2022-2023学年河北省沧州市沧县兴济中学高三数学理期末试卷含解析

2022-2023学年河北省沧州市沧县兴济中学高三数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 下列四个命题中，正确的是 A.已知服从正态分布,，且，则 B.设回归直线方程为，当变量增加一个单位时，平均增加个单位； C.已知函数，则； D.对于命题： ,使得，则：，均有 参考答案： C 2. 设是定义在上以2为周期的偶函数，已知，，则函数在 上(　　) A．是增函数且        B．是增函数且   C．是减函数且       D．是减函数且 参考答案： D 3. 已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为=1，双曲线C2的方程为=1，C1与C2的离心率之积为，则C1、C2的离心率分别为(     ) A．，3 B． C．，2 D． 参考答案： B 考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质． 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：求出椭圆与双曲线的离心率，然后推出ab关系，即可求解双曲线的渐近线方程． 解答： 解：a＞b＞0，椭圆C1的方程为=1，C1的离心率为：， 双曲线C2的方程为=1，C2的离心率为：， ∵C1与C2的离心率之积为， ∴=， ∴（）2=，， 则C1的离心率== 则C2的离心率：== 故选：B． 点评：本题考查椭圆与双曲线的基本性质，离心率以及渐近线方程的求法，基本知识的考查． 4. 设为互不重合的平面，l,m,n为互不重合的直线，给出下列四个命题： ①若则∥；②若∥∥，则∥； ③若∥则∥； ④若∥则m∥n. 其中真命题的个数是（  ） （A）1   　　 　　　（B）2    　　　　　（C）3 　　　　　   （D）4 参考答案： 答案：B 5. 已知函数，若，则实数m的取值范围是（   ） A. (－∞,2) B. C. (0,1) D. (0,2) 参考答案： D 【分析】 先求解函数的奇偶性和单调性，把条件转化为对数不等式求解. 【详解】因为，所以是奇函数，因为，所以是增函数. 因为，所以， 所以，解得.故选D. 【点睛】本题主要考查函数性质的综合应用，综合利用奇偶性和单调性把抽象不等式转化为具体不等式求解，侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养. 6. 下面四个条件中，使成立的必要而不充分条件是 A.     B.       C.     D. 参考答案： D 7. （2015?威海模拟）已知复数z满足（2﹣i）2?z=1，则z的虚部为（　　） 　 A． B． C． D． 参考答案： D 考点： 复数代数形式的乘除运算． 专题： 数系的扩充和复数． 分析： 利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出． 解答： 解：∵（2﹣i）2=3﹣4i， ∴==， ∴z的虚部为， 故选：D． 点评： 本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，属于基础题． 8. 已知{an}是等差数列，公差d不为零，且a3+a9=a10﹣a8，则a5=（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 参考答案： B 【考点】等差数列的通项公式． 【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列． 【分析】由已知条件利用等差数列通项公式得到a1=﹣4d，由此能求出a5的值． 【解答】解：在等差数列{an}中，由a3+a9=a10﹣a8，且公差d不为零， 得a1+2d+a1+8d=a1+9d﹣a1﹣7d， 解得a1=﹣4d， ∵d≠0， ∴a5=a1+4d=﹣4d+4d=0． 故选：B． 【点评】本题考查等差数列的通项公式，注意等差数列的性质的合理运用，是基础题． 9. 设全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，A={x|x≤1}，B={﹣2，0，2}，则?U（A∩B）=（　　） A．{﹣2，0} B．{﹣2，0，2} C．{﹣1，1，2} D．{﹣1，0，2} 参考答案： C 【考点】交、并、补集的混合运算． 【分析】根据交集和补集的定义写出运算结果即可． 【解答】解：全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}， A={x|x≤1}，B={﹣2，0，2}， 则A∩B={﹣2，0}， ∴?U（A∩B）={﹣1，1，2}． 故选：C． 10. 已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则不等式的解集是 A．          B．          C．     D． 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知展开式的常数项是160，则由曲线y=x2和y=xa围成的封闭图形的面积为　   　． 参考答案： 【考点】定积分在求面积中的应用． 【分析】首先通过二项展开式求出a，然后利用定积分表示封闭图形的面积． 【解答】解：因为展开式的常数项是160，所以=160，解得a=， 所以由曲线y=x2和y=xa围成的封闭图形的面积为S===， 故答案为． 12. （坐标系与参数方程选做题）（1）已知曲线的极坐标方程为,曲线的极坐标方程为（，曲线、曲线的交点为，则弦长为           . 参考答案： 13. 如图所示，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A,B,且PB = 7, C是圆上一点使得BC = 5，则AB =____________ 参考答案： 14. 设、、是单位向量，且，则与的夹角为            。 参考答案： 15. 13.设f（x）=sin3x+cos3x，若对任意实数x都有|f（x）|≤a，则实数a的取值范围是                       。 参考答案：    16. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为        ． 参考答案： 17. 如图边长为1的正方形的顶点分别在轴，轴正半轴上移动，则的最大值是               参考答案： 2 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知抛物线C：y=x2．过点M（1，2）的直线l交C于A，B两点．抛物线C在点A处的切线与在点B处的切线交于点P． （Ⅰ）若直线l的斜率为1，求|AB|； （Ⅱ）求△PAB面积的最小值． 参考答案： 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题． 【分析】（Ⅰ）直线l的方程为y=x+1，代入y=x2，消去y，求出方程的根，即可求|AB|； （Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x﹣1）+2，代入y=x2，消去y整理得x2﹣kx+k﹣2=0，利用韦达定理，结合弦长公式求出|AB|，求出P的坐标，可求点P到直线l的距离，即可求△PAB面积的最小值． 【解答】解：（Ⅰ）由题意知，直线l的方程为y=x+1，代入y=x2，消去y，可得x2﹣x﹣1=0， 解得，x1=，x2=． 所以|AB|=|﹣|=．       …（6分） （Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x﹣1）+2，设点A（x1，y1），B（x2，y2）． 由y=k（x﹣1）+2代入y=x2，消去y整理得x2﹣kx+k﹣2=0， 于是x1+x2=k，x1x2=k﹣2， 又因为y′=（x2）′=2x， 所以，抛物线y=x2在点A，B处的切线方程分别为：y=2x1x﹣x12，y=2x2x﹣x22． 得两切线的交点P（，k﹣2）． 所以点P到直线l的距离为d=． 又因为|AB|=?|x1﹣x2|=?． 设△PAB的面积为S，所以S=|AB|?d=≥2（当k=2时取到等号）． 所以△PAB面积的最小值为2．                              …（14分） 【点评】本题主要考查直线与抛物线的位置关系、三角形面积公式等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力． 19. （12分）如图所示，某班一次数学测试成绩的茎叶图（如图1）和频率分布直方图（如图2）都受到不同程度的污损，其中，频率分布直方图的分组区间分别为[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，据此解答如下问题．（注：直方图中[50，60）与[90，100]对应的长方形的高度一样） （1）若按题中的分组情况进行分层抽样，共抽取16人，那么成绩在[80，90）之间应抽取多少人？ （2）现从分数在[80，100]之间的试卷中任取2份分析学生失分情况，设抽取的试卷分数在[90，100]之间 份数为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 参考答案： 【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列． 【分析】（1）由茎叶图求出总人数，得到分数在[80，90）的人数，然后求解成绩在[80，90）之间应抽人数． （2）分数在[80，90）的人数为6，分数在[90，100]的人数为4，得到ξ的可能取值为：0，1，2，求出概率，得到分布列，求解期望即可． 【解答】解：（1）由茎叶图知分数在[50，60）的人数为4，[60，70）的人数为8，[70，80）的人数为10， 由频率分布直方图知：[50，60）与[90，100]的人数都为4， 故总人数为，∴分数在[80，90）的人数为：32﹣4﹣8﹣10﹣4=6， ∴成绩在[80，90）之间应抽：人． （2）∵分数在[80，90）的人数为6，分数在[90，100]的人数为4， ∴ξ的可能取值为：0，1，2， ∵， ∴ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P ∴． 【点评】本题考查茎叶图以及频率分布直方图的应用，离散性随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力． 　 20. 如图，三角形ABC和梯形ACEF所在的平面互相垂直，AB⊥BC，AF⊥AC，AF∥CE且AF=2CE，G是线段BF上一点，AB=AF=BC=2． （Ⅰ）当GB=GF时，求证：EG∥平面ABC； （Ⅱ）求二面角E﹣BF﹣A的余弦值； （Ⅲ）是否存在点G，满足BF⊥平面AEG？并说明理由． 参考答案： 【考点】LS：直线与平面平行的判定；MT：二面角的平面角及求法． 【分析】（Ⅰ）当GB=GF时，根据线面平行的判定定理即可证明EG∥平面ABC； （Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用向量法即可求二面角E﹣BF﹣A的余弦值； （Ⅲ）根据线面垂直的判定定理和性质定理，建立条件关系即可得到结论． 【解答】（Ⅰ）证明：取AB中点D，连接GD，CD， 又GB=GF，所以AF=2GD． 因为AF∥CE且AF=2CE，所以GD平行且等于CE，四边形GDCE是平行四边形， 所以CD∥EG因为EG?平面ABC，CD?平面ABC 所以EG∥平面ABC． （Ⅱ）解：因为平面ABC⊥平面ACEF，平面ABC∩平面ACEF=AC， 且AF⊥AC，所以AF⊥平面ABC， 所以AF⊥AB，AF⊥BC 因为BC⊥AB，所以BC⊥平面ABF． 如图，以A为原点，建立空间直角坐标系A﹣xyz． 则F（0，0，2），B（2，0，0），C（2，2，0），E（2，2，1），=（0，2，0）是平面ABF的一个法向量． 设平面BEF的法向量=（x，y，z），则 令y=1，则z=﹣2，x=﹣2，所以=（﹣2，1，﹣2），所以cos＜，＞==， 由题知二面角E﹣BF﹣A为钝角，所以二面角E﹣BF﹣A的余弦值为﹣． （Ⅲ）解：因为=（﹣2，0，2）?（2，2，1）=﹣20≠0，所以BF与AE不垂直， 所以不存在点G满足BF⊥平面AEG． 【点评】本题主要考查线面平行的判定以及空间二面角的计算，建立空间直角坐标系，利用向量法是解决本题的关键． 21. 已知函数f（x）=ex﹣ax2，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线在x轴上的截距为． （1）求实数a的值； （2）设g（x）=f（2x）﹣f（