湖南省常德市澧南中学高一数学理上学期期末试题含解析

湖南省常德市澧南中学高一数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 对每一个正整数，设，则 等于                                                                （  　）    A．－1025　　　    B．－1225　　　  C．－1500　　      D．－2525 参考答案： B 解析： ＝ ＝ ＝ ＝． 2. 已知f（x）=Acos（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜）的图象如图所示，为得到的g（x）=Acosωx的图象，可以将f（x）的图象（　　） A．向左平移 B．向左平移 C．向右平移 D．向右平移 参考答案： B 【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【分析】首先根据图象求出函数的解析式，进一步利用函数的图象变换求出结果． 【解答】解：根据函数的图象：A=1， T=4（﹣）=π， 所以：ω==2， 当x=时，f（）=0，可得：cos（2×+φ）=0，由五点作图法可得：2×+φ=， 解得：φ=﹣， 所以f（x）=cos（2x﹣），g（x）=cos2x． 要得到g（x）=cos2x的图象只需将f（x）的图象向左平移个单位即可． 故选：B． 3. 经过点（－1，0），且与直线垂直的直线方程是 A. B. C. D. 参考答案： A 4. 如图，一个几何体的三视图是三个直角三角形，则该几何体的最长的棱长等于（　　） A．2 B．3 C．3 D．9 参考答案： B 【考点】L!：由三视图求面积、体积． 【分析】由三视图知该几何体是一个三棱锥，由三视图求出几何元素的长度、判断出线面的位置关系，由图判断出几何体的最长棱，由勾股定理求出即可． 【解答】解：由三视图知几何体是一个三棱锥P﹣ABC， 直观图如图所示：PC⊥平面ABC，PC=1， 且AB=BC=2，AB⊥BC， ∴AC=， ∴该几何体的最长的棱是PA，且PA==3， 故选：B． 5. 若函数，则f(－2)的值等于（    ） A、 　　 　　B、　　　　　　C、　　　　D、2 参考答案： A 6. 在上是减函数，则的取值范围是（    ）   A.[ B.[ ] C.( D.( ] 参考答案： A 略 7. 过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（　　） A．2x+y﹣3=0 B．2x﹣y﹣3=0 C．4x﹣y﹣3=0 D．4x+y﹣3=0 参考答案： A 【考点】圆的切线方程；直线的一般式方程． 【分析】由题意判断出切点（1，1）代入选项排除B、D，推出令一个切点判断切线斜率，得到选项即可． 【解答】解：因为过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，所以圆的一条切线方程为y=1，切点之一为（1，1），显然B、D选项不过（1，1），B、D不满足题意；另一个切点的坐标在（1，﹣1）的右侧，所以切线的斜率为负，选项C不满足，A满足． 故选A． 8. 已知弧度为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（   ） A．2      B．     C．      D． 参考答案： B 9. 若直线l经过点（a﹣2，﹣1）和（﹣a﹣2，1），且与经过点（﹣2，1）斜率为﹣的直线垂直，则实数a的值为（　　） A．﹣ B．﹣ C． D． 参考答案： A 【考点】IJ：直线的一般式方程与直线的垂直关系． 【分析】由垂直关系和斜率公式可得m的方程，解方程可得． 【解答】解：由垂直关系可得直线l的斜率为， ∴=，解得a=﹣ 故选：A． 10. 函数的图象可看成的图象按如下平移变换而得到的（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位   参考答案： A 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 取一根长度为3米的绳子，拉直后在任意位置剪断，则剪出的两段的长都不小于1米（记为事件A）的概率为               参考答案： 试题分析：记“两段的长都不小于1m”为事件A， 则只能在中间1m的绳子上剪断，剪得两段的长都不小于1m， 所以事件A发生的概率 P（A）= 考点：几何概型 12. 已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1内接于球O，底面ABCD是正方形，E为AA1的中点，OA⊥平面BDE，则=　　． 参考答案： 【考点】棱柱的结构特征． 【分析】以D为原点，建立空间直角坐标系OO﹣xyz，利用向量法能求出的值． 【解答】解：以D为原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz， 设AB=a，AA1=c， 则A（a，0，0），E（a，0，），D（0，0，0）， B（a，a，0），D（0，0，c），O（）， =（a，0，），=（a，a，0）， =（）， ∵OA⊥平面BDE， ∴，解得c=， ∴==． 故答案为：． 【点评】本题考查线段比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用． 13. 学校从参加高一年级期中考试的学生中抽出50名学生，并统 计了他们的数学成绩(成绩均为整数且满分为100分)，数学成绩分组及各组频数如下： [40,50)，2；[50,60)，3；[60,70)，14；[70,80)，15；[80,90)，12；[90,100],4. (1)在给出的样本频率分布表中，求A,B,C,D的值； (2)估计成绩在80分以上(含80分)学生的比例； (3)为了帮助成绩差的学生提高数  学成绩，学校决定成立“二帮一”  小组，即从成绩在[90,100]的学生中选两位同学，共同帮助成绩在[40,50)中的某一位同学．已知甲同学的成绩为42分，乙同学的成绩为95分，求甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率．样本频率分布表如右：                                                   参考答案： 略 14. 函数的定义域为　　． 参考答案： [0，1] 【考点】函数的定义域及其求法． 【专题】计算题． 【分析】保证两个根式都有意义的自变量x的集合为函数的定义域． 【解答】解：要使原函数有意义，则需解得0≤x≤1， 所以，原函数定义域为[0，1]． 故答案为[0，1]． 【点评】本题考查了函数定义域的求法，求解函数的定义域，是求使的构成函数解析式的各个部分都有意义的自变量x的取值集合． 15. 一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为　　． 参考答案： 【考点】由三视图求面积、体积． 【专题】图表型． 【分析】由已知中的三视图，我们可以判断出该几何体的形状，及关键数据，代入棱锥体积公式，即可求出答案． 【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体有一个半圆锥和一个四棱维组合而成， 其中半圆锥的底面半径为1，四棱锥的底面是一个边长为2为正方形，他们的高均为 则V=（+4）?= 故答案为： 【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知中的三视图判断出几何体的形状是解答本题的关键． 16. 将两个数a=8,b=17交换,使a=17,b=8,下面语句正确一组是(    )   A. a=b；b=a B. c=b；b=a；a=c     C. b=a；a=b D. a=c；c=b；b=a 参考答案： 略 17. 已知，，若，则____ 参考答案： 【分析】 由，，得的坐标，根据得，由向量数量积的坐标表示即可得结果. 【详解】∵，，∴ 又∵，∴， 即， 所以，解得，故答案为. 【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，两向量垂直与数量积的关系，属于基础题. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 一个有穷等比数列的首项为，项数为偶数，如果其奇数项的和为，偶数项的和为，求此数列的公比和项数。 参考答案： 解析：设此数列的公比为，项数为， 则 ∴项数为  19. （本小题满分12分） 某学校准备购买一批电脑，在购买前进行的市场调查显示：在相同品牌、质量与售后服务的条件下，甲、乙两公司的报价都是每台6000元。甲公司的优惠条件是购买10台以上的，从第11台开始按报价的七折计算，乙公司的优惠条件是均按八五折计算。 （1）分别写出在两公司购买电脑的总费用y甲、y乙与购买台数x之间的函数关系式； （2）根据购买的台数，你认为学校应选择哪家公司更合算？说明理由。 参考答案： 解： y乙=5100x（）………………………………………………………6分 （2）当x≤10时，显然y甲＞y乙；     当x＞10时，令y甲＞y乙，即4 200x＋18 000 ＞5 100x ,     解得：x <20.     答：当购买的台数不超过20台时，应选择甲公司，当购买台数超过20台时，应选择乙公司．………………………………………………12分 略 20. 已知函数f（x）在其定义域（0，+∞），f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y），当x＞1时，f（x）＞0； （1）求f（8）的值； （2）讨论函数f（x）在其定义域（0，+∞）上的单调性； （3）解不等式f（x）+f（x﹣2）≤3． 参考答案： 【考点】抽象函数及其应用． 【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用． 【分析】（1）题意知f（2×2）=f（2）+f（2）=2，f（2×4）=f（2）+f（4）=3，f[x（x﹣2）]＜f（8）， （2）利用函数单调性的定义即可证明f（x）在定义域上是增函数； （3）由f（x）的定义域为（0，+∞），且在其上为增函数，将不等式进行转化即可解得答案． 【解答】解：（1）∵f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1， ∴f（2×2）=f（2）+f（2）=2， ∴f（8）=f（2×4）=f（2）+f（4）=3， （2）当x=y=1时，f（1）=f（1）+f（1）， 则f（1）=0， f（x）在（0，+∞）上是增函数 设x1＜x2，则 ∵f（x1）＜f（x2），∴f（x1）﹣f（x2）＜0， 任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2， 则＞1，则f（）＞0， 又f（x?y）=f（x）+f（y）， ∴f（x1）+f（）=f（x2）， 则f（x2）﹣f（x1）=f（）＞0， ∴f（x2）＞f（x1）， ∴f（x）在定义域内是增函数． （3）由f（x）+f（x﹣2）≤3， ∴f（x（x﹣2））≤f（8） ∵函数f（x）在其定义域（0，+∞）上是增函数， ∴ 解得，2＜x≤4． 所以不等式f（x）+f（x﹣2）≤3的解集为{x|2＜x≤4}． 【点评】本题主要考查抽象函数的求值，利用赋值法是解决抽象函数的基本方法，利用函数的单调性的应用是解决本题的关键，考查学生的运算能力． 21. （本小题满分12分） 已知在△ABC中，若角所对的边分别为，且. （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）若，求边的值。   参考答案： （Ⅰ）;（Ⅱ）2 （1）由已知条件，及余弦定理得 =,         且                             （2）在中，由余弦定理得 ， 将代入，得 得，或（舍）      所以，       22. 正项数列的前项和满足: (1)求数列的通项公式; (2)令,求数列的前项和.   参考答案：