广东省深圳市建文中学高二数学理联考试题含解析

广东省深圳市建文中学高二数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知点P(2，1)为圆C：x2＋y2－8x＝0的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为 A.2x＋y－5＝0      B.x＋2y－4＝0      C.2x－y－3＝0      D.x－2y＝0 参考答案： C 2. 某程序的框图如图所示，则运行该程序后输出的的值是（      ） A． B． C． D． 参考答案： A 3. 在△ABC中，若A=30°，a=2，b=2，则此三角形解的个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．不能确定 参考答案： C 【考点】正弦定理． 【专题】数形结合；综合法；解三角形． 【分析】计算bsinA的值，比较其和a、b的大小关系可得． 【解答】解：∵在△ABC中A=30°，a=2，b=2， ∴bsinA=2×=， 而＜a=2＜b=2， ∴三角形解的个数为2， 故选：C． 【点评】本题考查三角形解得个数的判断，属基础题． 4. 以直线为渐近线，F（0，2）为一个焦点的双曲线方程为  （    ） A．      B．    C．     D． 参考答案： D 略 5. 已知双曲线的焦点、实轴端点分别恰好是椭圆的长轴端点、焦点，则双  曲线的渐近线方程为            （     ） A．    B．    C．    D． 参考答案： A 略 6. 设是虚数单位，则复数（    ）．    A． B． C． D． 参考答案： C ． 故选． 7. 在三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA=PC=BA=BC，则直线PB与平面PAC所成的角为（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 参考答案： B 【考点】直线与平面所成的角． 【分析】由题意画出图形，取AC中点O，连接PO，BO，可得BO⊥AC，再由面面垂直的性质可得BO⊥平面PAC，知∠BPO为直线PB与平面PAC所成的角，求解直角三角形得答案． 【解答】解：如图， 设PA=PC=BA=BC=a，取AC中点O，连接PO，BO， 则BO⊥AC， ∵平面PAC⊥平面ABC，且平面PAC∩平面ABC=AC， ∴BO⊥平面PAC，则∠BPO为直线PB与平面PAC所成的角， ∵PA=PC=BA=BC，AC=AC， ∴△PAC≌△BAC，则PO=OB， ∴∠BPO=45°， 故选：B． 【点评】本题考查直线与平面所称的角，考查空间想象能力和思维能力，是中档题． 　 8. 复数z满足为虚数单位），则复数z=（    ） A. B. C. D. 参考答案： A 【分析】 对复数进行化简，在由共轭复数的性质即可求出。 【详解】复数可变形为 则复数。 故选A. 【点睛】在对复数的除法进行化简时，要采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，使分母“实数化”。 9. 正方体ABCD – A1B1C1D1中，E、F、G分别为棱AB、AD、AA1的中点，顶点A到△A1EF和△BDG所在平面的距离分别是p和q，则（   ） （A）p > q   （B）p = q   （C）p < q   （D）p，q的大小关系不确定（即与棱长有关） 参考答案： C 10. 程序：M=1  M=M+1  M=M+2  PRINT M  END   M的最后输出值为（    ） A． 1            B．2              C．  3            D．4 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若，则等于10　　． 参考答案： 10       12. 函数在处的切线方程为______ 参考答案： （或） 【分析】 求出函数的导数，计算，的值，从而求出切线方程即可 【详解】解：定义域为，，又， 函数在点，（e）处的切线方程为：，即， . 故答案为:（或） 【点睛】本题考查了切线方程问题，属于基础题． 13. 已知集合，集合，则   ▲   ． 参考答案： 略 14. 如图所示，图中曲线方程为y=x2﹣1，则围成封闭图形（阴影部分）的面积是　  　． 参考答案： 2 【考点】定积分；定积分的简单应用． 【分析】利用定积分的几何意义表示阴影部分面积，然后计算定积分． 【解答】解：曲线方程为y=x2﹣1，则围成封闭图形（阴影部分）的面积是 =（x﹣）|+（）|=2； 故答案为：2． 　 15. 在数列中，其前其前项和为，且满足，则__________． 参考答案： 点晴：本题考查的是已知数列前项和为求通项的问题.解决这类问题的步骤有三个：一是求时;二是求; 三是检验时是否符合时得到的通项公式 ，如果不符合一定要写成分段的形式，符合则一定要统一. 111] 16. 中若 ，则为          三角形 参考答案： 等腰三角形或直角三角形 略 17. 若菱形的边长为，则__________。 参考答案： 2   三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 为调查乘客的候车情况，公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间（单位：分钟）作为样本分成5组，如下表所示： （1）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数； （2）若从上表第三、四组的6人中随机抽取2人作进一步的问卷调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率． 组别 候车时间 人数 一 2 二 6 三 4 四 2 五 1             参考答案： 解：（1）由频率分布表可知：这15名乘客中候车时间少于10分钟的人数为8， 所以，这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数大约等于人.……4分 （2）设第三组的乘客为，第四组的乘客为1，2； “抽到的两个人恰好来自不同的组”为事件.………………………………………5分 所得基本事件共有15种，即： ……………………………8分 其中事件包含基本事件，共8种，………………10分 由古典概型可得， ……………………………………………………12分 略 19. 设椭圆的离心率是，过点的动直线L于椭圆相交于A，B两点，当直线L平行于x轴时，直线L被椭圆C截得弦长为。 （Ⅰ）求C的方程； （Ⅱ）是否存在与点P不同的定点Q,使得恒成立？若存在，求Q的坐标；若不存在，说明理由。 参考答案： （Ⅰ）由已知可得，椭圆经过点， 因此，，解得， 所以椭圆方程为；…………………………4分 （Ⅱ）当直线平行于轴时，设直线与椭圆相交于两点，如果存在点满足条件，则有，即， 所以点在轴上，可设点的坐标为；…………………………5分 当直线与轴垂直时，设直线与椭圆相交于两点， 则的坐标分别为，， 由，有，解得或。 所以，若存在不同于点的定点满足条件，则点坐标只可能为……………6分 下面证明：对任意直线，均有。 当直线的斜率不存在时，由上可知，结论成立。 当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，，， 联立，得， 其判别式， 所以，，，…………………………8分 因此。 又因为点关于轴对称的点的坐标为， 又， ， 所以，即三点共线，…………………………9分 所以， 故存在与点不同的定点，使得恒成立。……………………12分 20. 在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段AD，PB的中点，. （1）求证：EF∥平面DCP； （2）求平面EFC与平面PDC所成锐二面角的余弦值. 参考答案： (1)见解析(2) （1）取中点，连接，易得四边形为平行四边形，从而 所以∥平面；（2）平面，且四边形是正方形，两两垂直，以为原点，，，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，代入公式得到所成锐二面角的余弦值. 解：方法一： 取中点，连接， 分别是中点, ， 为中点，为正方形，， ,四边形为平行四边形， 平面，平面， 平面. 方法二： 取中点，连接，. 是中点，是中点，， 又是中点，是中点，， ，， 又，平面，平面，平面，平面，平面平面. 又平面，平面. 方法三： 取中点，连接，， 在正方形中，是中点，是中点 又是中点，是中点，， 又， ， ， 平面//平面. 平面 平面 方法四： 平面,且四边形是正方形，两两垂直，以为原点，，，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则 ， 则设平面法向量为， 则, 即, 取， ， 所以 ，又平面， ∥平面. 平面,且四边形是正方形，两两垂直，以为原点，，，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则 设平面法向量为， ， 则, 即， 取, 则设平面法向量为， 则, 即, 取， . 平面与平面所成锐二面角的余弦值为. （若第一问用方法四，则第二问部分步骤可省略） 点睛：本题主要考查线面垂直的判定定理以及用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离. 21. 设a∈R，函数f（x）=lnx﹣ax． （1）若a=2，求曲线y=f（x）在点P（1，﹣2）处的切线方程； （2）求函数f（x）的单调区间； （3）当a＞0时，求函数f（x）在[1，2]上的最小值． 参考答案： 【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（1）先确定函数f（x）的定义域，然后对函数f（x）求导，根据导函数求出f′（1）=﹣1，得到切线方程． （2）求出导函数，讨论导数的正负，即可得到函数f（x）的单调区间； （3）分a≥1、0＜a≤和＜a＜1三种情况加以讨论，结合函数的单调性与函数值的大小比较，即可得到当0＜a＜ln 2时，函数f（x）的最小值是﹣a；当a≥ln2时，函数f（x）的最小值是ln2﹣2a． 【解答】解：（1）当a=2时，f′（1）=1﹣2=﹣1，则切线方程为y﹣（﹣2）=﹣（x﹣1），即x+y+1=0 （2）函数f（x）的定义域 为（0，+∞）．f′（x）= 因为a＞0，令f′（x）=0，可得x=； 当0＜x＜时，f′（x）＞0；当x＞时，f′（x）＜0， 故函数f（x）的单调递增区间为（0，），单调递减区间为（，+∞）． a≤0，f′（x）＞0，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）． （3）①当0＜≤1，即a≥1时，函数f（x）在区间[1，2]上是减函数， ∴f（x）的最小值是f（2）=ln2﹣2a．（ ②当≥2，即0＜a≤时，函数f（x）在区间[1，2]上是增函数， ∴f（x）的最小值是f（1）=﹣a． ③当1＜＜2，即＜a＜1时，函数f（x）在（1，）上是增函数，在（，2）上是减函数． 又∵f（2）﹣f（1）=ln2﹣a， ∴当＜a＜ln 2时，f（x）的最小值是f（1）=﹣a； 当ln2≤a＜1时，f（x）的最小值为f（2）=ln2﹣2a． 综上可知，当0＜a＜ln 2时，函数f（x）的最小值是f（x）min=﹣a； 当a≥ln2时，函数f（x）的最小值是f（x）min=ln2﹣2a