广西壮族自治区桂林市海洋中学高三数学理下学期期末试卷含解析

广西壮族自治区桂林市海洋中学高三数学理下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 的三个内角对应的边分别，且成等差数列，则角等于（   ） A . B.  C. D.  参考答案： B 略 2. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使，则该椭圆的离心率的取值范围为（  ） A．       B．       C.         D． 参考答案： B 3. 下列各式中成立的是（   ） A． B．   C． D． 参考答案： D 略 4. 中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x=3，n=3，输入的a依次为由小到大顺序排列的质数（从最小质数开始）， 直到结束为止，则输出的s=（　　） A．9 B．27 C．32 D．103 参考答案： D 【考点】EF：程序框图． 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【解答】解：由题意，模拟程序的运行，可得 x=3，n=3，k=0，s=0 执行循环体，a=2，s=2，k=1 不满足条件k＞3，执行循环体，a=3，s=9，k=2 不满足条件k＞3，执行循环体，a=5，s=32，k=3 不满足条件k＞3，执行循环体，a=7，s=103，k=4 满足条件k＞3，退出循环，输出s的值为103． 故选：D． 5. 若为虚数单位，则复数等于（    ） （A）             （B） （C）             （D） 参考答案： D 6. 若实数x，y满足，则 z=2x﹣y的最小值为（　　） A．﹣6 B．1 C．3 D．6 参考答案： A 【考点】简单线性规划． 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案． 【解答】解：由实数x，y满足，作出可行域如图， 化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z， 由图可知，当直线y=2x﹣z过A（﹣3，0）时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为﹣6． 故选：A． 7. 已知x，y取值如下表： x 0 1 4 5 6 8 y 1.3 1.8 5.6 6.1 7.4 9.3 从所得散点图中分析可知：y与x线性相关，且=0.95x+a，则x=13时，y=（　　） 　 A． 1.45 B． 13.8 C． 13 D． 12.8 参考答案： 考点： 线性回归方程． 专题： 计算题；概率与统计． 分析： 计算平均数，可得样本中心点，代入线性回归方程，求得a的值，再代入x=13，即可求出y． 解答： 解：由题意，=（0+1+4+5+6+8）=4，=（）=5.25 ∵y与x线性相关，且=0.95x+a， ∴5.25=0.95×4+a，∴a=1.45 从而当x=13时，有=13.8．故选B． 点评： 本题考查线性回归方程，利用线性回归方程恒过样本中心点是关键． 8. 下列命题正确的个数 （      ） （1） 命题“”的否定是“”； （2）函数的最小正周期为”是“”的必要不充分条件； （3）．在上恒成立在上恒成立 （4）．“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“”。 A．1    B．2      C．3    D．4 参考答案： B 9. 为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5—18岁的男生体重（㎏），得到频率分布直方图如右图可得这100名学生中体重在（56.5， 64.5）的学生人数是（   ）     A．20             B．30     C．40             D．50                     参考答案： 答案：C 10. 复数（1+2i）2（其中i为虚数单位）的虚部为（　　） A．4 B．﹣4 C．4i D．﹣4i 参考答案： A 【考点】复数代数形式的乘除运算． 【分析】直接由复数代数形式的乘法运算化简复数（1+2i）2，则答案可求． 【解答】解：复数（1+2i）2=1+4i+4i2=﹣3+4i， 则复数（1+2i）2的虚部为：4． 故选：A． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知=（2，3），=（x，﹣6），若∥，则实数x的值为           ． 参考答案： ﹣4 【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示． 【专题】平面向量及应用． 【分析】利用向量共线定理的坐标运算即可得出． 解：∵∥，∴﹣12﹣3x=0，解得x=﹣4． 故答案为：﹣4． 【点评】本题考查了向量共线定理的坐标运算，属于基础题． 12. 设且，若函数的反函数的图像经过定点，则点的坐标 是___________． 参考答案： （3,1） 【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识. 【知识内容】函数与分析/指数函数与对数函数/指数函数的性质与图像、反函数. 【试题分析】因为函数经过定点（1,3），根据互为反函数的两个函数之间的关系知，函数的反函数经过定点（3,1），故答案为（3,1）. 13. 设数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，已知，，若对任意都有成立，则k的值为__________． 参考答案： 20 【分析】 由已知条件得出关于首项和公差的方程组，解出这两个量，计算出，利用二次函数的基本性质求出的最大值及其对应的值，即可得解. 【详解】设等差数列的公差为，由，解得， . 所以，当时，取得最大值， 对任意都有成立，则为数列的最大值，因此，. 故答案为：20. 【点睛】本题考查等差数列前项和最值的计算，一般利用二次函数的基本性质求解，考查计算能力，属于中等题. 14. 在如右图所示的程序框图中，当程序被执行后，输出的结果是       参考答案： 286 略 15. 存在区间（），使得，则称区间为函数的一个“稳定区间”.给出下列4个函数：①；②；③ ； ④其中存在“稳定区间”的函数有____        ______ . （把所有正确的序号都填上） 参考答案： ②③ 略 16. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆，直线，过直线l上点P作圆O的切线PA，PB，切点分别为A，B，若存在点P使得，则实数a的取值范围是       . 参考答案：   17. 已知函数①f(x)＝x2；②f(x)＝ex；③f(x)＝ln x；④f(x)＝cos x．其中对于 f(x)定义域内的任意一个x1都存在唯一的x2，使f(x1)f(x2)＝1成立的函数是　　 参考答案： ② 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18.     如图，在四棱锥P - ABCD中，底面四边形ABCD为矩形，PA=PD，AD= AB=2，且平面PAD 平面.ABCD.     (I)求证：PC BD； (Ⅱ)若PB=BC,求四棱锥P - ABCD的体积． 参考答案： 解：（Ⅰ）取为的中点，连接,如下图. 则在矩形中，有,可得， 则故， 故,…………………………………………………………………………………（3分） 由，为中点，可得,又平面平面. 则,则. 又平面，平面，则有平面， 又平面,故.…………………………………………………………（6分） （Ⅱ）在矩形中，连接，则，又 ，则， 则四棱锥的体积.……（12分）   略 19. (本题满分10分) 设函数。（Ⅰ）若不等式的解集为，求的值；（2）若存在，使，求实数a的取值范围。 参考答案： （Ⅰ）由题意可得可化为，即， 解得。             ··········   5分 （Ⅱ）令，    20. （14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足c=1，且cosBsinC+（a﹣sinB）cos（A+B）=0 （1）求C的大小； （2）求a2+b2的最大值，并求取得最大值时角A，B的值． 参考答案： 【考点】： 余弦定理的应用． 【专题】： 三角函数的求值；解三角形． 【分析】： （1）利用三角形的内角转化为A的三角函数，利用两角和的正弦函数求解结合正弦定理求出表达式，求出结合即可． （2）由余弦定理以及基本不等式求解最值即可． 解：（1）cosBsinC+（a﹣sinB）cos（A+B）=0 可得：cosBsinC﹣（a﹣sinB）cosC=0 即：sinA﹣acosC=0． 由正弦定理可知：， ∴， ∴asinC﹣acosC=0， sinC﹣cosC=0，可得sin（C﹣）=0，C是三角形内角， ∴C=． （2）由余弦定理可知：c2=a2+b2﹣2abcosC， 得1=a2+b2﹣ab 又， ∴， 即：． 当时，a2+b2取到最大值为2+． 【点评】： 本题考查三角形的最值，余弦定理的应用，正弦定理的应用，考查计算能力． 21. 已知数列的前项和为，数列满足. （1）求数列和的通项公式； （2）若，求数列的前项和 参考答案： (1) 当时，                      …………………….3分 当时， 相减得             ……………………..12分   略 22. （本小题满分13分）已知函数． (Ⅰ)讨论函数在定义域内的极值点的个数； (Ⅱ)若函数在处取得极值，对，恒成立，求实数的取值范围； 参考答案： 【知识点】利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；函数在某点取得极值的条件．B11 B12 (Ⅰ) 当时在上没有极值点，当时，在上有一个极值点． (Ⅱ) 。 解析：(Ⅰ)，当时，在上恒成立，函数 在单调递减，∴在上没有极值点； 当时，得，得， ∴在上递减，在上递增，即在处有极小值． ∴当时在上没有极值点， 当时，在上有一个极值点． 6分 (Ⅱ)∵函数在处取得极值，∴，∴， 令， 可得在上递减，在上递增， ∴，即． 13分 【思路点拨】(Ⅰ) 由f（x）=ax﹣1﹣lnx可求得f′（x）=，对a分a≤0与a＞0讨论f′（x）的符号，从而确定f（x）在其定义域（0，+∞）单调性与极值，可得答案； (Ⅱ) 函数f（x）在x=1处取得极值，可求得a=1，于是有f（x）≥bx﹣2?1+﹣≥b，构造函数g（x）=1+﹣，g（x）min即为所求的b的值．