四川省内江市第八中学高三数学文测试题含解析

四川省内江市第八中学高三数学文测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 下列命题中的假命题是                                        A、?x∈R,2x－1＞0                 B、?x∈N*，(x－1)2＞0   C、?x∈R，lg x＜1    D、?x∈R，tan x＝2 参考答案： B 2. 已知则向量与的夹角是      (    ) Ａ.                Ｂ.                C.            D. 参考答案： C 3. 函数为奇函数，=（     ）      A．3          B．1 C． D．5 参考答案： C 略 4. 设集合，，则 （    ） A． B． C． D． 参考答案： D 5. 函数在[－π，π]上的图象大致为（ ）    A．                B．                  C.                   D． 参考答案： A ∵，∴为偶函数，排除B，D．∵，∴排除C，故选A．   6. 已知复数的实部为﹣1，则复数z﹣b在复平面上对应的点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 参考答案： B 【考点】复数代数形式的乘除运算． 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由题意求得b，进一步求得复数z﹣b在复平面上对应的点的坐标得答案． 【解答】解：由的实部为﹣1，得，得b=6． ∴z=﹣1+5i，则z﹣b=﹣7+5i，在复平面上对应的点的坐标为（﹣7，5），在第二象限． 故选：B． 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 7. 直线x﹣3y+3=0与圆（x﹣1）2+（y﹣3）2=10相交所得弦长为（　　） A．B．C．4 D．3 参考答案： A 【考点】直线与圆相交的性质． 【分析】根据已知中圆的标准方程和直线的一般方程，代入圆的弦长公式，可得答案． 【解答】解：圆（x﹣1）2+（y﹣3）2=10的圆心坐标为（1，3），半径r=， 圆心到直线x﹣3y+3=0的距离d==， 故弦AB=2=， 故选A． 　 8. 已知函数是定义在实数集R上的奇函数，且当时成立（其中的导函数），若，， 则的大小关系是（    ）     A．        B．        C．        D． 参考答案： A 略 9. 已知等差数列满足且，则=（    ） A．       B．      C．      D． 参考答案： D 10. 曲线在点处的切线方程是  (    )    A． B． C． D． 参考答案： A 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 数学老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布列如下表请小牛同学计算其数学期望，尽管“！”处无法完全看清，且两个“？”处字迹模糊，但能肯定这两个“？”处的数值相同。据此，小牛给出了正确答案       。 参考答案： 2 12. 在△ABC中，，，，则_____． 参考答案： 2 【知识点】余弦定理同角三角函数的基本关系式 【试题解析】因为所以 又因为解得： 再由余弦定理得： 故答案为：2 13. 某商品在最近天内的单价与时间的函数关系是   日销售量与时间的函数关系是.则这种商品的日销售额的最大值为    . 参考答案： 808.5     略 14. 若,则展开式中的系数为          (用数字作答). 参考答案： 10 略 15. 已知，，则    ． 参考答案： 16. 等比数列中,,,则_________. 参考答案： 84 17. 在某条件下的汽车测试中，驾驶员在一次加满油后的连续行驶 过程中从汽车仪表盘得到如下信息： 时间 油耗（升/100公里） 可继续行驶距离（公里） 10：00 9．5 300 11：00 9．6 220       注：油耗         从以上信息可以推断在10：00—11：00这一小时内       （填上所有正确判断的序号）        ①行驶了80公里；        ②行驶不足80公里；        ③平均油耗超过9.6升/100公里        ④平均油耗恰为9.6升/100公里；        ⑤平均车速超过80公里/小时。 参考答案： ②③ 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （12分）已知O为坐标原点，圆M：（x+1）2+y2=16，定点F（1，0），点N是圆M上一动点，线段NF的垂直平分线交圆M的半径MN于点Q，点Q的轨迹为E． （1）求曲线E的方程； （2）已知点P是曲线E上但不在坐标轴上的任意一点，曲线E与y轴的交点分别为B1、B2，直线B1P和B2P分别与x轴相交于C、D两点，请问线段长之积|OC|?|OD|是否为定值？如果是请求出定值，如果不是请说明理由； （3）在（2）的条件下，若点C坐标为（﹣1，0），过点C的直线l与E相交于A、B两点，求△ABD面积的最大值． 参考答案： 【考点】直线和圆的方程的应用． 【分析】（1）通过连结FQ，利用中垂线的性质及椭圆的定义即得结论； （2）证明：设P（x0，y0），可得3x02=4（3﹣y02），直线B1P的方程为：y=．令y=0，得， |OC|?|OD|=|xC|?|xD|=||=4（定值）； （3）当点C的坐标为（﹣1，0）时，点D（﹣4，0），|CD|=3， 设直线l的方程为：x=my﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2） 联立得（3m2+4）y2﹣6my﹣9=0 解得：． |y1﹣y2|=，△ABD面积s=×|y1﹣y2|===； 【解答】（1）解：连结FQ，则FQ=NQ， ∵MQ+FQ=MQ+QN=MN=4＞ME，椭圆的定义即得点Q的轨迹为以点M、F为焦点，长轴为4的椭圆                                                ∴2a=4，即a=2，又∵焦点为（1，0），即c=1， ∴b2=a2﹣c2=4﹣1=3， 故点Q的轨迹C的方程为： （2）证明：设P（x0，y0），直线B1P的方程为：y=． 令y=0，得， |OC|?|OD|=|xC|?|xD|=|| ∵点P是曲线E上但不在坐标轴上的任意一点，∴．即3x02=4（3﹣y02）， ∴=4，|OC|?|OD|是否为定值4． （3）当点C的坐标为（﹣1，0）时，点D（﹣4，0），|CD|=3， 设直线l的方程为：x=my﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2） 联立得（3m2+4）y2﹣6my﹣9=0 解得：． |y1﹣y2|=，△ABD面积s=×|y1﹣y2|=?==； ∵，根据∵在[1，+∞）递增 可得3． ∴ ∴m=0，即直线AB：x=﹣1时，△ABD面积的最大为． 【点评】本题考查了轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系，主要考查运算能力，属于难题． 　 19. 已知抛物线E：y2=2px（p＞0）的准线与x轴交于点K，过点K作圆C：（x﹣2）2+y2=1的两条切线，切点为M，N，|MN|= （1）求抛物线E的方程 （2）设A、B是抛物线E上分别位于x轴两侧的两个动点，且=（其中O为坐标原点） ①求证：直线AB必过定点，并求出该定点Q的坐标 ②过点Q作AB的垂线与抛物线交于G、D两点，求四边形AGBD面积的最小值． 参考答案： 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】（1）求得K的坐标，圆的圆心和半径，运用对称性可得MR的长，由勾股定理和锐角的三角函数，可得CK=3，再由点到直线的距离公式即可求得p=2，进而得到抛物线方程； （2）①设出直线方程，联立抛物线方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，化简整理，即可得到定点Q； ②运用弦长公式和四边形的面积公式，换元整理，结合基本不等式，即可求得最小值． 【解答】（1）解：由已知可得K（﹣，0），圆C：（x﹣2）2+y2=1的圆心C（2，0），半径r=1． 设MN与x轴交于R，由圆的对称性可得|MR|=， 于是|CR|===， 即有|CK|====3， 即有2+=3，解得p=2，则抛物线E的方程为y2=4x； （2）①证明：设直线AB：x=my+t，A（，y1），B（，y2）， 联立抛物线方程可得y2﹣4my﹣4t=0， y1+y2=4m，y1y2=﹣4t， =，即有（）2+y1y2=， 解得y1y2=﹣18或2（舍去）， 即﹣4t=﹣18，解得t=． 则有AB恒过定点Q（，0）； ②解：由①可得|AB|=|y2﹣y1|=?， 同理|GD|=|y2﹣y1|=?， 则四边形AGBD面积S=|AB|?|GD|=??? =4， 令m2+=μ（μ≥2），则S=4是关于μ的增函数， 则当μ=2时，S取得最小值，且为88． 当且仅当m=±1时，四边形AGBD面积的最小值为88． 20. 已知函数.   （1）.求函数的单调区间；   （2）若.恒成立，试确定实数的取值范围；   （3）证明：（）. 参考答案： 解析: (1)      当-------2’      当则有                若      -------4’     综上:  ----5’ (2)由(1)知,当时,,故 -------6’   又由(1)知, 要使只需, 由                                 -----------------8’  (3)由(2)知,当时, 上是减函数,            又,时有,            即在恒成立         -------------------------10’            令(),则即                          21. （本小题满分12分）在中，分别为角的对边，设， (1)若，且，求角的大小； （2）若，求角的取值范围。 参考答案： 22. 设集合，集合. （1）当时,求及； （2）若是的充分条件，求实数的取值范围. 参考答案： （1），；（2）. 试题分析：（1）当时分别求出对应的解集，求得对应的解集，再取并集和交集求得结果；（2）是的充分条件，则是的子集，所以或，解得. 考点：函数交集、并集和补集，充要条件.