上海辛灵中学高一数学理期末试题含解析

上海辛灵中学高一数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. ，，，则（   ） A． B．     C．      D． 参考答案： C 略 2. f(x)为奇函数,x>0时,f(x)=sin2x+cosx,则x<0时,f(x)=　　　　　. 参考答案： 略 3. 求值：sin45°cos15°+cos45°sin 15°=（　　） A．﹣ B．﹣ C． D． 参考答案： D 【考点】GQ：两角和与差的正弦函数． 【分析】坐几路两角和与差的三角函数化简求解即可． 【解答】解：sin45°cos15°+cos45°sin 15°=sin60°=． 故选：D． 4. 已知函数y=Acos（ωx+φ）+B的一部分图象如图所示，如果A＞0，ω＞0，|φ|＜，则（　　） A．A=4 B．ω=1 C．B=4 D．φ=﹣ 参考答案： D 【考点】余弦函数的图象． 【专题】数形结合；综合法；三角函数的图像与性质． 【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A和B，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式． 【解答】解：根据函数y=Acos（ωx+φ）+B的一部分图象，可得B=2，A=4﹣2=2， ?=﹣，求得ω=2． 再根据五点法作图可得2?+φ=0，求得φ=﹣，∴y=2cos（2x﹣）+2， 故选：D． 【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题． 5. 函数的图像如图所示，为了得到的图像，则只需将的图像（  ） A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位 C. 向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位 参考答案： D 6. 在等差数列{an}中，，则（   ） A. 5 B. -5 C. 10 D. -10 参考答案： A 【分析】 由是的等差中项可知. 【详解】因为是的等差中项， 所以， 故选：A. 【点睛】本题主要考查了等差中项，属于容易题. 7. 右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 A. 20π      B. 24π     C.28π       D.  32π 参考答案： C 8. △ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a=80，b=100，A=，则此三角形是（　　） A．锐角三角形B．直角三角形 C．钝角三角形D．锐角或钝角三角形 参考答案： C 【考点】正弦定理． 【分析】由题意和正弦定理求出sinB，根据正弦函数的性质和角B的范围，对B分类讨论并画出图形，分别利用内角和定理判断出△ABC的形状． 【解答】解：∵a=80，b=100，A=， ∴由正弦定理得，则sinB===， ∵sinB=＜，0＜B＜π，且b＞a， ∴∠B有两解， ①当B为锐角时，则B∈（，）， 此时C=π﹣A﹣B=，则C为钝角， ∴△ABC是钝角三角形， ②当B为钝角时，则B∈（，）， 此时C=π﹣A﹣B=，成立， ∴△ABC是钝角三角形， 综上可得，△ABC一定是钝角三角形， 故选：C． 9. 设点O在△ABC的内部，且，若△ABC的面积是27，则△AOC的面积为（   ） A. 9 B. 8 C. D. 7 参考答案： A 【分析】 延长OC到D，使得OD=2OC, 以OA，OD为边作平行四边形OAED,对角线交点为F,OE交AC于H,证明，即得的面积是面积的，所以的面积为9. 【详解】 延长OC到D，使得OD=2OC, 因为， 所以， 以OA，OD为边作平行四边形OAED,对角线交点为F,OE交AC于H, 因为, 所以, 因为OC:AE=1:2, 所以OH:HE=1:2, 所以, 所以, 所以的面积是面积的， 所以的面积为9. 故选：A 【点睛】本题主要考查平面向量的几何运算和数乘向量的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 10. （5分）过点（﹣1，3）且平行于直线x﹣2y+3=0的直线方程为（） A． x﹣2y+7=0 B． 2x+y﹣1=0 C． x﹣2y﹣5=0 D． 2x+y﹣5=0 参考答案： A 考点： 直线的一般式方程；两条直线平行的判定． 专题： 计算题． 分析： 由题意可先设所求的直线方程为x﹣2y+c=0再由直线过点（﹣1，3），代入可求c的值，进而可求直线的方程 解答： 由题意可设所求的直线方程为x﹣2y+c=0 ∵过点（﹣1，3） 代入可得﹣1﹣6+c=0 则c=7 ∴x﹣2y+7=0 故选A． 点评： 本题主要考查了直线方程的求解，解决本题的关键根据直线平行的条件设出所求的直线方程x﹣2y+c=0． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数f（x）=（x＞0），则给出以下四个结论： ①函数f（x）的值域为[0，1]； ②函数f（x）的图象是一条曲线； ③函数f（x）是（0，+∞）上的减函数； ④函数g（x）=f（x）﹣a有且仅有3个零点时． 其中正确的序号为　     　． 参考答案： ④ 【考点】根的存在性及根的个数判断；函数单调性的判断与证明． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】通过举特例，可得①、②、③错误；数形结合可得④正确，从而得出结论． 【解答】解：由于符号[x]表示不超过x的最大整数，函数f（x）=（x＞0）， 取x=﹣1.1，则[x]=﹣2，∴f（x）=＞1，故①不正确． 由于当0＜x＜1，[x]=0，此时f（x）=0； 当1≤x＜2，[x]=1，此时f（x）=； 当2≤x＜3，[x]=2，此时f（x）=，此时＜f（x）≤1， 当3≤x＜4，[x]=3，此时f（x）=，此时＜g（x）≤1， 当4≤x＜5，[x]=4，此时f（x）=，此时＜g（x）≤1， 故f（x）的图象不会是一条曲线，且 f（x）不会是（0，+∞）上的减函数，故排除②、③． 函数g（x）=f（x）﹣a有且仅有3个零点时，函数f（x）的图象和直线y=a有且仅有3个交点， 此时，，故④正确， 故答案为：④． 【点评】本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，体现了化归与转化、数形结合的数学思想，属于基础题． 12. 已知直线l过定点,且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则直线l的方程为______. 参考答案： 或. 【分析】 设直线的方程为，利用已知列出方程，①和②，解方程即可求出直线方程 【详解】设直线的方程为. 因为点在直线上， 所以①. 因为直线与两坐标轴围成的三角形的面积为4, 所以②. 由①②可知或 解得或 故直线的方程为或， 即或. 【点睛】本题考查截距式方程和直线与坐标轴形成的三角形面积问题，属于基础题 13. （5分）如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP=3，则=      ． 参考答案： 18 考点： 平面向量数量积的运算． 专题： 计算题；压轴题． 分析： 设AC与BD交于O，则AC=2AO，在RtAPO中，由三角函数可得AO与AP的关系，代入向量的数量积=||||cos∠PAO可求 解答： 设AC与BD交于点O，则AC=2AO ∵AP⊥BD，AP=3， 在Rt△APO中，AOcos∠OAP=AP=3 ∴||cos∠OAP=2||×cos∠OAP=2||=6， 由向量的数量积的定义可知，=||||cos∠PAO=3×6=18 故答案为：18 点评： 本题主要考查了向量的数量积 的定义的应用，解题的关键在于发现规律：AC×cos∠OAP=2×AOcos∠OAP=2AP． 14. 如图所示，程序框图(算法流程图)的输出值x=      参考答案： 12 15. 已知ab＞0，且a+4b=1，则的最小值为　  　． 参考答案： 9 【考点】基本不等式． 【分析】把“1”换成4a+b，整理后积为定值，然后用基本不等式求最小值 【解答】解：∵ab＞0，且a+4b=1， ∴=（）（a+4b）=1+4++≥5+2=9，当且仅当a=，b=时取等号， ∴的最小值为9， 故答案为：9． 16. 数列{ }的前项和为，已知，则n值是***** . 参考答案： 9 17. 给出命题： ①在空间里，垂直于同一平面的两个平面平行； ②设l，m是不同的直线，α是一个平面，若l⊥α，l∥m，则m⊥α； ③已知α，β表示两个不同平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的充要条件； ④若点P到三角形三个顶点的距离相等，则点P在该三角形所在平面内的射影是该三角形的外心； ⑤a，b是两条异面直线，P为空间一点，过P总可以作一个平面与a，b之一垂直，与另一个平行． 其中正确的命题是________(只填序号)． 参考答案： ②④ 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 设在 ABC中内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列 　　（1）求cosAcosC的取值范围；　　（2）若 ABC的外接圆半径R=1，求 的取值范围。 参考答案： 解析:由已知得 ： 2B=A+C　A+C=π-B　 　  ① 　　(1)利用公式 与 推得　   ② 　　注意到①式 　　 ③ 　　∴由②③得cosAcosC的取值范围为 　　(2)根据已知　　A=60+α,C=60-α　　 (-60< <60) ∴由正弦定理得a2+c2=4R2(sin2A+sin2C)=4(sin2A+sin2C)=4-2 (cos2A+cos2C)=4-2[cos(120+2α)+cos(120-2α)]=4+2cos2α ④ 　　-60< <60 　　∴-120<2α<120　　∴ 　　　　⑤ 　　∴由④⑤得：3<4+2cos2α≤6　　∴所求 的取值范围为(3,6). 19. (12分) 如图，三棱柱中D是BC上一点，且平面，是的中点，求证：平面平面。 参考答案： 略 略 20. 在中，内角的对边分别为.已知. 求的值；若，的周长为5，求的长. 参考答案： 解（1)由正弦定理得所以=, 即,即有,即,所以=2.                        (2)由(1)知=2,所以有,即,又因为的周长为5,所以=5-3, 由余弦定理得：，即， 解得=1，所以=2. 略 21. 已知函数)． (1)求函数的最小正周期； (2)若，求的值． 参考答案： 略 22. 已知是三个向量，试判断下列各命题的真假． （1）若且，则 （2）向量在的方向上的投影是一模等于（是与的夹角），方向与在相同或相反的一个向量． 参考答案： 解析：（1）若且，则，这是一个假命题          因为，仅得 （2）向量在的方向上的投影是一模等于（是与的夹角），方向与在相同或相反的一个向量．这是一个假命题   因为向量在的方向上的投影是个数量，而非向量。