tan（A+B），利用正切的两角和公式求得答案． 【解答】解：∵tanA=，cosB=， ∴sinB==，tanB==， ∴tanC=tan=﹣tan（A+B）=﹣=﹣1． 故选：D． 5. 如图，有6种不同颜色的涂料可供涂色，每个顶点只能涂一种颜色的涂料，其中A和C1同色、B和D1同色，C和A1同色，D和B1同色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则涂色方法有（　　） A．720种 B．360种 C．120种 D．60种 参考答案： A 【考点】排列、组合的实际应用． 【分析】根据分步计数原理可得． 【解答】解：由题意，先排A，B，C，D，O，有A65=720种方法， 再排A1，B1，C1，D1，有1种方法，故一共有720种． 故选A． 6. 向量，，若的夹角为300，则的最大值为 （    ） A. 2              B. 2           C. 4             D. 参考答案： C 7. 已知集合，，则A∩B=（   ） A. (－1,2) B. (－∞,2) C. (－1,+∞) D. 参考答案： A 【分析】 根据交集的定义可得结果． 【详解】由交集定义可得： 本题正确选项：A 【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题. 8. 经过点A（2，3）且与直线2x﹣y+1=0垂直的直线方程为（　　） A．2x﹣y﹣1=0 B．x+2y﹣8=0 C．x+2y﹣1=0 D．x﹣2y﹣8=0 参考答案： B 【考点】IK：待定系数法求直线方程． 【分析】设与直线2x﹣y+1=0垂直的直线方程为x+2y+m=0，把点A（2，3）代入可得m． 【解答】解：设与直线2x﹣y+1=0垂直的直线方程为x+2y+m=0， 把点A（2，3）代入可得：2+6+m=0，解得m=﹣8． ∴要求的直线方程为：x+2y﹣8=0． 故选：B． 9. 设偶函数的定义域为R，当时是增函数，则的大小关系是 （　  ） A.         B.         C.         D. 参考答案： D 略 10. 在△ABC中，∠ABC=，AB=，BC=3，则sin∠BAC=（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】余弦定理；正弦定理． 【分析】由AB，BC及cos∠ABC的值，利用余弦定理求出AC的长，再由正弦定理即可求出sin∠BAC的值． 【解答】解：∵∠ABC=，AB=，BC=3， ∴由余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB?BC?cos∠ABC=2+9﹣6=5， ∴AC=， 则由正弦定理=得：sin∠BAC==． 故选C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在平面直角坐标系中，已知两点，，点为直线上的动点，则的最大值是__________． 参考答案： ∵，，直线为：， ∴， 当时，取最大值． 12. 函数f（x）=（m2﹣1）xm是幂函数，且在（0，+∞）上是增函数，则实数m的值为　　． 参考答案：   【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域． 【分析】只有y=xα型的函数才是幂函数，当m2﹣1=1函数f（x）=（m2﹣1）xm才是幂函数，又函数f（x）=（m2﹣1）xm在x∈（0，+∞）上为增函数，所以幂指数应大于0． 【解答】解：∵函数f（x）=（m2﹣1）xm是幂函数， ∴m2﹣1=1，解得：m=±， m=时，f（x）=在（0，+∞）上是增函数， m=﹣时，f（x）=在（0，+∞）上是减函数， 则实数m=， 故答案为：． 13. 已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，则集合?U(A∪B)中元素的个数为________． 参考答案： 2 解析：由题意得，A＝{1，2}，B＝{2，4}，所以A∪B＝{1，2，4}，所以?U(A∪B)＝{3，5}，故有2个元素． 14. 函数（）的最小正周期为，则__________。   参考答案： 2 15. 已知集合A={x|ax－2=0}，集合B={x|x2－3x+2=0}，且A?B，则实数a的值组成的集合 C=                   。 参考答案： {0，1，2} 16. 已知方程x2＋y2＋4x－2y－4＝0，则x2＋y2的最大值是  (     ) A、9        B、14        C、14－        D、14＋   参考答案： .D 略 17. 已知△ABC中，AC=4，，，于点D，则的值为          ． 参考答案： 设， 由余弦定理可得：， 化为，解得． 设． ∵于点D， ∴解得 ，   三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （12分）已知函数f（x）=x2+2x． （1）求f（m﹣1）+1的值； （2）若x∈，求f（x）的值域； （3）若存在实数t，当x∈，f（x+t）≤3x恒成立，求实数m的取值范围． 参考答案： 考点： 二次函数的性质；函数恒成立问题． 专题： 函数的性质及应用． 分析： （1）将x=m﹣1，代入可得f（m﹣1）+1的值； （2）由f（x）的图象与性质，讨论a的取值，从而确定f（x）在上的增减性，求出f（x）的值域． （3）把f（x+t）≤3x转化为（x+t）2+2（x+t）≤3x，即u（x）=x2+（2t﹣1）x+t2+2t，在x∈恒小于0问题，考查u（x）的图象与性质，求出m的取值范围． 解答： （1）∵函数f（x）=x2+2x， ∴f（m﹣1）+1=（m﹣1）2+2（m﹣1）+1=m2； （2）∵f（x）=x2+2x的图象是抛物线，开口向上，对称轴是x=﹣1， ∴当﹣2＜a≤﹣1时，f（x）在上是减函数， f（x）max=f（﹣2）=0，f（x）min=f（a）=a2+2a， ∴此时f（x）的值域为：； 当﹣1＜a≤0时，f（x）在上先减后增， f（x）max=f（﹣2）=0，f（x）min=f（﹣1）=﹣1， ∴此时f（x）的值域为：； 当a＞0时，f（x）在上先减后增， f（x）max=f（a）=a2+2a，f（x）min=f（﹣1）=﹣1， ∴此时f（x）的值域为：． （3）若存在实数t，当x∈，f（x+t）≤3x恒成立， 即（x+t）2+2（x+t）≤3x， ∴x2+（2t﹣1）x+t2+2t≤0； 设u（x）=x2+（2t﹣1）x+t2+2t，其中x∈ ∵u（x）的图象是抛物线，开口向上， ∴u（x）max=max{u（1），u（m）}； 由u（x）≤0恒成立知 ； 化简得 ； 令g（t）=t2+2（1+m）t+m2﹣m， 则原题转化为存在t∈，使得g（t）≤0； 即当t∈时，g（t）min≤0； ∵m＞1时，g（t）的对称轴是t=﹣1﹣m＜﹣2， ①当﹣1﹣m＜﹣4，即m＞3时，g（t）min=g（﹣4）， ∴， 解得3＜m≤8； ②当﹣4≤﹣1﹣m＜﹣2，即1＜≤3时，g（t）min=g（﹣1﹣m）=﹣1﹣3m， ∴， 解得1＜m≤3； 综上，m的取值范围是（1，8]． 点评： 本题考查了二次函数在闭区间上的最值问题的应用，解题时应讨论对称轴在区间内？在区间左侧？区间右侧？从而确定函数的最值． 19. 已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形． （Ⅰ）求此几何体的体积的大小； （Ⅱ）求异面直线DE与AB所成角的余弦值； （Ⅲ）求二面角A-ED-B的正弦值. 参考答案： （Ⅰ）AC⊥平面BCE， 则    ∴几何体的体积V为16． （Ⅱ）取EC的中点是F，连结BF， 则BF//DE，∴∠FBA或其补角即为异面直线DE与AB所成的角． 在△BAF中，AB=，BF=AF=．∴． ∴异面直线DE与AB所成的角的余弦值为 （2）AC⊥平面BCE，过C作CG⊥DE交DE于G，连AG．可得DE⊥平面ACG， 从而AG⊥DE,∴∠AGC为二面角A-ED-B的平面角． 在△ACG中，∠ACG=90°，AC=4，ＣG=,∴．∴． ∴二面角A-ED-B的的正弦值为． 略 20. 如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面边长为，侧棱长为4．E，F分别为棱AB，BC的中点，EF∩BD=G． （Ⅰ）求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1； （Ⅱ）求点D1到平面B1EF的距离d； （Ⅲ）求三棱锥B1﹣EFD1的体积V． 参考答案： 【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；点、线、面间的距离计算． 【分析】（1）方法一：欲证明平面B1EF⊥平面BDD1B1，先证直线与平面垂直，观察平面BDD1B1为正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的对角面，所以AC⊥平面BDD1B1，故连接AC，由EF∥AC，可得EF⊥平面BDD1B1 方法二：欲证明平面B1EF⊥平面BDD1B1，先证直线与平面垂直，由题意易得EF⊥BD，又EF⊥D1D，所以EF⊥平面BDD1B1 （2）本题的设问是递进式的，第（1）问是为第（2）问作铺垫的．由第（1）问可知，点D1到平面B1EF的距离d即为点D1到平面B1EF与平面BDD1B1的交线B1G的距离，故作D1H⊥B1G，垂足为H，所以点D1到平面B1EF的距离d=D1H．下面求D1H的长度． 解法一：在矩形BDD1B1及Rt△D1HB1中，利用三角函数可解． 解法二：在矩形BDD1B1及Rt△D1HB1中，利用三角形相似可解． 解法三：在矩形BDD1B1及△D1GB1中，观察面积大小关系可解． （3）本题的设问是递进式的，第（2）问是为第（3）问作铺垫的．解决三棱锥求体积的问题，关键在于找到合适的高与对应的底面，由第（2）问可知，D1H即为三棱锥B1﹣EFD1的高，所以B1EF为对应的底面． 【解答】解：（Ⅰ）证法一： 连接AC． ∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是正方形， ∴AC⊥BD，又AC⊥D1D，故AC⊥平面BDD1B1． ∵E，F分别为AB，BC的中点，故EF∥