江西省上饶市中学高三数学理下学期期末试题含解析

江西省上饶市中学高三数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，点A在双曲线上，且AF2⊥x轴，若△AF1F2的内切圆半价为，则其离心率为（　　） A． B．2 C． D． 参考答案： A 【考点】KC：双曲线的简单性质． 【分析】由题意可得A在双曲线的右支上，由双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|=2a，设Rt△AF1F2内切圆半径为r，运用等积法和勾股定理，可得r=c﹣a，结合条件和离心率公式，计算即可得到所求值． 【解答】解：由点A在双曲线上，且AF2⊥x轴， 可得A在双曲线的右支上， 由双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|=2a， 设Rt△AF1F2内切圆半径为r， 运用面积相等可得S=|AF2|?|F1F2| =r（|AF1|+|AF2|+|F1F2|）， 由勾股定理可得|AF2|2+|F1F2|2=|AF1|2， 解得r=， ， 则离心率e==， 故选A． 2. 已知函数f(x)＝sin x－x(x∈[0，π])，那么下列结论正确的是 (　　)． A．f(x)在上是增函数 B．f(x)在上是减函数 C．?x∈[0，π]，f(x)>f D．?x∈[0，π]，f(x)≤f 参考答案： D 略 3. 双曲线C：（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=2x，则C的离心率是（　　） A． B． C．2 D． 参考答案： A 【考点】双曲线的简单性质． 【专题】计算题；规律型；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】利用双曲线的渐近线推出b，a关系，然后求解离心率即可． 【解答】解：由已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=2x， 可得，， 故选：A． 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力． 4. 已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)+1(ω＞0，|φ|＜) ，f(α)=－1，f(β)=1，若|α﹣β|的最小值为，且f（x）的图象关于点(，1)对称，则函数f（x）的单调递增区间是（　　） A．[+2kπ，π+2kπ]，k∈Z B．[+3kπ，π+3kπ]，k∈Z C． [π+2kπ，+2kπ]，k∈Z D．[π+3kπ，+3kπ]，k∈Z 参考答案： B 【考点】正弦函数的单调性． 【分析】由题意，f（α）=﹣1，f（β）=1，|α﹣β|的最小值为，可得周期T=4|α﹣β|=3π，可求出ω，图象关于点对称，带入求解φ．可得f（x）的解析式．将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间． 【解答】解：由题意，函数， α﹣β|的最小值为， ∴周期T=4|α﹣β|=3π， ω=，即ω= ∴f（x）=2sin（+φ）+1 又∵图象关于点对称， 带入可得：sin（φ）=0，即φ=kπ，k∈Z． ∵|φ| ∴φ=． ∴f（x）=2sin（﹣）+1 由﹣． 得：，k∈Z． 故选：B． 　 5. 已知e是自然对数的底数，不等于1的两正数x，y满足，若，则的最小值为（　　） A. -1 B. C. D. 参考答案： D 【分析】 利用对数的运算公式，化简，求得的值，由此求得的关系式，化简，并利用导数求得最小值. 【详解】依题意，即，由于，故上式解得，即.所以.构造函数（为不等于的正数）.，故函数在上递减，在上递增，所以最小值为.故选D. 【点睛】本小题主要考查对数运算，考查利用导数求表达式的最小值的方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 6. 为了解一片速生林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm）．根据所得数据画出了样本的频率分布直方图（如图 1），那么在这100株树木中，底部周长小于110cm的株数是（   ）．   A．30                   B．60 C．70                   D．80 参考答案： C 7. 已知△ABC的三个内角A、B、C所对边长分别为a、b、c，向量m＝(a＋c，a－b)，n＝(b，a－c)，若m∥n，则∠C＝(　  　) A．         B．           C． D． 参考答案： B 8. （5分）已知向量、的夹角为45°，且||=1，|2﹣|=，则||=（　　） 　 A． 3 B． 2 C． D． 1 参考答案： A 【考点】： 平面向量数量积的运算． 【专题】： 计算题；平面向量及应用． 【分析】： 将|2﹣|=平方，然后将夹角与||=1代入，得到||的方程，解方程可得． 解：因为、的夹角为45°，且||=1，|2﹣|=， 所以42﹣4?+2=10，即||2﹣2||﹣6=0， 解得||=3或||=﹣（舍）， 故选A． 【点评】： 本题解题的关键是将模转化为数量积，从而得到所求向量模的方程，利用到了方程的思想． 9. 设函数，若的值等于       （    ）     A．3    B．2    C．-1   D．-2 参考答案： B 略 10. 已知向量=（1，x），=（2x+3，﹣x）（x∈R），若∥，则x的值为（　　） A．﹣2 B．﹣2或0 C．1或﹣3 D．0或2 参考答案： B 【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示． 【分析】根据题意和平面向量共线的坐标表示列出方程，化简后求出x的值． 【解答】解：∵向量=（1，x），=（2x+3，﹣x）（x∈R），且∥， ∴﹣x﹣x（2x+3）=0，即2x（x+2）=0， 解得x=﹣2或x=0， 故选B． 　 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知函数对任意实数x、y满足，若，，则用a、b表示____________. 参考答案： 12. 一个棱长为5的正四面体（棱长都相等的三棱锥）纸盒内放一个小正四面体，若小正四面体在纸盒内可以任意转动，则小正四面体棱长的最大值为       . 参考答案： 13. （不等式选做题）不等式的解集是             ；      参考答案： 14. 已知函数f（x）=ax3+bx，若f（a）=8，则f（﹣a）=　   　． 参考答案： ﹣8 【考点】3L：函数奇偶性的性质． 【分析】根据题意，由函数f（x）的解析式分析可得f（﹣x）=﹣f（x），函数f（x）为奇函数，由奇函数的性质分析可得答案． 【解答】解：根据题意，对于函数f（x）=ax3+bx， 则有f（﹣x）=a（﹣x）3+b（﹣x）=﹣（ax3+bx）=﹣f（x）， 即函数f（x）为奇函数， 若若f（a）=8，则f（﹣a）=﹣f（a）=﹣8； 故答案为：﹣8． 15. 若对任意，恒成立，则的取值范围是             ． 参考答案： 略 16. 选修4—1几何证明选讲）如图，内接于，，直线切于点C，交于点.若则的长为         ． 参考答案： 17. 数列{an}的通项公式为an=2ncos，n∈N*，其前n项和为Sn，则S2016=　　． 参考答案： 【考点】数列的求和． 【分析】由an=2ncos，n∈N*，可得an=a2k=2ncoskπ=2n（﹣1）k=?2n；an=a2k﹣1=2n=0．（k∈N*）．可得S2016=a2+a4+…+a2n． 【解答】解：∵an=2ncos，n∈N*， ∴an=a2k=2ncoskπ=2n（﹣1）k=?2n； an=a2k﹣1=2n=0．（k∈N*）． ∴S2016=a2+a4+…+a2n =﹣22+24﹣…+22016 = =． 故答案为：． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知． （Ⅰ）求不等式的解集； （Ⅱ）若存在，使得成立，求实数的取值范围． 参考答案： （Ⅰ）不等式等价于或 或 ，解得或， 所以不等式的解集是； （Ⅱ），， ，解得实数的取值范围是． 19. （12分）某学校为响应省政府号召，每学期派老师到各个民工子弟学校支教，以下是该学校50名老师上学期在某一个民工子弟学校支教的次数统计结果： 支教次数 0 1 2 3 人数 5 10 20 15 根据上表信息解答以下问题： （1）从该学校任选两名老师，用η表示这两人支教次数之和，记“函数f（x）=x2﹣ηx﹣1在区间（4，5）上有且只有一个零点”为事件A，求事件A发生的概率P1； （2）从该学校任选两名老师，用ξ表示这两人支教次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ． 参考答案： （1）函数f（x）=x2﹣ηx﹣1过（0，﹣1）点，在区间（4，5）上有且只有一个零点， 则必有，即：，解得：， ∵∈N*，∴η=4．（3分） 当η=4时，P1==．（6分） （2）从该学校任选两名老师，用ξ表示这两人支教次数之差的绝对值， 则ξ的可能取值分别是0，1，2，3，（7分） P（ξ=0）==， P（ξ=1）==， P（ξ=2）==， P（ξ=3）==，（10分） 从而ξ的分布列： ξ 0 1 2 3 P ξ的数学期望：Eξ==． …（12分） 20. 已知函数f（x）=k（x﹣1）ex+x2． （Ⅰ）当时k=﹣，求函数f（x）在点（1，1）处的切线方程； （Ⅱ）若在y轴的左侧，函数g（x）=x2+（k+2）x的图象恒在f（x）的导函数f′（x）图象的上方，求k的取值范围； （Ⅲ）当k≤﹣l时，求函数f（x）在[k，1]上的最小值m． 参考答案： 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（Ⅰ）k=﹣时，f（x）=﹣（x﹣1）ex+x2，得f′（x）=x（2﹣ex﹣1 ），从而求出函数f（x）在（1，1）处的切线方程； （Ⅱ）f′（x）=kx（ex+）＜x2+（k+2）x，即：kxex﹣x2﹣kx＜0，令h（x）=kex﹣x﹣k，讨论当k≤0时，当0＜k≤1时，当k＞1时，从而综合得出k的范围； （Ⅲ）f′（x）=kx（ex+），令f′（x）=0，得：x1=0，x2=ln（﹣），令g（k）=ln（﹣）﹣k，则g′（k）=﹣﹣1≤0，得g（k）在k=﹣1时取最小值g（﹣1）=1+ln2＞0，讨论当﹣2＜k≤﹣1时，当k=﹣2时，当k＜﹣2时的情况，从而求出m的值． 【解答】解：（Ⅰ）k=﹣时，f（x）=﹣（x﹣1）ex+x2， ∴f′（x）=x（2﹣ex﹣1 ），∴f′（1）=1，f（1）=1， ∴函数f（x）在（1，1）处的切线方程为y=x， （Ⅱ）f′（x）=kx（ex+）＜x2+（k+2）x， 即：kxex﹣x2﹣kx＜0， ∵x＜0，∴kex﹣x﹣k＞0， 令h（x）=kex﹣x﹣k， ∴h′（x）=kex﹣1， 当k≤0时，h（x）在x＜0时递减，h（x）＞h（0）=0，符合题意， 当0＜k≤1时，h（x）在x＜0时递减，h（x）＞h（0）=0，符合题意， 当k＞1时，h（x）在（﹣∞，﹣lnk）递减，在（﹣lnk，0）递增， ∴h（﹣lnk）＜h（0）=0，不合题意， 综上：k≤1． （Ⅲ）f′（x）=kx（ex+）， 令f′（x）=0，解得：x1=0，x2=ln（﹣）， 令g（k）=ln（﹣）﹣k，则g′（k）=﹣﹣1≤0， g（k）在k=﹣1时取最小值g（﹣1）=1+ln2＞0， ∴x2=ln（﹣）＞k， 当﹣2＜k≤﹣1时，x2=ln（﹣）＞0， f（x）的最小值为m=min{f（0），f（1）}=min{﹣k，1}=1， 当k=﹣2时，函数f（x）在区间[k