上海市民星高级中学高三数学理月考试题含解析

上海市民星高级中学高三数学理月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 直线l过抛物线C：y2=4x的焦点F交抛物线C于A、B两点，则的取值范围为（　　） A．{1} B．（0，1] C．[1，+∞） D． 参考答案： A 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】根据抛物线方程可求得焦点坐标和准线方程，设过F的直线方程，与抛物线方程联立，整理后，设A（x1，y1），B（x2，y2）根据韦达定理可求得x1x2的值，又根据抛物线定义可知|AF|=x1+1，|BF|=x2+1代入答案可得． 【解答】解：易知F坐标（1，0）准线方程为x=﹣1． 设过F点直线方程为y=k（x﹣1） 代入抛物线方程，得 k2（x﹣1）2=4x． 化简后为：k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0． 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则有x1x2=1， 根据抛物线性质可知，|AF|=x1+1，|BF|=x2+1， ∴=+==1， 故选A． 2. 已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入    的的值为（    ）  A．—1或1    B．—2或0     C．—2或1     D．—1或0   参考答案： C 略 3. 条件p：|x+1|＞2，条件q：x≥2，则￢p是￢q的（　　） A．充分非必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件 参考答案： A 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；命题的否定． 【专题】计算题． 【分析】根据题意，解|x+1|＞2可以求出p为真的解集，从而得到?p，由q可得?q为x＜2，进而能够判断出?p是?q的真子集，由集合间的关系与充分条件的关系可得答案． 【解答】解：根据题意，|x+1|＞2?x＜﹣3或x＞1， 则￢p：﹣3≤x≤1， 又由题意，q：x≥2，则￢q为x＜2， 所以￢p是￢q的充分不必要条件； 故选A． 【点评】本题考查充分、必要条件的判断，解题的关键是利用补集的思想，并且根据充要条件的判断可以转化为两个集合之间的关系． 4. 在平面直角坐标系中，过动点P分别作圆C1：x2+y2﹣4x﹣6y+9=0与圆C2：x2+y2+2x+2y+1=0的切线PA与PB（A，B为切点），若|PA|=|PB|若O为原点，则|OP|的最小值为（　　） A．2 B． C． D． 参考答案： B 【考点】圆的切线方程． 【专题】计算题；直线与圆． 【分析】利用|PA|=|PB|，结合勾股定理，即可求得点P的轨迹方程，|OP|的最小值为O到直线的距离． 【解答】解：设P（x，y），则 ∵|PA|=|PB|， ∴x2+y2﹣4x﹣6y+9=x2+y2+2x+2y+1， ∴3x+4y﹣4=0， ∴|OP|的最小值为O到直线的距离，即= 故选：B． 【点评】本题考查点P的轨迹方程，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题． 5. 已知a=（﹣ex）dx，若（1﹣ax）2016=b0+b1x+b2x2+…+b2016x2016（x∈R），则++…+的值为（　　） A．0 B．﹣1 C．1 D．e 参考答案： B 【考点】定积分． 【分析】首先利用定积分的几何意义求出a，然后利用二项式定理，将x赋值为即可． 【解答】解：a=（﹣ex）dx==2， （1﹣2x）2016=b0+b1x+b2x2+…+b2016x2016（x∈R）， 令x=， 则++…+=（1﹣2x）2016﹣b0=0﹣1=﹣1； 故选：B． 6. 设l，m，n为不重合的三条直线，其中直线m，n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的     A．充要条件                             B．充分不必要条件     C．既不充分也不必要条件                 D．必要不充分条件  参考答案： B 7. 已知命题，命题，且是的充分而不必要条件,则的取值范围是 A.      B.    C.       D. 参考答案： A 8. （本小题满分12分） 若图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD平面ABCD，EC//PD，且PD=2EC。    （1）求证：EC//平面PAD；    （2）若N为线段PB的中点，求证：平面PEB平面PBD；    （3）若，求平面PBE与平面ABCD所成的二面角的大小。 参考答案： 证明：EC∥PD∴EC面PAD又PD面PAD；∴EC∥面PAD；∴BE∥面PAD （1）       证明：取BD的中点O，连NO、CO，易知，CO⊥BD；又∵CO⊥PD; ∴CO⊥面PBD。PD=2EC EC//PD, 又DO=OB,PN=NB∴NO//PD且PD=2NO; ∴NO//EC且NO=EC; ∴四边形NOBE是平行四边形；∴EN//CO; ∴EN⊥面PBD。又EN面PBD；∴平面PEB⊥平面PBD （2）       建立如图的空间直角坐标系，令EC=1，则PD= D(0,0,0)；P(0,0,2)；B(,,0)；D(0,,1)； 面ABCD的法向量==（0，0，2） 令面PBE的法向量=（x，y，z），则；则=（1，1，） ∴cos=;∴= 略 9. 设F1，F2分别是双 曲线的左、右焦点。若双曲线上存在点A，使，则双曲线的离心率为    （    ）        A．                   B．                 C．                  D． 参考答案： 答案：B 10. 已知实数x，y满足约束条件，则的最小值是（  ）.     (A) 5   (B) -6     (C) 10    (D) -l0 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知，若是的充分条件，则实数a的取值范围是        ． 参考答案： 略 12. 若关于x的方程有两个不同的实数解，则实数a的取值范围是______________. 参考答案： 13. 若向量与满足，则向量与的夹角等于          ． 参考答案： 14. 若将函数y=sin2x的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，得到的图象关于直线x=对称，则φ的最小值为__________． 参考答案： 考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 专题：三角函数的图像与性质． 分析：根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得所得函数的解析式为y=sin2（x﹣φ），再由题意结合正弦函数的对称性可得2×﹣2φ=kπ+，k∈z，由此求得φ的最小值． 解答：解：将函数y=sin2x的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，可得函数y=sin2（x﹣φ）的图象， 再根据得到的图象关于直线x=对称，可得2×﹣2φ=kπ+，k∈z， 即 ﹣φ=+，k∈z，即 φ=﹣﹣，k∈z， 再根据φ＞0，可得φ的最小值为， 故答案为：． 点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的对称性，属于中档题 15. 已知某几何体的三视图如图，其中正视图中半圆的直径为2，则该几何体的体积为             ． 参考答案： 16. 均为单位向量，且它们的夹角为60°，设满足，，则的最小值为______. 参考答案： 【分析】 根据的几何意义判断在一个半径为的圆上，根据判断的终点在过的终点且平行于的直线上.根据圆和直线的位置关系，以及的几何意义，求得的最小值. 【详解】由于，即，即与两个向量终点的距离为，即的终点在以的终点为圆心，半径为的圆上.由于，根据向量加法的平行四边形法则可知，的终点在过的终点且平行于的直线上.画出图像如下图所示.由于均为单位向量，且它们的夹角为，故圆心到直线的距离，表示两个向量终点的距离，所以最短距离也即的最小值为. 【点睛】本小题主要考查平面向量减法模的几何意义，考查平面向量加法运算的平行四边形法则，考查考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，综合性较强，属于中档题. 17. log24+log42=__________，logab+logba（a＞1，0＜b＜1）的最大值为_________．   参考答案： (1)   (2)－ 2   三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，关于x的不等式的解集是空集 （1）求角C的最大值． （2）若，三角形的面积，求当角C最大时的值 参考答案： 略 19. 北京时间3月15日下午，谷歌围棋人工智能AlphaGo与韩国棋手李世石进行最后一轮较量，AlphaGo获得本场比赛胜利，最终人机大战总比分定格在1：4．人机大战也引发全民对围棋的关注，某学校社团为调查学生学习围棋的情况，随机抽取了100名学生进行调查．根据调查结果绘制的学生日均学习围棋时间的频率分布直方图（如图所示），将日均学习围棋时间不低于40分钟的学生称为“围棋迷”．   非围棋迷 围棋迷 合计 男 　30　 　15　 　45　 女 　45　 10 55 合计 　75　 　25　 　100　 （1）根据已知条件完成如图列联表，并据此资料判断你是否有95%的把握认为“围棋迷”与性别有关？ （2）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量学生中，采用随机抽样方法每次抽取1名学生，抽取3次，记所抽取的3名学生中的“围棋迷”人数为X．若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E（X）和方差D（X）． 附：，其中n=a+b+c+d． P（x2≥k0） 0.05 0.010 k0 3.74 6.63 参考答案： 【考点】离散型随机变量的期望与方差；独立性检验；离散型随机变量及其分布列． 【分析】（1）由频率分布直方图求在抽取的100人中“围棋迷”有25人，填写2×2列联表，计算观测值，比较临界值即可得出结论； （2）由频率分布直方图计算频率，将频率视为概率，得出X～B（3，），计算对应的概率，写出X的分布列，计算数学期望与方差． 【解答】解：（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“围棋迷”有25人， 从而2×2列联表如下：   非围棋迷 围棋迷 合计 男 30 15 45 女 45 10 55 合计 75 25 100 将2×2列联表中的数据代入公式计算，得 ； 因为3.030＜3.841，所以没有理由认为“围棋迷”与性别有关； （2）由频率分布直方图知抽到“围棋迷”的频率为0.25， 将频率视为概率，即从观众中抽取一名“围棋迷”的概率为， 由题意X～B（3，），P（X=0）=?=， P（X=1）=??， P（X=2）=??（1﹣）=， P（X=3）=?= 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以X的数学期望为， 方差为． 【点评】本题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，也考查了分布列与数学期望、方差的计算问题，是综合题． 20. 自由购是通过自助结算方式购物的一种形式. 某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了100人，统计结果整理如下：   20以下 [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70] 70以上 使用人数 3 12 17 6 4 2 0 未使用人数