湖南省衡阳市常宁市侏樟中学高一数学理期末试题含解析

湖南省衡阳市常宁市侏樟中学高一数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 某车站，每天均有3辆开往省城的分为上、中、下等级的客车，某人某天准备在该车站乘车前往省城办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序，为了尽可能乘上上等车，他采取如下策略；先放过第一辆车，如果第二辆车比第一辆车则上第二辆，否则上第三辆车，那么他乘上上等车的概率为（）． A． B． C． D． 参考答案： B 设三车等次为：下、中、上， 它们先后次序为种： 下 中 上 ×→没乘上上等 下 上 中 √→乘上上等 中 下 上 √ 中 上 下 √ 上 下 中 × 上 中 下 × 情况数为3，． 选． 2. 已知且满足,则的最小值是(    ) A. 10          B. 18           C. 12            D. 16 参考答案： B 3. 函数y=sin（πx+φ）（φ＞0）的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A，B是图象与x轴的交点，记∠APB=θ，则sin2θ的值是（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】两角和与差的正切函数；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式． 【分析】由解析式求出函数的周期与最值，做出辅助线过p作PD⊥x轴于D，根据周期的大小看出直角三角形中直角边的长度，解出∠APD与∠BPD的正弦和余弦，利用两角和与差公式求出sinθ，进而求得sin2θ． 【解答】解：函数y=sin（πx+φ） ∴T==2， 过P作PD⊥x轴于D，则AD是四分之一个周期，有AD=，DB=，DP=1，AP= 在直角三角形中有sin∠APD=，cos∠APD=；cos∠BPD=，sin∠BPD= ∴sinθ=sin（∠APD+∠BPD）== cosθ= ∴sin2θ=2sinθcosθ=2×= 故选：A． 【点评】本题考查三角函数的图象的应用与两角和的正切函数公式的应用，本题解题的关键是看出函数的周期，把要求正弦的角放到直角三角形中，利用三角函数的定义得到结果，本题是一个中档题目． 4. 已知两条异面直线、，平面，则与的位置关系是（   ）    A．平面     B．与平面相交    C．平面        D．以上都有可能 参考答案： D 5. 设是连续的偶函数,且当时是单调函数,则满足的所有之和为(  )   A.   　　　　　　　 B.  　　　　　　  C.  　　　　　　  D. 参考答案： C 略 6. 如果函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在（﹣∞，4]上是减函数，那么实数a取值范围是（　　） A．a≤﹣3 B．a≥﹣3 C．a≤5 D．a≥5 参考答案： A 7. （5分）设定义域为为R的函数，且关于的方程有7个不同的实数解，那么b、c满足的条件是（  ） (A)且   (B)且    (C)且   (D)且 参考答案： C 8. tan210°的值是（　　） A．﹣ B． C．﹣ D． 参考答案： D 【考点】运用诱导公式化简求值． 【专题】三角函数的求值． 【分析】直接利用诱导公式把要求的式子化为tan30°，从而求得它的结果． 【解答】解：tan210°=tan=tan30°=， 故选D． 【点评】本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于基础题． 9.  已知函数f(x)是R上的增函数，A(0, -1), B(3, 1)是其图象上的两点，那么 |f(x+1)|≥1的解集是（       ）   A．(-1, 2)     B．(1,4)     C.     D． 参考答案： D 10. .若，则（    ） A.    B.    C.    D. 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 集合{－1，0，1}共有________个子集 参考答案： 8 略 12. 博才实验中学共有学生1 600名，为了调查学生的身体健康状况，采用分层抽样法 抽取一个容量为200的样本．已知样本容量中女生比男生少10人，则该校的女生人数是______人． 参考答案： 760 略 13. 设集合A=，B=，函数f（x）=若x0∈A，且f[f（x0）]∈A，则x0的取值范围是　　． 参考答案： （，） 【考点】元素与集合关系的判断． 【分析】这是一个分段函数，从x0∈A入手，依次表达出里层的解析式，最后得到1﹣2x0∈A，解不等式得到结果． 【解答】解：x0∈A，即， 所以，， 即，即f（x0）∈B，所以f[f（x0）]=2[1﹣f（x0）]=1﹣2x0∈A， 即， 解得： ，又由， 所以． 故答案为：（，） 14. 已知函数，则方程的解_____． 参考答案： 2 15. 已知向量满足，与的夹角为60°，则在方向上的投影是　 　． 参考答案： 1 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】根据向量在方向上投影的定义写出运算结果即可． 【解答】解：向量满足，与的夹角为60°， ∴在方向上的投影是||cos60°=2×=1． 故答案为：1． 16. 已知定义在R上的函数f(x)满足:.请写出这样的函数的一个表达式:       ______________________． 参考答案： 17. 函数是幂函数，且在 (0，+∞)上为增函数，则实数         . 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18.   已知向量. (1)求与的夹角的余弦值；(2)若向量与平行，求的值. 参考答案： （1）向量， .（3分） .（5分） 由题得，向量.（8分） 向量与平行,         （9分）， 解得.（10分） 19. 已知函数f（x）=x2+ax+3﹣a，a∈R． （1）求a的取值范围，使y=f（x）在闭区间[﹣1，3]上是单调函数； （2）当0≤x≤2时，函数y=f（x）的最大值是关于a的函数M（a），求M（a）． 参考答案： 【考点】函数的最值及其几何意义；函数单调性的判断与证明． 【专题】计算题；证明题；分类讨论；函数的性质及应用． 【分析】（1）函数f（x）=x2+ax+3﹣a图象的对称轴为，结合二次函数的性质可得或，从而解得． （2）由二次函数的性质知，讨论0，2与对称轴的距离，从而确定最大值即可． 【解答】解：（1）函数f（x）=x2+ax+3﹣a图象的对称轴为， ∵f（x）在闭区间[﹣1，3]上是单调函数， ∴或， ∴a≤﹣6或a≥2． （2）当，即a≥﹣2时， 由二次函数的性质可得， M（a）=f（2）=7+a， 当﹣＞1，即a＜﹣2时， M（a）=f（0）=3﹣a， 故M（a）=． 【点评】本题考查了二次函数的图象及性质应用，同时考查了分类讨论的思想应用． 20. （本小题满分12分） 求数列的前100项的和。 参考答案： 解： 略 21. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过、、三点，M是直线AD上的动点，是过点且互相垂直的两条直线，其中交轴于点，交圆C于P、Q两点． （1）若，求直线的方程； （2）若是使恒成立的最小正整数，求三角形EPQ的面积的最小值． 参考答案： (1) (2) 【分析】 （1）求出圆心与半径，设方程为：，因为，则直线到圆心的距离，即可求直线 的方程. （2）设，由点在线段上，得，因为，所以. 依题意知，线段与圆至多有一个公共点，所以，由此入手求得三角形的面积的最小值 【详解】解：（1）由题意可知，圆的直径为，所以圆方程为：. 设方程为：，则，解得，， 当时，直线与轴无交点，不合，舍去． 所以，此时直线的方程为. （2）设，由点在线段上，得，即. 由，得. 依题意知，线段与圆至多有一个公共点， 故，解得或. 因为是使恒成立的最小正整数，所以. 所以圆方程为： (i) 当直线时，直线的方程为，此时， (ii) 当直线的斜率存在时， 设的方程为：，则的方程为：，点. 所以 . 又圆心到距离为，所以 故        因为，所以. 【点睛】本题考查圆锥曲线与直线问题，涉及到的知识点有求圆的方程，直线方程，点到直线的距离公式，以及恒成立问题等，解题的关键是求出圆的方程，属于偏难题目。 22. 已知集合集合集合. （1）求A∩B及CRA. （2）若C(A∩B)，求实数a的值. 参考答案： （1）A∩B=[1,4], CRA=(－1,1). （2）a=1