天津曹子里中学2022-2023学年高二数学理期末试题含解析

天津曹子里中学2022-2023学年高二数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知函数f（x）=x2+x+2cosx，若f'（x）是f（x）的导函数，则函数f'（x）的图象大致是（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】6A：函数的单调性与导数的关系． 【分析】由题可得f′（x）=2x﹣2sinx+1，判断导函数的奇偶性，利用特殊值的函数值推出结果即可． 【解答】解：函数f（x）=x2+x+2cosx， ∴f′（x）=2x+1﹣2sinx=2（x﹣sinx）+1， 而y=2（x﹣sinx）是奇函数， 故f′（x）的图象是y=2（x﹣sinx）的图象向上平移1个单位， 导函数是奇函数， ∵x∈（0，），x＞sinx＞0， ∴B、C、D不正确． 故选：A． 【点评】本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力． 2. 设分别为的三边的中点，则（   ）                                                       A.       B.      C.      D. 参考答案： A 3. 若集合，，则A∩B=（   ） A.(0,4) B. (－4,2] C. (0,2] D.(－4,4) 参考答案： C 【分析】 直接利用交集的定义求解即可. 【详解】因为集合，， 所以，故选C. 【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合. 4. 如图，正方体的棱长为，动点在棱上，动点分别在棱上，若，则四面体的体积     （      ） A．与都有关 B．与有关，与无关 C．与有关，与无关 D．与有关，与无关 参考答案： D 略 5. 已知复数（i为虚数单位），则（  ） A. B. C. D. 参考答案： A 【分析】 根据复数的运算和复数模的运算，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，复数.故选A. 【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的模的运算，其中解答中熟记复数的运算，准确利用复数的模的运算公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 6. 已知{an}为等比数列，若a4+a6=10，则a1a7+2a3a7+a3a9的值为（　　） A．10 B．20 C．60 D．100 参考答案： D 【考点】等比数列的通项公式；数列的求和．  【专题】等差数列与等比数列． 【分析】题目给出了等比数列，运用等比中项的概念，把要求的和式转化为a4+a6，则答案可求． 【解答】解：因为数列{an}为等比数列，由等比中项的概念有，，a3a7=a4a6， 所以a1a7+2a3a7+a3a9=． 故选D． 【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比中项的概念，考查了数学转化思想，该题是基础题． 7. 一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是                 (      ) ．            .  . . 参考答案： B 8. 下列函数中，最小值为4的是（    ） A．                  B. C．　　           D. 参考答案： C 略 9. 已知，则m等于（ ） A. 1 B. 4 C. 1或3 D. 3或4 参考答案： C 【分析】 根据组合数的性质即可得到方程，解方程求得结果. 【详解】由得：或 解得：或 本题正确选项： 【点睛】本题考查组合数性质的应用，属于基础题. 10. 已知满足不等式组，则的最大值为 （    ） A. -2    B. 0    C. 2    D. 4 参考答案： C 不等式组的可行域为三角形 其中 令,则的最大值，即为在轴截距相反数的最大值， 其直线过点时值最大，其值为. 的最大值为故本题正确答案是  二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知集合，,，则=  ▲   ． 参考答案： 12. “”是“”的____________条件. 参考答案： 充分不必要 略 13. 已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，点E是上底面A1B1C1D1（包括边界）内的任一点，若满足的关系式为：        。 参考答案： 14. 双曲线M的焦点是F1，F2，若双曲线M上存在点P，使是有一个内角为的等腰三角形，则M的离心率是______； 参考答案： 【分析】 根据双曲线的对称性可知，等腰三角形的腰应该为与或与，不妨设等腰三角形的腰为与，故可得到的值，再根据等腰三角形的内角为，求出的值，利用双曲线的定义可得双曲线的离心率. 【详解】解：根据双曲线的对称性可知， 等腰三角形的两个腰应为与或与， 不妨设等腰三角形的腰为与，且点在第一象限， 故， 等腰有一内角为， 即， 由余弦定理可得，， 由双曲线的定义可得， ， 即， 解得：. 【点睛】本题考查了双曲线的定义、性质等知识，解题的关键是要能准确判断出等腰三角形的腰所在的位置. 15. 已知定义在R上的函数的导函数的图象如图所示，则函数f(x)的单调减区间是__________． 参考答案： ， 【分析】 根据导数符号与原函数单调性之间的关系结合导函数的图象可得出函数的单调递减区间. 【详解】根据导数符号与原函数单调性之间的关系可知，函数的单调递减区间为和. 故答案为：，. 【点睛】本题考查利用导函数的图象求原函数的单调区间，要结合导函数符号与原函数单调性之间的关系来解答，属于基础题. 16. 设动直线与函数的图象分别交于点，则的最小值为    . 参考答案： 17. 解关于的不等式 参考答案： 解：若，原不等式 若，原不等式或 若，原不等式          其解的情况应由与1的大小关系决定，故 （1）当时，式的解集为； （2）当时，式； （3）当时，式. 综上所述，当时，解集为{}；           当时，解集为{}；           当时，解集为{}；           当时，解集为；           当时，解集为{}. 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知,不等式的解集为. (1) 求; (2) 当时,证明: 参考答案： 解：（1），原不等式等价于 ，                                            （2’） 解得                                     （4’） 不等式的解集是；                                                    （5’） （2）                                   （8’）                                    （10’） 19. （14分）如图所示的多面体ABC－A1B1C1中，三角形ABC是边长为4的正三角形，AA1∥BB1∥CC1，AA1⊥平面ABC，AA1＝BB1＝2CC1＝4. (1)若O是AB的中点，求证：OC1⊥A1B1； (2)求多面体ABC－A1B1C1的体积。 (3)（此问理科学生做）求二面角A—A1C1—B1的余弦值。   参考答案： (1)设线段A1B1的中点为E，连接OE，C1E. 由AA1⊥平面ABC得AA1⊥AB， 又BB1∥AA1且AA1＝BB1， 所以AA1B1B是矩形． 又点O是线段AB的中点， 所以OE∥AA1，所以OE⊥A1B1…….2分 由AA1⊥平面ABC得AA1⊥AC，A1A⊥BC. 又BB1∥AA1∥CC1， 所以BB1⊥BC，CC1⊥AC，CC1⊥BC， 且AC＝BC＝4，AA1＝BB1＝4，CC1＝2， 所以A1C1＝B1C1，所以C1E⊥A1B1.  …..4分 又C1E∩OE＝E， 所以A1B1⊥平面OC1E，因为OC1?平面OC1E，所以OC1⊥A1B1….6分 （2）将此图补全为一个正三棱柱，则VABC－A1B1C1=16—=……10分 （3）设AB1的中点为M，连接C1 M 可证C1M⊥平面ABB1A1，连接A1M，可证AB1⊥平面A1C1M 过A作AH⊥A1C1，连接B1H，可证DAHB1为二面角A—A1C1—B1的 平面角。………12分 求得AH=B1H=，AB1=4 由余弦定理知cosDAHB1=-……14分 20. 已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足． (Ⅰ)求{an}的通项公式； (Ⅱ)求和：． 参考答案： （1） ；（2）. 21. （本题满分12分） 如图，已知正四棱柱ABCD-的底面边长为3， 侧棱长为4，连结，过A作 ,垂足为F， 且AF的延长线交于E.                             （1） 求证：平面AEC； （2） 求二面角B-AE-C的的余弦值。 参考答案： 证明： 根据题意，建立空间直角坐标系如图所示，则 A(3，0，0),B(3，3，0),C(0，3，0),, （1），         （2）由（1）知，，是平面 AEC的一个法向量。 又是平面ABE的一个法向量. 即二面角B-AE-C的余弦值为 22. （满分10分）（Ⅰ） 设椭圆方程的左、右顶点分别为，点M是椭圆上异于的任意一点，设直线的斜率分别为，求证为定值并求出此定值； （Ⅱ）设椭圆方程的左、右顶点分别为，点M是椭圆上异于的任意一点，设直线的斜率分别为，利用（Ⅰ）的结论直接写出的值。（不必写出推理过程） 参考答案： （Ⅰ），          …………………………4分  在椭圆上有得………………6分 所以       …………………………8分 （Ⅱ）         ………………………………………………10分 略