内蒙古自治区呼和浩特市清水河县北堡乡中学2022年高一数学理联考试题含解析

内蒙古自治区呼和浩特市清水河县北堡乡中学2022年高一数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在△ABC中，若，则这个三角形一定是（  ） A．等腰三角形        B．直角三角形        C．等腰直角三角形    D．等边三角形 参考答案： A   略 2. ，，则等于            （     ） A．1         B．3         C．15          D．20 参考答案： C 3. 已知角，则角是(  ) A．第一象限角        B．第二象限角      C．第三象限角      D．第四象限角 参考答案： A 4. 直线的倾斜角为       A、   B、      C、       D、 参考答案： B 5. 已知为正实数，则(   ) A.                B.         C.    D. 参考答案： D 略 6. 函数的零点所在的大致区间是（    ） A．（1，2）                                                            B．（2，3）         C．和（3，4）                                            D． 参考答案： B 略 7. 如果函数f(x)对任意a、b满足，且，则(    ) A. 504 B. 1009 C. 2018 D. 4036 参考答案： C 【分析】 根据以及，找到规律，由此求得所求表达式的值. 【详解】由于函数f(x)对任意a、b满足，且， 令，则； 令，则，； 以此类推，可知， 所以. 故选：C 8. 在各项均为正数的等比数列{an}中，，则（   ） A. 有最小值6 B. 有最大值6 C. 有最大值9 D. 有最小值3 参考答案： A 【分析】 由题意设出等比数列的公比，把、用和公比表示，然后利用基本不等式求得答案. 【详解】设等比数列的公比为     ， 当且仅当即时上式等号成立 本题正确选项： 【点睛】本题考查等比数列的通项公式，考查了利用基本不等式求最值，是基础题. 9. 若A为△ABC的内角，则下列函数中一定取正值的是（  ） A．         B．         C．          D． 参考答案： A 略 10. 已知函数，它的增区间为（  ）                    参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 某学院的A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取____名学生。 参考答案： 40 12. 已知圆C：，点,过点P作圆的切线，则该切线的一般式方程为________________ 参考答案： 3x-4y+31=0  13. 、函数最小正周期为        参考答案： π   略 14. 已知求的取值范围。 参考答案： 解析：，此时符合题意； ，此时亦符合题意。 15. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b,c,若a= ,b=2,sin B+ cos B= ,则角A的大小为             . 参考答案： 16. 如图是青年歌手电视大奖赛上某一位选手的得分茎叶图，若去掉一个最高分和一个最低分后，则剩下数据的方差       参考答案： 如图是青年歌手电视大奖赛上某一位选手的得分茎叶图，若去掉一个最高分和一个最低分后，则剩下数据的方差       17. 已知，且，则_____. 参考答案： 【知识点】诱导公式 【试题解析】因为 所以， 故答案为： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若m，n∈[﹣1，1]，m+n≠0时，有 （Ⅰ）证明f（x）在[﹣1，1]上是增函数； （Ⅱ）解不等式f（x2﹣1）+f（3﹣3x）＜0 （Ⅲ）若f（x）≤t2﹣2at+1对?x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，求实数t的取值范围． 参考答案： 解：（Ⅰ）任取﹣1≤x1＜x2≤1， 则， ∵﹣1≤x1＜x2≤1，∴x1+（﹣x2）≠0， 由已知， ∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）， ∴f（x）在[﹣1，1]上是增函数； （Ⅱ）∵f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且在[﹣1，1]上是增函数， ∴不等式化为f（x2﹣1）＜f（3x﹣3）， ∴，解得； （Ⅲ）由（Ⅰ）知f（x）在[﹣1，1]上是增函数， ∴f（x）在[﹣1，1]上的最大值为f（1）=1， 要使f（x）≤t2﹣2at+1对?x∈[﹣1，1]恒成立，只要t2﹣2at+1≥1?t2﹣2at≥0， 设g（a）=t2﹣2at，对?a∈[﹣1，1]，g（a）≥0恒成立， ∴， ∴t≥2或t≤﹣2或t=0 考点： 奇偶性与单调性的综合；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断． 专题： 综合题；函数的性质及应用． 分析： （Ⅰ）任取﹣1≤x1＜x2≤1，则，由已知，可比较f（x1）与f（x2）的大小，由单调性的定义可作出判断； （Ⅱ）利用函数的奇偶性可把不等式化为f（x2﹣1）＜f（3x﹣3），在由单调性得x2﹣1＜3x﹣3，还要考虑定义域； （Ⅲ）要使f（x）≤t2﹣2at+1对?x∈[﹣1，1]恒成立，只要f（x）max≤t2﹣2at+1，由f（x）在[﹣1，1]上是增函数易求f（x）max，再利用关于a的一次函数性质可得不等式组，保证对a∈[﹣1，1]恒成立； 解答： 解：（Ⅰ）任取﹣1≤x1＜x2≤1， 则， ∵﹣1≤x1＜x2≤1，∴x1+（﹣x2）≠0， 由已知， ∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）， ∴f（x）在[﹣1，1]上是增函数； （Ⅱ）∵f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且在[﹣1，1]上是增函数， ∴不等式化为f（x2﹣1）＜f（3x﹣3）， ∴，解得； （Ⅲ）由（Ⅰ）知f（x）在[﹣1，1]上是增函数， ∴f（x）在[﹣1，1]上的最大值为f（1）=1， 要使f（x）≤t2﹣2at+1对?x∈[﹣1，1]恒成立，只要t2﹣2at+1≥1?t2﹣2at≥0， 设g（a）=t2﹣2at，对?a∈[﹣1，1]，g（a）≥0恒成立， ∴， ∴t≥2或t≤﹣2或t=0． 点评： 本题考查抽象函数的单调性、奇偶性，考查抽象不等式的求解，可从恒成立问题，考查转化思想，考查学生灵活运用知识解决问题的能力 19. 已知向量记函数数，求： （1）当时，求在区间上的值域； （2）当时，，求的值． 参考答案： 解：（1） 当时， 又由得，所以， 从而        (2)                         所以 由，得 ， ， 所以 略 20. （本小题满分12分）一汽车厂生产A、B、C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位:辆)： 按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A类轿车10辆. （1）求的值；（2）用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本。将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率； （3）用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4、8.6、9.2、9.6、8.7、9.3、9.0、8.2，把这8辆轿车的得分看作一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率。 21、 参考答案： （1）z=400； （2） P(A)=; （3）P(B)=;   略 21. 假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y(万元)，有如下的统计资料： 若由资料知，y对x呈线性相关关系，试求： (1)线性回归方程y=bx+a的回归系数a、b； (2)估计使用年限为10年时，维修费用是多少? 参考答案： 22. 已知定义在R上的函数f（x）=是奇函数． （1）求a、b的值； （2）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围． 参考答案： 【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的性质． 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义和性质建立方程关系即可求a、b的值； （2）根据函数奇偶性和单调性的性质，将不等式进行转化进行求解即可． 【解答】解：（1）∵定义在R上的函数f（x）=是奇函数． ∴f（0）=0，即，得b=1， 则f（x）=， ∵f（x）是奇函数， ∴f（﹣1）+f（1）=0， ∴+=0， 解得a=1． 即a=b=1． （2）∵a=b=1． ∴f（x）===﹣1+，则f（x）为减函数， 由f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0 得f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2） 即t2﹣2t＞k﹣2t2恒成立， 即3t2﹣2t﹣k＞0恒成立， 则判别式△=4+3×4k＜0， 解得k＜﹣， 即k的取值范围是（﹣∞，﹣）．