2022年云南省昆明市石林彝族自治县大可乡中学高三数学理模拟试卷含解析

2022年云南省昆明市石林彝族自治县大可乡中学高三数学理模拟试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知，则（    ）      A、          B、         C、        D、       参考答案： B 2. 已知,若时， 有最小值，则的最小值为（    ） A.1              B.                 C.1或2            D. 2或 参考答案： B 略 3. “k=1”是“直线kx﹣y﹣3=0与圆x2+y2=9相切”的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 参考答案： A 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】根据直线和圆相切得到关于k的方程，解出即可． 【解答】解：若直线与圆x2+y2=9相切， 则由得：（1+k2）x2﹣6kx+9=0， 故△=72k2﹣36（1+k2）=0，解得：k=±1， 故“k=1”是“直线与圆x2+y2=9相切”的充分不必要条件， 故选：A． 4. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（    ） A．若      B．若 C．若      D．若 参考答案： C 略 5. 若如下框图所给的程序运行结果为,那么判断框中应填入的关于的条件是（  ） A.            B.           C.          D. 参考答案： D 略 6. 函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，只需把的图象上所有点 A.向右平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向左平移个单位长度 参考答案： A ,又因为, 所以，因而只需将f(x)的图像向右平移个单位长度 7. 设锐角的三内角、、所对边的边长分别为、、， 且 ，, 则的取值范围为 ………（  ）. ．   ．    ．  ． 参考答案： A 8. 已知函数. 设关于x的不等式 的解集为A, 若, 则实数a的取值范围是 （　　） A． B． C．  D． 参考答案： A 9. 设集合A={y|y=sinx，x∈R}，B={x|y=lg（﹣x）}，则A∩B=（　　） A．（0，1] B．[﹣1，0） C．[﹣1，0] D．（﹣∞，1] 参考答案： B 【考点】交集及其运算． 【分析】先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B． 【解答】解：∵集合A={y|y=sinx，x∈R}={y|﹣1≤y≤1}， B={x|y=lg（﹣x）}={x|x＜0}， ∴A∩B={x|﹣1≤x＜0}=[﹣1，0）． 故选：B． 10. 若向量满足条件3与共线，则x的值为（　　） A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．4 参考答案： B 【考点】平面向量的坐标运算． 【分析】先利用平面向量运算法则求出，再由向量共线的条件能求出x． 【解答】解：∵向量， ∴3=（﹣6，0）+（2，1）=（﹣4，1）， ∵3与共线， ∴﹣=，解得x=﹣4． 故选：B． 【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量运算法则的合理运用． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在四面体ABCD中，AD⊥AB，AD⊥DC，若AD与BC成角60°，且AD=，则BC等于      ． 参考答案： 2 考点：异面直线及其所成的角． 专题：计算题；空间位置关系与距离． 分析：如图所示，长方体中，AD⊥AB，AD⊥DC，若AD与BC成角60°，则∠BCE=60°，即可求出BC． 解答： 解：如图所示，长方体中，AD⊥AB，AD⊥DC，若AD与BC成角60°，则∠BCE=60°， ∵AD=， ∴CE=， ∴BC=2． 故答案为：2． 点评：本题考查异面直线所成的角，考查学生的计算能力，正确构造图形是关键． 12. 命题“x∈R , x2－2ax+1＞0”是假命题，则实数a的取值范围是______ 参考答案： (－∞,－1]∪[1,+∞) 由题意，命题，是假命题，可得出二次函数与轴有交点， 又由二次函数的性质，可得即，解得或.   13. 已知是与的等比中项，且，则           参考答案： 3 略 14. 平面内有3点A（0，﹣3），B（3，3），C（x，﹣1），且∥，则x的值是　 　． 参考答案： 1 【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示． 【分析】根据三个点的坐标，写出两个向量的坐标，根据两个向量之间的平行关系，写出平行的充要条件，写出关于x的方程，解方程即可． 【解答】解：∵A（0，﹣3），B（3，3），C（x，﹣1）， ∴=（3，6），=（x﹣3，﹣4） ∵， ∴3（﹣4）﹣6（x﹣3）=0 ∴x=1， 故答案为：1 【点评】本题考查向量的平行的坐标表示，是一个基础题，题目的关键是写出两个要用的向量的坐标，利用向量的平行关系整理出结果． 15. 若非零向量，满足||＝|＋|＝1，与夹角为120°，则 |  | =        ． 参考答案： 1 16. 过点且与圆相切的直线方程是__________． 参考答案： 易知在圆：上， 圆的标准方程为， ∴圆心为，半径为， ∵与的连线斜率为， ∴切线斜率为， ∴切线方程为， 即． 17. 在中，角所对的边分别为,且 则         . 参考答案： 5 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （18分）对于曲线C：f（x，y）=0，若存在最小的非负实数m和n，使得曲线C上任意一点P（x，y），|x|≤m，|y|≤n恒成立，则称曲线C为有界曲线，且称点集{（x，y）||x|≤m，|y|≤n}为曲线C的界域． （1）写出曲线（x﹣1）2+y2=4的界域； （2）已知曲线M上任意一点P到坐标原点O与直线x=1的距离之和等于3，曲线M是否为有界曲线，若是，求出其界域，若不是，请说明理由； （3）已知曲线C上任意一点P（x，y）到定点F1（﹣1，0），F2（1，0）的距离之积为常数a（a＞0），求曲线的界域． 参考答案： 考点：曲线与方程． 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题． 分析：（1）由已知得（x﹣1）2≤4，y2≤4，由此能求出曲线（x﹣1）2+y2=4的界域． （2）设P（x，y），则+|x﹣1|=3，从而得到﹣1≤x≤2，﹣2，由此得到曲线M为有界曲线，并能求出求出其界域． （3）由已知得：=a，×=a，从而得到|x|，，进而得到|y|≤，由此能求出曲线C界域． 解答： 解：（1）∵曲线（x﹣1）2+y2=4， ∴（x﹣1）2≤4，y2≤4， ∴﹣1≤x≤3，﹣2≤y≤2， ∴界域为{（x，y）||x|≤3，|y|≤2}． （2）设P（x，y），则+|x﹣1|=3， 化简，得：y2=， ∴﹣1≤x≤2，﹣2， ∴界域为{（x，y）||x|≤2，|y|}． （3）由已知得：=a， ×==a， ∴（x2+y2+1）2﹣4x2=a2，∴， ∵y2≥0，∴，∴（x2+1）2≤4x2+a2， ∴（x2﹣1）2≤a2，∴1﹣a≤x2≤a+1，∴|x|， ， 令t=，， ， 当t=2，即时，等号成立． 若0＜a≤2，1﹣[1﹣a，1+a]，时，， ∴|y|≤， 若a＞2，1﹣＜0，，∴x=0时，=a﹣1， ∴|y|≤，∴曲线C界域为： ①0＜a≤2时，{（x，y）|x|≤，|y|≤}． ②a＞2时，{（x，y）||x|，|y|≤}． 点评：本题考查曲线的界域的求法，考查曲线是否为有界曲线的判断与界域的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用． 19. 下图是某简谐运动的一段图象，它的函数模型是（），其中，，． （Ⅰ）根据图象求函数的解析式； （Ⅱ）将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在上的最大值和最小值． 参考答案： 解：（Ⅰ）由函数图象及函数模型知；………1分 由，得       ………2分 由最高点得，，，………4分 又，                                ………5分 ∴所求函数解析式为        ………6分 （Ⅱ）解法一：将图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到                  ………8分 ∵，∴，             ………10分ks5u 当，即时，有最大值2；   ………11分 当，即时，有最小值1      ………12分 解法二：将图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到                   ………8分 令，∵函数的单调递增区间是，， 由，得，， 设，，    则，                           ………10分 ∴函数在区间上单调递增 同理可得，函数在区间上单调递减 又∵，，， ∴函数在上的最大值为2，最小值为1  ………12分   略 20. 如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，△PAC为等边三角形，，M是BC的点. (1)证明：AC⊥PM； (2)若AB=AC=2，求B到平面PAM的距离. 参考答案： (1)见解析（2） 【分析】 （1）取的中点为，证明平面，即可证明； （2）计算三棱锥的体积，利用，可以求出到平面的距离. 【详解】（1）证明：取的中点为，连结，， 在等边三角形中，有， 由是的中点，是的中位线， 所以， 因为，所以， 又，所以平面， 因为平面， 所以. （2）因为平面平面，平面平面，， 所以平面， 在等腰直角中，，， 所以，， 因为是的中点，所以， 又因为， 在中，， 在中，，，故. 设到平面的距离为，因为， 所以，即， 所以到平面的距离为. 21. 己知函数f（x）=（x+l）lnx﹣ax+a （a为正实数，且为常数） （1）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围； （2）若不等式（x﹣1）f（x）≥0恒成立，求a的取值范围． 参考答案： 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（1）求出函数f（x）的导数，问题转化为a≤lnx++1在（0，+∞）恒成立，（a＞0），令g（x）=lnx++1，（x＞0），根据函数的单调性求出a的范围即可； （2）问题转化为（x﹣1）[（x+1）lnx﹣a]≥0恒成立，通过讨论x的范围，结合函数的单调性求出a的范围即可． 【解答】解：（1）f（x）=（x+l）lnx﹣ax+a，f′（x）=lnx++1﹣a， 若f（x）在（0，+∞）上单调递增， 则a≤lnx++1在（0，+∞）恒成立，（a＞0）， 令g（x）=lnx++1，（x＞0）， g′（x）=， 令g′（x）＞0，解得：x＞1，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜1， 故g（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增， 故g（x）min=g（1）=2， 故0＜a≤2； （2）若不等式（x﹣1）f（x）≥0恒成立， 即（x﹣1）[（x+1）lnx﹣a]≥0恒成立， ①x≥1时，只需a≤（x+1）lnx恒成立， 令m（x）=（x+1）lnx，（x≥1）， 则m′（x）=lnx++1， 由（1）得：m′（x）≥2， 故m（x）在[1，+∞）递增，m（x）≥m（1）=0， 故a≤0，而a为正实数，故a≤0不合题意；