上海中学(东校)2022年高三数学文模拟试题含解析

上海中学(东校)2022年高三数学文模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 二项式展开式中的常数项是 （A）360                     （B）180                     （C）90                      （D）45 参考答案： B 2. 从1，2，3，4，5，6这6个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，则十位数字比个位数字和百位数字都大的概率为（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率． 【分析】选求出基本事件总数，再求出十位数字比个位数字和百位数字都大包含的基本事件个数，由此能求出十位数字比个位数字和百位数字都大的概率． 【解答】解：从1，2，3，4，5，6这6个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数， 基本事件总数n==120， 十位数字比个位数字和百位数字都大包含的基本事件个数m==40， ∴十位数字比个位数字和百位数字都大的概率为p==． 故选：C． 【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用． 3. 设,则“”是“”的（     ） A.充分不必要条件   B.必要不充分条件     C.充要条件  D.既不充分又不必要条件  参考答案： A 4. 若“”是“”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（   ） A．                              B． C．                                      D． 参考答案： C 考点：不等式的解法与充分必要条件的判定. 5. 圆E经过三点A（0，1），B（2，0），C（0，﹣1），且圆心在x轴的正半轴上，则圆E的标准方程为（　　） A．（x﹣）2+y2= B．（x+）2+y2= C．（x﹣）2+y2= D．（x﹣）2+y2= 参考答案： C 【考点】圆的标准方程． 【分析】根据题意，设圆E的圆心坐标为（a，0）（a＞0），半径为r；利用待定系数法分析可得，解可得a、r的值，代入圆的标准方程即可得答案． 【解答】解：根据题意，设圆E的圆心坐标为（a，0）（a＞0），半径为r； 则有， 解可得a=，r2=； 则要求圆的方程为：（x﹣）2+y2=； 故选：C． 【点评】本题考查圆的标准方程，要用待定系数法进行分析，关键是求出圆心的坐标以及半径． 6. 定义两种运算，，则函数＝为（   ） A．奇函数       B．偶函数        C．非奇偶函数    D．既是奇函数，又是偶函数 参考答案： A 7. 等比数列中，公比，记（即表示 数列的前项之积）， ，，，中值为正数的个数是 A．1            B．               C．             D． 参考答案： B 8. 若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积是（　　） A．36π B．30π C．24π D．15π 参考答案： A 【考点】由三视图求面积、体积． 【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个圆锥，代入圆锥的表面积公式，可得答案． 【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个圆锥， 底面半径r=4，母线长l=5， 故圆锥的表面积S=πr（r+l）=36π， 故选：A 【点评】本题考查的知识点是圆锥的体积和表面积，空间几何体的三视图，难度中档． 9. 设是单位向量，且，则的最小值为（    ）    A、-2        B、      C、-1       D、 参考答案： D 10. 阅读右面的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为(    )                        A.  3            B . 4               C.  5              D. 6 参考答案： B 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11.盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7的七个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是       （结果用最简分数表示）. 参考答案： 12. 如图2,是函数(其中 的部分图像,则其解析式为 参考答案： 13. 已知x，y为正实数，且满足4x＋3y＝12，则xy的最大值为________． 参考答案： 3  略 14. 如图，椭圆中，F1、F-2分别是椭圆的左、右焦点，A、B分别是椭圆的左、右顶点，C是椭圆上的顶点，若∠CF1B=60°，，则椭圆的离心率e=                  。 参考答案： 略 15. 已知O为△ABC的外心，若，则的最小值为　　　 ．     参考答案： 2 略 16. .已知，则          ． 参考答案： 17. 设随机变量～，若，则____________. 参考答案：   【知识点】正态分布I3 解析：根据正态分布的定义可知对称轴为,而m与6-m关于对称,所以,故 ,故答案为. 【思路点拨】根据正态分布的定义可知对称轴为,而m与6-m关于对称,所以,结合定义可得结果. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1）． （1）求函数f（x）的极值； （2）当a≠0时，过原点分别作曲线 y=f（x）与y=ex的切线l1，l2，若两切线的斜率互为倒数，求证：1＜a＜2． 参考答案： 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；6D：利用导数研究函数的极值． 【分析】（1）利用导数求函数的单调区间，从而求解函数f（x）的极值； （2）设切线l2的方程为y=k2x，从而由导数及斜率公式可求得切点为（1，e），k2=e；再设l1的方程，整理得，再令，求导确定函数的单调性，从而问题得证． 【解答】（1）解： ①若a≤0时，＞0 所以函数f（x）在（0，+∞）单调递增，故无极大值和极小值 ②若a＞0，由得， 所以．函数f（x）单调递增，，函数f（x）单调递减 故函数f（x）有极大值a﹣lna﹣1，无极小值． （2）证明：设切线l2的方程为y=k2x，切点为（x2，y2）， 则，，所以x2=1，y2=e，则． 由题意知，切线l1的斜率为，l1的方程为． 设l1与曲线y=f（x）的切点为（x1，y1），则=， 所以，． 又因为y1=lnx1﹣a（x1﹣1），消去y1和a后，整理得 令，则， 所以m（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增． 又x0为m（x）的一个零点，所以 ①若x1∈（0，1），因为，，所以， 因为 所以=1﹣lnx1，所以1＜a＜2． ②若x1∈（1，+∞），因为m（x）在（1，+∞）上单调递增，且m（e）=0，则x1=e， 所以a=1﹣lnx1=0（舍去）． 综上可知，1＜a＜2． 19. （10分）（2003?北京）某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元． （Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？ （Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 参考答案： 【考点】根据实际问题选择函数类型；函数的最值及其几何意义． 【专题】应用题；压轴题． 【分析】（Ⅰ）严格按照题中月租金的变化对能租出车辆数的影响列式解答即可； （Ⅱ）从月租金与月收益之间的关系列出目标函数，再利用二次函数求最值的知识，要注意函数定义域优先的原则．作为应用题要注意下好结论． 【解答】解：（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时， 未租出的车辆数为， 所以这时租出了88辆车． （Ⅱ）设每辆车的月租金定为x元， 则租赁公司的月收益为， 整理得． 所以，当x=4050时，f（x）最大，最大值为f（4050）=307050， 即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050元． 【点评】本题以实际背景为出发点，既考查了信息的直接应用，又考查了目标函数法求最值．特别是二次函数的知识得到了充分的考查．在应用问题解答中属于非常常规且非常有代表性的一类问题，非常值得研究． 20. 如图，在三棱柱中，侧面，均为正方形，∠,点是棱的中点. （Ⅰ）求证：⊥平面； （Ⅱ）求证：平面； （Ⅲ）求二面角的余弦值.     参考答案： 略 21. 已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1 (a>0)，F(x)＝若f(－1)＝0，且对任意实数x均有f(x)≥0成立． (1)求F(x)的表达式； (2)当x∈[－2,2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求k的取值范围． 参考答案： (1)∵f(－1)＝0，∴a－b＋1＝0， ∴b＝a＋1， ∴f(x)＝ax2＋(a＋1)x＋1. ∵f(x)≥0恒成立， ∴ ∴ ∴a＝1，从而b＝2， ∴f(x)＝x2＋2x＋1， ∴F(x)＝ (2)g(x)＝x2＋2x＋1－kx＝x2＋(2－k)x＋1. ∵g(x)在[－2,2]上是单调函数， ∴≤－2，或≥2，解得k≤－2，或k≥6. 所以k的取值范围为k≤－2，或k≥6. 22. 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρ=4cosθ，直线l过点M（1，0）且倾斜角α=． （1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，写出直线l的参数方程； （2）若直线l与曲线C交于A、B两点，求|AB|的值． 参考答案： 【考点】简单曲线的极坐标方程． 【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的互化方法，可得曲线C的直角坐标方程，设参数，可得直线l的参数方程； （2）若直线l与曲线C交于A、B两点，求出圆心到直线的距离，即可求|AB|的值． 【解答】解：（1）∵ρ=4cosθ，∴ρ2=4ρcosθ， ∴x2+y2=4x 即（x﹣2）2+y2=4 所以曲线C的直角坐标方程是（x﹣2）2+y2=4                … 又因为直线l过点M（1，0）且倾斜角α= 所以直线l的参数方程是（t为参数）， 也就是（t为参数）．… （2）由（1）知曲线C的圆心C（2，0），半径r=2 而直线l的斜率，所以直线l的直角坐标方程是x﹣y﹣1=0  … 圆心到直线的距离d==，∴|AB|=2=     …