2022年江苏省无锡市凌霞实验中学高三数学文模拟试卷含解析

2022年江苏省无锡市凌霞实验中学高三数学文模拟试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在中，已知，则||的值为（    ） A .1             B.             C.             D. 2 参考答案： B 2. 在直角坐标系中，定义两点之间的“直角距离”为， 现给出四个命题： ①已知，则为定值； ②用表示两点间的“直线距离”，那么； ③已知为直线上任一点，为坐标原点，则的最小值为； ④已知三点不共线，则必有. A．②③     B．①④      C．①②      D．①②④ 参考答案： C 略 3. 将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移个单位，那么所得的图象对应的函数解析式是(     ) A．y=sin2x B．y=cos2x C．y=sin（2x+） D．y=sin（2x﹣） 参考答案： D 【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【专题】计算题；三角函数的图像与性质． 【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可求得f（x﹣）的解析式，从而可得答案． 【解答】解：∵f（x）=sin（2x+）， ∴将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移个单位， 得：f（x﹣）=sin[2（x﹣）+]=sin（2x﹣）， 所得的图象对应的函数解析式是y=sin（2x﹣）， 故选D． 【点评】本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，属于中档题． 4. 圆和圆的位置关系为 A.相交 B.相切 C.相离 D.以上都有可能 参考答案： A 5. 曲线在处的切线方程为          A.              B.          C.              D.     参考答案： A 略 6. 设是单位向量，且，则的最小值为（    ）    A、-2        B、      C、-1       D、 参考答案： D 7. 已知变量满足的值范围是 （   ）                                  参考答案： 【知识点】线性规划  E5 Ａ画出约束条件所表示的平面区域可知，该区域是由点所围成的三角形区域（包括边界），，记点，得，，所以的取值范围是.故选择Ａ. 【思路点拨】画出约束条件所表示的平面区域可知为三角形，目标函数可化为：，表示为可行域的点与点连线的斜率的范围加3求得. 8. 已知，，则（    ） A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 由辅助角公式将所求的角化为与已知同角，再利用同角间的三角函数关系，即可求解. 【详解】， ， ， . 故选:C. 【点睛】本题考查三角恒等变换、同角间的三角函数关系求值，应用平方关系要注意角的范围判断，属于中档题. 9. 设函数若f（﹣4）=f（0），f（﹣2）=0，则关于x的不等式f（x）≤1的解集为（　　） 　 A．（﹣∞，﹣3]∪[﹣1，+∞） B． [﹣3，﹣1] C． [﹣3，﹣1]∪（0，+∞） D． [﹣3，+∞） 参考答案： 考点： 二次函数的性质；一元二次不等式的解法． 专题： 计算题． 分析： 利用f（﹣4）=f（0），f（﹣2）=0，建立方程组，解得b=c=4，由此能求出关于x的不等式f（x）≤1的解集． 解答： 解：∵函数， f（﹣4）=f（0），f（﹣2）=0， ∴， 解得b=c=4， ∴， ∴当x＞0时，f（x）=﹣2≤1； 当x≤0时，由f（x）=x2+4x+4≤1，解得﹣3≤x≤﹣1． 综上所述，x的不等式f（x）≤1的解集为{x|x＞0，或﹣3≤x≤﹣1}． 故选C． 点评： 本题考查二次函数的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意一元二次不等式的性质和应用． 10. 已知平面向量，，那么等于（    ） A.             B.         C. D. 参考答案： B 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知，，则___. 参考答案： 12. 若数列的前项和,则=___________ 参考答案： -8 13. 如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是 __________．   参考答案： 略 14. 如图，圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，则该圆锥的母线与底面所成的角的大小是                   . 参考答案：   15. 已知角θ的终边上一点坐标为（3，﹣4），则cos（π﹣2θ）的值是　　． 参考答案： 【考点】二倍角的余弦；任意角的三角函数的定义． 【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义求得 cosθ 的值，再利用二倍角的余弦公式求得cos（π﹣2θ）的值． 【解答】解：∵角θ的终边上一点坐标为（3，﹣4），∴cosθ==， 则cos（π﹣2θ）=﹣cos2θ=﹣（2cos2θ﹣1）=1﹣2cos2θ=1﹣2×=， 故答案为：． 16. 下列结论：     ①已知命题p：；命题q： 则命题“”是假命题； ②函数的最小值为且它的图像关于y轴对称； 20070326   ③“”是“”的充分不必要条件；        ④在中，若，则中是直角三角形。     ⑤若； 其中正确命题的序号为             ．（把你认为正确的命题序号填在横线处 参考答案： 无 略 17. （理）若有下列命题：① 有四个实数解；②　设是实数，若二次方程无实根，则；③　若则，④　若，则函数+的最小值为2．上述命题中是假命题的有              (写出所有假命题的序号)． 参考答案： ①、④ 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (本题满分12分）已知函数，函数的图象在点处的切线平行于x轴。 （）确定a与b的关系； （）试讨论函数的单调性; （）证明：对任意，都有成立。 参考答案： (Ⅰ)依题意得，则 由函数的图象在点处的切线平行于X轴得： ∴      ………………………………3分 (Ⅱ)由（1）得 ∵函数的定义域为 ∴当时，在上恒成立， 由得，由得， 即函数在(0,1)上单调递增，在单调递减； 当时，令得或， 若，即时，由得或，由得， 即函数在，上单调递增，在单调递减； 若，即时，由得或，由得， 即函数在，上单调递增，在单调递减； 若，即时，在上恒有， 即函数在上单调递增， 综上得：当时，函数在(0,1)上单调递增，在单调递减； 当时，函数在(0,1)单调递增，在单调递减；在上单调递增； 当时，函数在上单调递增， 当时，函数在上单调递增，在单调递减；在上单调递增． .............8分 （III）证法一：由（2）知当时，函数在单调递增，，即， 令，则           ………………10分 即………………12分（由于题目印刷错误,学生余下推理部分不管正误，不计分;其它证明方法酌情给分.） 证法二：构造数列，使其前项和， 则当时，.     ........9分 显然也满足该式， 故只需证..................10分 令，即证，记 则， 在上单调递增，故， ∴成立， 即........12分（由于题目印刷错误学生余下推理部分不管正误，不计分; 其它证明方法酌情给分.） 19. 如图4，四棱锥的俯视图是菱形，顶点的投影恰好为． ⑴求证：； ⑵若，，四棱锥的体积，求的长． 参考答案： ⑴依题意，底面……2分 因为底面，所以……3分 依题意，是菱形，……4分 因为，所以平面……6分，所以……7分． ⑵……8分，……10分， ，……12分，所以……14分． 略 20. （本小题满分15分）如下图所示，平面四边形PABC中，为直角，为等边三角形，现把沿着AB折起，使得垂直，且点M为AB的中点。 （1）求证：平面PAB⊥平面PCM （2）若2PA=AB，求直线BC与平面PMC所成角的余弦值。                                                       参考答案： 证明： 且交线为AB 又为直角 所以                        ··········2分 故                                ·········3分 又为等边三角形，点M为AB的中点 所以                             ··········4分 又 所以                         ·········5分 又 所以平面PAB⊥平面PCM                        ·········6分 （2）假设PA=a，则AB=2a 方法一：(等体积法)            ··········8分 而三角形PMC为直角三角形，故面积为··10分 故    ··················12分 所以直线BC与平面PMC所成角的正弦值    ········13分 所以余弦值为  ·············14分 方法二：（向量坐标法）    以M点为坐标原点，以MB为x轴，以MC为y轴，且设PA=a,则M(0，0，0),P(-a,0,a),B(a,0,0),C(0,,0)       ····8分 故·假设平面PMC的法向量为 则y=0，x=z,令x=1    故       ··········11 分     则直线BC与平面PMC所成角的正弦值,····13分 所以余弦值为          ················15分 21. 已知函数  在处有极大值. (Ⅰ)试确定实数的值； (Ⅱ)判断方程在区间（0,3）内实数根的个数并说明理由． 参考答案： 解：(Ⅰ)，又在处有极大值， 所以．此时         ，   所以，在处有极大值，故    。。。。。。。。。。。。。。6分 (Ⅱ)由(1)可知，函数， 且 所以方程在区间（0,3）内实数根有两个．。。。。。。。。。。。。。。。。12分 22. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，． （1）求的值； （2）求函数的值域． 参考答案： （1）32（2） 试题分析：（1）由向量的数量积运算变形为三角形三边及内角表示，结合已知和所求的为有关于三边问题，因此采用余弦定理将其结合起来（2）中由的值借助于不等式性质得到角的范围，将所求的函数式整理化简为的形式，进而可利用三角函数单调性求解最值 试题解析：（1）因为，所以． 3分 由余弦定理得， 因为，所以． 6分 （2）因为，所以， 8分 所以． 因为，所以． 10分 因为， 12分 由于，所以， 所以的值域为． 14分 考点：1．余弦定理解三角形；2．均值不等式求最值；3．三角函数化简及性质