上海市奉贤区实验中学高二数学文期末试题含解析

上海市奉贤区实验中学高二数学文期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 如果正数满足，那么（    ） A. 且等号成立时的取值唯一 B. 且等号成立时的取值唯一 C. 且等号成立时的取值不唯一 D. 且等号成立时的取值不唯一 参考答案： A 2. 观察下列各式：a+b=1.a2+b2=3，a3+b3=4 ，a4+b4=7,a5+b5=11,…，则a10+b10=（  ） A. 28 B. 76 C. 123 D. 199 参考答案： C 【详解】由题观察可发现， ， ， ， 即 故选C. 考点：观察和归纳推理能力. 3. 某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点，公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为(1)；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为(2)。则完成(1)、(2)这两项调查宜采用的抽样方法依次是   (     ) A、分层抽样法，系统抽样法             B、分层抽样法，简单随机抽样法 C、系统抽样法，分层抽样法             D、简单随机抽样法，分层抽样法 参考答案： B 4. 设随机变量X~N（0，1） ，已知，则（　　） A．0.025　      B．0.050　          C．0.950　          D．0.975 参考答案： C 略 5. 小明同学在做一项市场调查时的如下样本数据： x 1 3 6 10 y 8 4 2 他由此样本得到回归直线的方程为，则下列说法正确的是(    ) A. 变量x与y线性正相关 B. x的值为2时，y的值为11.3 C. D. 变量x与y之间是函数关系 参考答案： C 【分析】 计算样本中线点，根据线性回归方程恒过样本中心点，列出方程，求解即可得到结论. 【详解】由题意，， 因为关于的线性回归方程为：， 所以得到，解得， 根据题意可得变量与线性负相关，所以A错， 的值为2时，的值大约为11.3，所以B错， 变量与之间是相关关系，所以D错，只有C是正确的， 故选C. 【点睛】该题考查的是有关线性回归的问题，涉及到的知识点有回归直线恒过样本中心点，两个变量之间的正负相关的判断，属于简单题目.   6. 在R上定义运算：，若不等式对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A. B. C. D. 参考答案： B 【分析】 把不等式对任意实数都成立，转化为对任意实数都成立，利用二次函数的性质，即可求解。 【详解】由题意，可知不等式对任意实数都成立， 又由， 即对任意实数都成立， 所以，即，解得， 故选B。 【点睛】本题主要考查了函数的新定义问题，以及不等式的恒成立问题，其中解答中把不等式的恒成立问题转化为一元二次不等式的恒成立，利用二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于基础题。 7. 如图，在一个长为π，宽为2的矩形OABC内，曲线y＝sin x(0≤x≤π)与x轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC内随机投一点(该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是(  　) 参考答案： A 8. 已知在四面体中，分别是的中点，若，则与所成的角的度数为（　　） Ａ．　　　Ｂ．　　　Ｃ．　　 Ｄ． 参考答案： D  解析：取的中点，则则与所成的角 9. 长方体ABCD-A1B1C1D1中，w.w.w.k.s.5 u.c.o.m∠BAB1 =30°，则C1D与B1B所成的角是（     ） A． 60°        B． 90°         C． 30°        D． 45° 参考答案： A 10. 设，则是 的（    ）    A．充分但不必要条件             B．必要但不充分条件        C．充要条件                        D．既不充分也不必要条件 参考答案： A 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知动点到点的距离等于它到直线的距离，则点的轨迹方程是   ▲    . 参考答案： 略 12. 某学院的A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本。已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取_＿＿＿＿名学生。 参考答案： 4013. 已知点A ( 3，1 )，点M，N分别在直线y = x和y = 0上，当△AMN的周长最小时，点M的坐标是       ，点N的坐标是       。 参考答案： (，)，(，0 ) 14. 命题“在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。”的逆命题是______________命题（填“真”或“假”）． 参考答案： 真 略 15. 已知点M在直线（t为参数）上，点N为曲线（为参数）上的动点，则的最小值为________________. 参考答案： 【分析】 先求出直线的普通方程，再求出点到直线的距离，再利用三角函数的性质求出|MN|的最小值. 【详解】由题得直线方程为， 由题意，点到直线的距离， ∴. 故答案为： 【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，考查点到直线的距离的最值的求法和三角函数的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 16. 已知命题“若a＞b，则ac2＞bc2”及它的逆命题、否命题、逆否命题，在这四个命题中假命题有         个． 参考答案： 2 【考点】四种命题间的逆否关系；命题的真假判断与应用． 【专题】对应思想；综合法；简易逻辑． 【分析】根据命题的等价关系，可先判断原命题与逆命题的真假． 【解答】解：若a＞b，c2=0，则ac2=bc2， ∴原命题若a＞b，则ac2＞bc2为假； ∵逆否命题与原命题等价， ∴逆否命题也为假． 原命题的逆命题是：若ac2＞bc2，则c2≠0且c2＞0，则a＞b， ∴逆命题为真； 又∵逆命题与否命题等价， ∴否命题也为真； 综上，四个命题中，真命题的个数为2， 故答案为：2个． 【点评】本题考查命题的真假判断，根据命题的等价关系，四个命题中，真（假）命题的个数必为偶数个． 17. 设正三棱锥底面的边长为a，侧面组成直二面角，则该棱锥的体积等于       。 参考答案： a 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数f(x)=2ax3+bx2------－6x在x=1处取得极值 (1) 讨论f(1)和f(－1)是函数f(x)的极大值还是极小值; (2) 试求函数f(x)在x=－2处的切线方程； (3) 试求函数f(x)在区间[－3,2] 上的最值。 参考答案： （1）f(x)=2x3－6x; 故f(1)=－4是极小值,f(－1)=4是极大值 （2）.切线方程是18x－y+32=0      (3) .最大值为f(－1)=f(2)=4,  最小值为f(－3)=－36 19. 如图,都在同一个与水平面垂直 的平面  内,为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量 船于水面处测得点和点的仰角分别为, ,于水面处测得点和点的仰角均为, ,试探究图中间距离与另外哪两 点距离相等，然后求的距离（计算结果精确 到,）  参考答案： 解析：在中， 所以又  故是底边的中垂线，所以----5分 在中，，           即 因此， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m      故的距离约为-------------12分w.w.w.k. 20. 在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠APB=90°，点M是线段AB上的一点，且PM⊥CD，AB=BC=2PB=2AD=4BM． （1）证明：面PAB⊥面ABCD； （2）求直线CM与平面PCD所成角的正弦值． 参考答案： 【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定． 【分析】（1）只要证明PM⊥面ABCD利用面面垂直的判定定理证明即可； （2）过点M作MH⊥CD，连结HP，得到CD⊥平面PMH进一步得到平面PMH⊥平面PCD；过点M作MN⊥PH，得到∠MCN为直线CM与平面PCD所成角，通过解三角形得到所求． 【解答】（1）证明：由AB=2PB=4BM，得PM⊥AB， 又因为PM⊥CD，且AB∩CD，所以PM⊥面ABCD，… 且PM?面PAB．所以，面PAB⊥面ABCD．… （2）解：过点M作MH⊥CD，连结HP， 因为PM⊥CD，且PM∩MH=M， 所以CD⊥平面PMH，又由CD?平面PCD， 所以平面PMH⊥平面PCD，平面PMH∩平面PCD=PH，过点M作MN⊥PH， 即有MN⊥平面PCD，所以∠MCN为直线CM与平面PCD所成角． … 在四棱锥P﹣ABCD中，设AB=2t，则，，，∴，， 从而， 即直线CM与平面PCD所成角的正弦值为． … 21. （本小题满分12分） 解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax  (a>－2). 参考答案： 解：原不等式可化为： 1°若，不等式可化为得………………3分     2°若，不等式可化为                相应方程的2根为，显然                故……………………………………7分 3°若，则， 故………………11分 综上：1°当时，不等式的解集为 2°当时，不等式的解集为 3°当时，不等式的解集为………………12分 （注释：在综上之前已写成解集，不总结，不扣分） 略 22. 如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1=AB=AC=1，AB⊥AC，M是CC1的中点，N是BC的中点，点P在直线A1B1上，且满足． （1）当λ取何值时，直线PN与平面ABC所成的角θ最大？ （2）若平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°，试确定点P的位置． 参考答案： 【考点】MR：用空间向量求平面间的夹角；MQ：用空间向量求直线与平面的夹角． 【分析】（1）以AB、AC、AA1分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz，可得向量的坐标关于λ的表示式，而平面ABC的法向量，可建立sinθ关于λ的式子，最后结合二次函数的性质可得当时，角θ达到最大值； （2）根据垂直向量的数量积等于0，建立方程组并解之可得平面PMN的一个法向量为，而平面PMN与平面ABC所成的二面角等于向量、所成的锐角，由此结合已知条件建立关于λ的方程并解之，即可得到λ的值，从而确定点P的位置． 【解答】解：（1）以AB、AC、AA1分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz， 则，易得平面ABC的一个法向量为 则直线PN与平面ABC所成的角θ满足： （*），于是问题转化为二次函数求最值， 而，当θ最大时，sinθ最大， 所以当时，，同时直线PN与平面ABC所成的角θ得到最大值． （2）已知给出了平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°， 即可得到平面ABC的一个法向量为， 设平面PMN的一个法向量为，． 由得，解得． 令x=3，得，于是 ∵平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°， ∴， 解之得：，故点P在B1A1的延长线上，且．