2022年浙江省杭州市良渚中学高一数学文联考试题含解析

2022 年浙江省杭州市良渚中学高一数学文联考试题含年浙江省杭州市良渚中学高一数学文联考试题含解析解析 一、一、选择题：本大题共选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分。在每小题给出的四个选分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的项中，只有是一个符合题目要求的 1.在正方体中，是的中点，则异面直线与所成的角的余弦值是 A B C D 参考答案：参考答案：C 略 2.已知非零向量，的夹角为 60，且，若向量满足，则的最大值为（）A.B.C.D.参考答案：参考答案：A 3.若 0mn，则下列结论正确的是（）A B2m2n C Dlog2mlog2n 参考答案：参考答案：C【考点】不等关系与不等式【专题】函数的性质及应用【分析】根据指数函数与对数函数的底数大于 1 时单调递增，底数大于 0 小于 1 时单调递减的性质进行做题【解答】解：观察 B，D 两个选项，由于底数 21，故相关的函数是增函数，由 0mn，2m2n，log2mlog2n，所以 B，D 不对 又观察 A，C 两个选项，两式底数满足 0 1，故相关的函数是一个减函数，由 0mn，所以 A 不对，C 对 故答案为 C【点评】指数函数与对数函数的单调性是经常被考查的对象，要注意底数大于 1 时单调递增，底数大于 0 小于 1 时单调递减的性质 4.函数yax在区间0,1上的最大值与最小值的和为 3，则函数y3ax1 在区间0,1上的最大值是()A6 B1 C5 D.参考答案：参考答案：C 略 5.（3 分）若集合 A=1，2，B=2，3，则 AB=（）A 1 B 2 C 3 D 1，2，3 参考答案：参考答案：D 考点：并集及其运算 专题：集合 分析：根据集合的并集运算进行求解 解答：A=1，2，B=2，3，AB=1，2，3，故选：D 点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础 6.已知函数是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集是（）A B C D 参考答案：参考答案：B 略 7.定义在R上的函数f(X)满足f(X)=，则f(2)的 值 为（）A.-1 B.0 C.1 D.2 参考答案：参考答案：A 8.从 A 处望 B 处的仰角为，从 B 处望 A 处的俯角为，则之间关系是 A.B.C.D.参考答案：参考答案：B 9.二次函数 y=ax 2+bx 与指数函数 y=（）x的图象只可能是（）A B C D 参考答案：参考答案：A【考点】指数函数的图象与性质；二次函数的图象【分析】根据二次函数的对称轴首先排除 B、D 选项，再根据 ab 的值的正负，结合二次函数和指数函数的性质逐个检验即可得出答案【解答】解：根据指数函数可知 a，b 同号且不相等 则二次函数 y=ax2+bx 的对称轴0 可排除 B 与 D 选项 C，ab0，a0，1，则指数函数单调递增，故 C 不正确 故选：A 10.若，是互不相同的空间直线，是不重合的平面，下列命题正确的是（）A若，则 B若，则 C若，则 D若，则 参考答案：参考答案：D 解：若，则 与平行、相交或异面，故不正确；若，则或 与相交，故不正确；若，则 与相交、平行或异面，故不正确；若，则由平面与平面垂直的判定定理知，故正确 故选：二、二、填空题填空题:本大题共本大题共 7 小题小题,每小题每小题 4 分分,共共 28 分分 11.函数 y=2sin2x3sinx+1，的值域为 参考答案：参考答案：【考点】HW：三角函数的最值【分析】令 sinx=t，求出 t 的范围，得出关于 t 的二次函数，利用二次函数的性质求出最值即可【解答】解：令 sinx=t，则 y=2t23t+1=2（t）2，x，t，1，当 t=时，y 取得最小值，当 t=或 1 时，y 取得最大值 0 故答案为：12.某单位计划建造如图所示的三个相同的矩形饲养场，现有总长为 1 的围墙材料，则每个矩形的长宽之比为_时，围出的饲养场的总面积最大 参考答案：参考答案：3:2 13.已知数列an的前 n项和为 Sn,且,时,则an的通项公式 an=参考答案：参考答案：由得，是公差为 2的等差数列，又，又，所以，累加法得时，又，所以.14.等边ABC 的边长为 1，记=，=，=，则?等于 参考答案：参考答案：【考点】平面向量数量积的运算【专题】计算题；数形结合；综合法；平面向量及应用【分析】由正三角形可知两两向量夹角都是 120，代入数量积公式计算即可【解答】解：ABC 是等边三角形，中任意两向量的夹角都是 120=11cos120=?=故答案为 【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，向量夹角的判断，属于基础题 15.设向量=（1，3），=（2，4），=（1，2），若表示向量 4，4 2，2（），的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量 的坐标是 参考答案：参考答案：（2，6）【考点】平面向量的坐标运算 【专题】计算题；对应思想；向量法；平面向量及应用 【分析】根据向量的坐标运算的法则计算即可 【解答】解：向量 4，4 2，2（），的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量=4+4 2+2（）=（6+4 4）=6（1，3）+4（2，4）4（1，2）=（2，6）=（2，6），故答案为：（2，6）【点评】本题考查了向量的多边形法则、向量坐标运算、线性运算，考查了计算能力，属于基础题 16.若函数为偶函数，则 m 的值为 参考答案：参考答案：【考点】函数奇偶性的判断【专题】方程思想；综合法；函数的性质及应用【分析】根据函数奇偶性的定义进行判断即可【解答】解：函数的定义域为（，0）（0，+），f（x）是偶函数，f（x）=f（x），即x（m+）=x（m+），即m）=m+，则 2m=1，即 m=，故答案为：【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，根据奇偶性的定义建立方程关系是解决本题的关键 17.关于的方程在区间上有解，则实数的取值范围是_ 参考答案：参考答案：略 三、三、解答题：本大题共解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤步骤 18.(12 分)已知圆心为 C 的圆经过点（1,1）和（2，-2），且圆心 C 在直线：上。（1）求圆心为 C 的圆的标准方程；（2）已知点 A 是圆心为 C 的圆上动点，B（2,1）,求的取值范围。参考答案：参考答案：19.已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）求函数在区间上的最大值和最小值.参考答案：参考答案：（）（）最大值为，最小值为-1 试题分析：（1）利用正弦函数的两角和与差的公式、二倍角的余弦公式与辅助角公式将化为，利用周期公式即可求得函数的最小正周期；（2）可分析得到函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，从而可求得在区间上的最大值和最小值.试题解析：(1)f(x)sin 2x coscos 2x sinsin 2x coscos 2x sincos 2x sin 2xcos 2xsin.所以，f(x)的最小正周期 T.(2)因为 f(x)在区间上是增函数，在区间上是减函数 又，故函数 f(x)在区间上的最大值为，最小值为1.20.（本小题满分（本小题满分 14分）分）定义：若函数 f(x)对于其定义域内的某一数 x0，有 f(x0)=x0，则称 x0是 f(x)的一个不动点.已知函数 f(x)=ax2+(b+1)x+b-1(a0).（）当 a=1，b=-2 时，求函数 f(x)的不动点；（）若对任意的实数 b，函数 f(x)恒有两个不动点，求 a的取值范围；（）在（）的条件下，若 y=f(x)图象上两个点 A、B的横坐标是函数 f(x)的不动点，且 A、B两点关于直线 y=kx+对称，求 b的最小值.参考答案：参考答案：（小题满分 14 分）本题主要考查二次函数、方程的基本性质、不等式的有关知识，同时考查函数思想、数形结合思想、逻辑推理能力和创新意识。【解】（）x2x3=x，化简得：x22x3=0，解得：x1=1，或 x2=3 所以所求的不动点为-1 或 3.4 分（）令 ax2+(b+1)x+b-1=x，则 a x2+bx+b-1=0 由题意，方程恒有两个不等实根，所以=b2-4 a(b-1)0，即 b 2-4ab+4a0 恒成立，6 分 则 b 2-4ab+4a=(b-2a)2+4a-4a20，故 4 a-4a 20，即 0 a 1 8 分（）设 A(x1，x1)，B(x2，x2)(x1x2)，则 kAB=1，k=1，所以 y=-x+，9 分 又 AB 的中点在该直线上，所以=+，x1+x2=，而 x1、x2 应是方程的两个根，所以 x1+x2=，即=，12 分 当 a=(0，1)时，bmin=-1.14 分 略 21.已知函数 f（x）=lg（）（1）求证：f（x）是奇函数；（2）求证：f（x）+f（y）=f（）；（3）若 f（）=1，f（）=2，求 f（a），f（b）的值 参考答案：参考答案：【考点】对数函数图象与性质的综合应用 【专题】函数的性质及应用【分析】（1）由函数解析式可得0，求得函数的定义域关于原点对称再根据 f（x）=f（x），可得 f（x）是奇函数（2）分别求得 f（x）+f（y）=lg，f（）=lg，可得要证的等式成立（3）由条件利用（2）的结论可得 f（a）+f（b）=1，f（a）f（b）=2，由此求得 f（a）和 f（b）的值【解答】解：（1）由函数 f（x）=lg（），可得0，即，解得1x1，故函数的定义域为（1，1），关于原点对称 再根据 f（x）=lg=lg=f（x），可得 f（x）是奇函数（2）证明：f（x）+f（y）=lg+lg=lg，而 f（）=lg=lg=lg，f（x）+f（y）=f（）成立（3）若 f（）=1，f（）=2，则由（2）可得 f（a）+f（b）=1，f（a）f（b）=2，解得 f（a）=，f（b）=【点评】本题主要考查函数的奇偶性的判断和证明，证明恒等式，对数的运算性质应用，式子的变形是解题的关键，属于中档题 22.（本题 12 分）在长方体中，AB=BC=l，=2，点 M 是 是的中点(1)求证：MN/平面;(2)过 N,C,D 三点的平面把长方体截成两部分几何体，求所裁成的两部分几何体的体积的比值 参考答案：参考答案：