2022年陕西省安康市普通高校对口单招高等数学一自考真题(含答案及部分解析)

2022年陕西省安康市普通高校对口单招高等数学一自考真题(含答案及部分解析) 学校:________ 班级:________ 姓名:________ 考号:________ 一、单选题(20题) 1.A.a=-9，b=14 B.a=1，b=-6 C.a=-2，b=0 D.a=12，b=-5 2. A.A.Ax B. C. D. 3.微分方程y"-4y=0的特征根为 A.A.0，4 B.-2，2 C.-2，4 D.2，4 4.A.-1 B.1 C. D.2 5.设f(x)为连续函数，则等于( ) A.A. B. C. D. 6. 7.  8. A.A.1 B.3 C. D.0 9.  10. A.A.条件收敛 B.绝对收敛 C.收敛性与k有关 D.发散 11.  12.为二次积分为（　　）。 A. B. C. D. 13.当x→0时，与x等价的无穷小量是（） A. B.ln(1+x) C. D.x2(x+1) 14. A.A.  B.  C.  D.  15.若f(x)<0，(a＜z≤b)且f(b)<0，则在(a，b)内( )。 A.f(x)>0 B.f(x)<0 C.f(x)=0 D.f(x)符号不定 16.（　　）。 A.3 B.2 C.1 D.0 17.设y=exsinx，则y'''= A.cosx·ex B.sinx·ex C.2ex(cosx-sinx) D.2ex(sinx-cosx) 18.在空间直角坐标系中，方程x2-4(y-1)2=0表示( )。 A.两个平面 B.双曲柱面 C.椭圆柱面 D.圆柱面 19.设二元函数z=xy，则点P0(0，0) A.为z的驻点，但不为极值点 B.为z的驻点，且为极大值点 C.为z的驻点，且为极小值点 D.不为z的驻点，也不为极值点 20.  二、填空题(20题) 21. 22.设函数y=y(x)由方程x2y+y2x+2y=1确定，则y'=______． 23.微分方程y"=y的通解为______． 24.曲线y =x3－3x2－x的拐点坐标为____。 25.  26.  27. 28.y=ln(1+x2)的单调增加区间为______． 29. 30.  31.微分方程y''+6y'+13y=0的通解为______. 32.设y＝3＋cosx，则y＝ ． 33.y=x3-27x+2在[1，2]上的最大值为______． 34.  35. 36.为使函数y=arcsin(u＋2)与u=｜x｜-2构成复合函数，则x所属区间应为__________． 37.  38.  39. 40. 三、计算题(20题) 41. 将f(x)=e-2X展开为x的幂级数． 42.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0． 43.当x一0时f(x)与sin 2x是等价无穷小量，则 44.  45. 求微分方程的通解． 46.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几? 47. 求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值． 48.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点． 49. 50. 求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程． 51.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解． 52. 53.证明： 54.  55. 求曲线在点(1，3)处的切线方程． 56. 57.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为 S(x)． (1)写出S(x)的表达式； (2)求S(x)的最大值． 58. 59.  60.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度 u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m． 四、解答题(10题) 61. 求曲线y=x3+2过点(0，2)的切线方程，并求该切线与曲线及直线x=1所围成的平面图形D的面积S。 62. 63.将f(x)=sin3x展开为x的幂级数，并指出其收敛区间。 64. 65. 66. 67. 68. 69.  70.  五、高等数学(0题) 71.求微分方程y+2xy=xe-x2满足y｜x=0=1的特解。 六、解答题(0题) 72. 参考答案 1.B 2.D 3.B 由r2-4=0，r1=2，r2=-2，知y"-4y=0的特征根为2，-2，故选B。 4.A 5.D 本题考查的知识点为定积分的性质；牛-莱公式． 可知应选D． 6.C 7.B 8.B 本题考查的知识点为重要极限公式． 可知应选B． 9.C 10.A 本题考杏的知识点为级数的绝对收敛与条件收敛． 11.D 12.A 本题考查的知识点为将二重积分化为极坐标系下的二次积分。 由于在极坐标系下积分区域D可以表示为 故知应选A。 13.B? 14.D 本题考查的知识点为二阶常系数线性非齐次微分方程特解y*的取法： 15.D ∵f"(x)＜0，(a＜x≤b)．∴(x)单调减少(a＜x≤b)当f(b)<0时，f(x)可能大于0也可能小于0。 16.A 17.C 由莱布尼茨公式，得（exsinx)'''=(ex)'''sinx+3(ex)''(sinx)'+3(ex)'(sinx)''+ex(sinx)'''=exsinx+3excosx+3ex(-sinx)+ex(-cosx)=2ex(cosx-sinx). 18.A 19.A 20.D解析： 21. 本题考查的知识点为连续性与极限的关系． 由于为初等函数，定义域为(-∞，0)，(0，+∞)，点x=2为其定义区间(0，+∞)内的点，从而知 22.  ；本题考查的知识点为隐函数的求导． 将x2y+y2x+2y=1两端关于x求导，(2xy+x2y')+(2yy'x+y2)+2y'=0，(x2+2xy+2)y'+(2xy+y2)=0，因此y'= 23.y'=C1e-x+C2ex ；本题考查的知识点为二阶常系数线性齐次微分方程的求解． 将方程变形，化为y"-y=0， 特征方程为 r2-1=0； 特征根为 r1=-1，r2=1． 因此方程的通解为 y=C1e-x+C2ex． 24.（1，-1） 25.2/3 26. 27. 28.(0，+∞) 本题考查的知识点为利用导数符号判定函数的单调性． 由于y=ln(1+x2)，其定义域为(-∞，+∞)． 又由于，令y'=0得唯一驻点x=0． 当x＞0时，总有y'＞0，从而y单调增加． 可知y=ln(1+x2)的单调增加区间为(0，+∞)． 29. 30.π/2π/2 解析： 31.y=e-3x(C1cos2x+C2sin2x) 微分方程y''+6y'+13y=0的特征方程为r2+6r+13=0，特征根为所以微分方程的通解为y=e-3x(C1cos2x+C2sin2x). 32.－sin X． 本题考查的知识点为导数运算． 33.-24 本题考查的知识点为连续函数在闭区间上的最大值． 若f(x)在(a，b)内可导，在[a，b]上连续，常可以利用导数判定f(x)在[a，b]上的最值： (1)求出f'(x)． (2)求出f(x)在(a，b)内的驻点x1，…，xk． (3)比较f(x1)，f(x2)，…，f(xk)，f(a)，f(b)．其中最大(小)值为f(x)在[a，b]上的最大(小)值，相应的点x为f(x)的最大(小)值点． y=x3-27x+2, 则 y'=3x2-27=3(x-3)(x+3), 令y'=0得y的驻点x1=-3，x2=3，可知这两个驻点都不在(1，2)内． 由于f(1)=-24，f(2)=-44，可知y=x3-27x+2在[1，2]上的最大值为-24． 本题考生中出现的错误多为求出驻点x1=-3，x2=3之后，直接比较 f(-3)=56，f(3)=-52，f(1)=-24，f(2)=-44， 得出y=x3-27x+2在[1，2]上的最大值为f(-3)=56．其错误的原因是没有判定驻点x1=-3，x2=3是否在给定的区间(1，2)内，这是值得考生注意的问题．在模拟试题中两次出现这类问题，目的就是希望能引起考生的重视． 本题还可以采用下列解法：注意到y'=3(x-3)(x+3)，在区间[1，2]上有y'＜0，因此y为单调减少函数。可知 x=2为y的最小值点，最小值为 y|x=2=-44． x=1为y的最大值点，最大值为 y|x=1=-24． 34.2 35. 本题考查的知识点为极限的运算． 若利用极限公式 如果利用无穷大量与无穷小量关系，直接推导，可得 36.[-1，1 37. 38. 解析： 39. 40.ln(1+x)+C 本题考查的知识点为换元积分法． 41. 42. 43.由等价无穷小量的定义可知 44. 则 45. 46.需求规律为Q=100ep-2.25p ∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p, ∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％ 47. 函数的定义域为 注意 48. 列表： 说明 49. 50. 51.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0， 52. 53. 54. 55.曲线方程为，点(1，3)在曲线上． 因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0． 如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点 (x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为 56. 57. 58. 59. 由一阶线性微分方程通解公式有 60.由二重积分物理意义知 61. 62. 63. 64.本题考查的知识点为定积分的换元积分法． 65. 66. 67. 68. 69. 70. 71