2022年山西省临汾市邓庄镇第一中学高三数学理模拟试卷含解析

2022年山西省临汾市邓庄镇第一中学高三数学理模拟试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 点是抛物线上一点，到该抛物线焦点的距离为，则点的横坐标为 A．2                B. 3               C. 4            D.5 参考答案： B 抛物线的准线为，根据抛物线的对应可知，到该抛物线焦点的距离等于到该准线的距离，即，所以，即点的横坐标为3，选B. 2. 设全集，则集合C∪（A∪B）＝（） A．{0，4，5}              B．{2，4，5}              C．{0，2，4，5}        D．{4，5} 参考答案： D 略 3. 已知全集，集合，,则（   ） A.        B.          C.          D. 参考答案： D 略 4. 如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCB-A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为（   ） （A）       （B）      （C）      ( D） 参考答案： A 略 5. 复数满足，则复数在复平面内对应的点在(    ) A．第一象限      B．第二象限    C．第三象限    D．第四象限  参考答案： A 6. “x＜1”是“ln（x+1）＜0”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件         D．既不充分也不必要条件 参考答案： B 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【解答】解：由ln（x+1）＜0得0＜x+1＜1，得﹣1＜x＜0， 则“x＜1”是“ln（x+1）＜0”的必要不充分条件， 故选：B 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系是解决本题的关键． 7. 若不等式的解集是区间的子集，则实数的取值范围是（   ） A．     B． C．      D． 参考答案： D 略 8. 已知的定义域为，则函数的定义域为（    ） A.         B.         C.         D. 参考答案： B 略 9. 若程序框图如图所示，视x为自变量，y为函数值，可得函数的解析式，则的解集为 A．（2，+）    B．（4，5]    C．（-，-2]4    D．（-，-2）（3，5，5] 参考答案： 10. 设集合，C={（x，y）|2|x﹣3|+|y﹣4|=λ}，若（A∪B）∩C≠?，则实数λ的取值范围是（　　） A．    B． C．        D． 参考答案： A 【考点】1H：交、并、补集的混合运算． 【分析】集合A、B是表示以（3，4）点为圆心，半径为和的同心圆；集合C在λ＞0时表示以（3，4）为中心，四条边的斜率为±2的菱形； 结合题意画出图形，利用图形知（A∪B）∩C≠?，是菱形与A或B圆有交点，从而求得实数λ的取值范围． 【解答】解：集合A={（x，y）|（x﹣3）2+（y﹣4）2=}表示以（3，4）点为圆心，半径为的圆； 集合B={（x，y）|（x﹣3）2+（y﹣4）2=}表示以（3，4）点为圆心半径为的圆； 集合C={（x，y）|2|x﹣3|+|y﹣4|=λ}在λ＞0时，表示以（3，4）为中心，四条边的斜率为±2的菱形， 如下图所示： 若（A∪B）∩C≠?，则菱形与A或B圆有交点， 当λ＜时，菱形在小圆的内部，与两圆均无交点，不满足答案； 当菱形与小圆相切时，圆心（3，4）到菱形2|x﹣3|+|y﹣4|=λ任一边的距离等于大于半径， 当x＞3，且y＞4时，菱形一边的方程可化为2x+y﹣（10+λ）=0， 由d==得：λ=2； 当2＜λ＜时，菱形在大圆的内部，与两圆均无交点，不满足答案； 当菱形与大圆相切时，圆心（3，4）到菱形2|x﹣3|+|y﹣4|=λ任一边的距离等于大于半径， 当x＞3，且y＞4时，菱形一边的方程可化为2x+y﹣（10+λ）=0， 由d==得：λ=6， 故λ＞6时，两圆均在菱形内部，与菱形无交点，不满足答案； 综上实数λ的取值范围是[，2]∪[，6]，即[，2]∪[，6]． 故选：A． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知函数，则f(2013)=        . 参考答案： 0 设，则 所以，. 12. 已知实数x，y满足约束条件，则的最大值等于_____． 参考答案： 8 【分析】 根据约束条件画可行域，然后求出的最小值，即为的最大值. 【详解】根据约束条件作图所示，易知可行域为一个三角形， 设，则，为斜率是的一组平行线， 可知在点时，取得最小值， 最大值是8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查通过线性规划求最值，属于简单题. 13. 设△ABC中，acosC，bcosB，ccosA成等差数列，则∠B=　_________　． 参考答案： 14. 甲、乙、丙、丁四位同学中仅有一人申请了北京大学的自主招生考试，当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时，甲说：“丙或丁申请了”；乙说：“丙申请了”；丙说：“甲和丁都没有申请”；丁说：“乙申请了”，如果这四位同学中只有两人说的是对的，那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是______． 参考答案： 乙 先假设甲说的对，即甲或乙申请了但申请人只有一个， （1）如果是甲，则乙说“丙申请了”就是错的，丙说“甲和丁都没申请”就是错的， 丁说“乙申请了”也是错的，这样三个错的，不能满足题意，故甲没申请． （2）如果是乙，则乙说“丙申请了”就是错的，丙说“甲和丁都没申请”可以理解为申请人有可能是乙，丙，戊，但是不一定是乙，故说法不对，丁说“乙申请了”也是对的，这样说的对的就是两个是甲和丁满足题意． 故答案为乙． 15. 已知定义在R的奇函数满足，且时，，下面四种说法①；②函数在［-6，-2］上是增函数；③函数关于直线对称；④若，则关于的方程在［-8，8］上所有根之和为-8，其中正确的序号         . 参考答案： ①④ 由得，所以函数的周期是8.又函数为奇函数，所以由，所以函数关于对称。同时，即，函数也关于对称，所以③不正确。又，函数单调递增，所以当函数递增，又函数关于直线对称，所以函数在［-6，-2］上是减函数，所以②不正确。，所以，故①正确。若，则关于的方程在［-8，8］上有4个根，其中两个根关于对称，另外两个关于对称，所以关于对称的两根之和为，关于对称的两根之和为，所以所有根之后为，所以④正确。所以正确的序号为①④。 16. 已知向量和，，其中，且，则向量和的夹角是   ． 参考答案： 考点：数量积表示两个向量的夹角． 专题：计算题；平面向量及应用． 分析：利用向量垂直的条件，结合向量数量积公式，即可求向量和的夹角 解答： 解：设向量和的夹角是α，则 ∵，且， ∴=2﹣=2﹣2cosα ∴cosα= ∵α∈[0，π] ∴α= 故答案为： 点评：本题考查向量的夹角的计算，考查向量数量积公式的运用，属于基础题． 17. 记集合A={(x,y)︱x2+y2≤16}，集合B={(x,y)︱x+y-4≤0,(x,y)∈A}表示的平面区域分别为Ω1,Ω2．若在区域Ω1内任取一点P(x,y)，则点落在区域Ω2中的概率为____． 参考答案： 如图，集合A表示的点集是圆内部（含边界），集合表示的点集是直线下方的弓形区域，， ，因此所求概率为． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本题满分15分）已知函数(R，，，)图象如图，P是图象的最高点，Q为图象与x轴的交点，O为原点．且，，． （Ⅰ）求函数的解析式； （Ⅱ）将函数图象向右平移1个单位后得到函数的图象，当时，求函数的最大值． 参考答案： （Ⅰ）由余弦定理得， ∴，得P点坐标为． ∴ ，，． 由，得． ∴的解析式为． （Ⅱ）， ． 当时，， ∴ 当，即时． 19. 已知函数f(x)=x3+ax2+bx(a，b∈R)． （1）若函数f（x）在（0，2）上存在两个极值点，求3a+b的取值范围； （2）当a=0，b≥﹣1时，求证：对任意的实数x∈[0，2]，|f(x)|≤2b+恒成立． 参考答案： 【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（1）求出关于a，b的不等式组，令z=3a+b，问题转化为简单的线性规划问题；结合图象求出即可； （2）根据函数的单调性求出f（x）的范围，要证，只需证即可． 【解答】（1）解：f'（x）=x2+ax+b， 由已知可得f'（x）=0在（0，2）上存在两个不同的零点， 故有，即， 令z=3a+b， 如图所示： 由图可知﹣8＜z＜0， 故3a+b的取值范围（﹣8，0）． （2）证明：，所以f'（x）=x2+b， 当b≥0时，f'（x）≥0在[0，2]上恒成立，则f（x）在[0，2]上单调递增， 故，所以； 当﹣1≤b＜0时，由f'（x）=0，解得， 则f（x）在上单调递减，在上单调递增， 所以． 因为， 要证，只需证，即证， 因为﹣1≤b＜0，所以， 所以成立． 综上所述，对任意的实数恒成立． 20. 某高校自主招生选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰.已知某同学能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，且各轮问题能否正确回答互不影响。 （1）求该同学被淘汰的概率； （2）该同学在选拔中回答问题的个数记为，求随机变量的分布列与数学期望. 参考答案： （1）；（2）的分布列为： 1 2 3 P   其数学期望为. 试题分析：（1）求该选手被淘汰的概率可分为三种情况：①第一轮就被淘汰；②第一轮答对，第二轮被淘汰；③第一轮答对，第二轮答对，第三轮被淘汰；然后分别求出这三种情形的概率，并由独立事件的概率可加公式计算出该同学被淘汰的概率即可；（2）由题意知，的可能值为1，2，3，其中表示前轮均答对问题，而第次答错，然后利用独立事件概率计算公式分别计算出时的概率，由此写出的分布列和计算出的数学期望即可. 试题解析：（1）记“该同学能正确回答第轮的问题”的事件为， 则，，， 所以该同学被淘汰的概率为： ． （2）的可能值为1，2，3，，，． 所以的分布列为： 1 2 3 P   所以. 考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差. 21. 设是公比大于1的等比数列，为数列的前n项和．已知,且构成等差数列． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）令，求数列的前n项和． 参考答案： （Ⅰ）设数列的公比为， 由已知，得  ，即， 也即 解得     故数列的通项为．   （Ⅱ）由（Ⅰ）得，  ∴ ，   又， ∴ 是以为首项，以为公差的等差数列       ∴ 即．  略 22. 北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估。该商品原来每件售价为25元，年销售8万件． （1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不 低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ （2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到