2021-2022学年湖北省十堰市普通高校对口单招高等数学一自考模拟考试(含答案及部分解析)

2021-2022学年湖北省十堰市普通高校对口单招高等数学一自考模拟考试(含答案及部分解析) 学校:________ 班级:________ 姓名:________ 考号:________ 一、单选题(20题) 1. 2.  3. 等于( ) A.A. B. C. D.0 4. 5.为了提高混凝土的抗拉强度，可在梁中配置钢筋。若矩形截面梁的弯矩图如图所示，梁中钢筋(图中虚线所示)配置最为合理的是( )。 A. B. C. D. 6. 7.  8. 9. A.A. B.B. C.C. D.D. 10.等于( )． A.A.2 B.1 C.1/2 D.0 11.  12.方程2x2-y2=1表示的二次曲面是（）。 A.球面 B.柱面 C.旋转抛物面 D.圆锥面 13. 14.  15.A.I1=I2 B.I1＞I2 C.I1＜I2 D.无法比较 16.设f'(x0)=1,则等于( )． A.A.3 B.2 C.1 D.1/2 17.  18. 19.。 A.2 B.1 C.-1/2 D.0 20. A. B. C. D. 二、填空题(20题) 21. 22.  23. 24.  25.设z=xy，则出=_______． 26.  27.y"+8y=0的特征方程是________。 28.空间直角坐标系中方程x2+y2=9表示的曲线是________。 29.  30. 微分方程y'=2的通解为__________。 31. 32. 33. 34. 函数f(x)=2x2-x+1，在区间[-1，2]上满足拉格朗日中值定理的ξ=_________。 35. 36.  37. 38.设Ф(x)=∫0xln(1+t)dt，则Ф"(x)=________。 39.  40.  三、计算题(20题) 41.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几? 42.当x一0时f(x)与sin 2x是等价无穷小量，则 43.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点． 44. 求微分方程的通解． 45. 将f(x)=e-2X展开为x的幂级数． 46. 求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值． 47. 48. 求曲线在点(1，3)处的切线方程． 49. 50.  51.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度 u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m． 52. 53.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解． 54.证明： 55.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0． 56.  57.  58. 求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程． 59. 60.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为 S(x)． (1)写出S(x)的表达式； (2)求S(x)的最大值． 四、解答题(10题) 61. y=xlnx的极值与极值点． 62. 63.求由曲线y=x，y=lnx及y=0，y=1围成的平面图形的面积S及此平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体体积． 64.  65. 判定y=x-sinx在[0，2π]上的单调性。 66. (本题满分10分)求由曲线y＝3－x2与y＝2x，y轴所围成的平面图形的面积及该封闭图形绕x轴旋转－周所成旋转体的体积． 67. 68. 69. 70.  五、高等数学(0题) 71.讨论y=xe-x的增减性，凹凸性，极值，拐点。 六、解答题(0题) 72.  参考答案 1.B 2.C 3.D 本题考查的知识点为定积分的性质． 由于当f(x)可积时，定积分的值为一个确定常数，因此总有 故应选D． 4.A 5.D 6.D 7.A 8.D 9.B 本题考查了已知积分函数求原函数的知识点 10.D 本题考查的知识点为重要极限公式与无穷小性质． 注意：极限过程为x→∞，因此 不是重要极限形式!由于x→∞时，1/x为无穷小，而sin2x为有界变量．由无穷小与有界变量之积仍为无穷小的性质可知 11.D 12.B 13.A 14.D 15.C因积分区域D是以点(2，1)为圆心的一单位圆，且它位于直线x+y=1的上方，即在D内恒有x+y＞1，所以（x+y)2＜(x+y)3.所以有I1＜I2. 16.B 本题考查的知识点为导数的定义． 由题设知f'(x0)=1，又由题设条件知 可知应选B． 17.A解析： 18.B 19.A 20.A 本题考查的知识点为偏导数的计算。 由于 故知应选A。 21.本题考查的知识点为重要极限公式。 22.eab 23.（-21） （-2，1） 24. 25. 26. 27.r2+8r=0本题考查的知识点为二阶常系数线性微分方程特征方程的概念。y"+8y"=0的特征方程为r2+8r=0。 28.以Oz为轴的圆柱面方程。 F(x，y)=0表示母线平行于Oz轴的柱面，称之为柱面方程，方程x2+y2=32=0表示母线平行Oz轴的圆柱面方程。 29.极大值为8极大值为8 30.y=2x+C 31.  32.本题考查的知识点为幂级数的收敛半径． 所给级数为缺项情形，由于 33. 本题考查的知识点为幂级数的收敛半径． 注意此处幂级数为缺项情形． 34.1/2 35. 36.0＜k≤10＜k≤1 解析： 37. 38.用变上限积分公式(∫0xf(t)dt)"=f(x)，则Ф"(x)=ln(1+x)，Ф"(x)=。 39.π/8 40. 41.需求规律为Q=100ep-2.25p ∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p, ∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％ 42.由等价无穷小量的定义可知 43. 列表： 说明 44. 45. 46. 函数的定义域为 注意 47. 48.曲线方程为，点(1，3)在曲线上． 因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0． 如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点 (x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为 49. 50. 51.由二重积分物理意义知 52. 53.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0， 54. 55. 56. 由一阶线性微分方程通解公式有 57. 则 58. 59. 60. 61.y=xlnx的定义域为x＞0 y'=1+lnx． 令y'=0得驻点x1=e-1． 当0＜x＜e-1时y'＜0；当e-1＜x时y'＞0．可知x=e-1为y=xlnx的极小值点． 极小值为y=xlnx的定义域为x＞0 y'=1+lnx． 令y'=0得驻点x1=e-1． 当0＜x＜e-1时，y'＜0；当e-1＜x时，y'＞0．可知x=e-1为y=xlnx的极小值点． 极小值为 62. 63.所给曲线围成的图形如图8-1所示． 64. 65.因为在[02π]内y'=1-cosx≥0可知在[02π]上y=x-sinx单调增加。因为在[0，2π]内，y'=1-cosx≥0，可知在[0,2π]上y=x-sinx单调增加。 66. 本题考查的知识点有两个：利用定积分求平面图形的面积；用定积分求绕坐标轴旋转所得旋转体的体积． 所给曲线围成的平面图形如图1－2所示． 解法1利用定积分求平面图形的面积。 解法2利用二重积分求平面图形面积． 求旋转体体积与解法1同． 注本题也可以利用二重积分求平面图形的面积． 67. 68. 69. 70. 71.∵y=xe-x ∴y"=e-x一xe-x=e-x(1一x)=0；x=1 ∴y""=一e-x(1一x)一e-x=e-x(x一2)=0；x=2 ①∵x<1时y">0； ∴x>1时y"<0； ∴y在(一∞1)内递增；y在(1+∞)内递减；极大值e-1； ②∵x<2时y""<0； ∴x>2时y"">0； ∴y在(一∞2)内凸；y在(1+∞)内凹；拐点为(22e-2)∵y=xe-x ∴y"=e-x一xe-x=e-x(1一x)=0；x=1 ∴y""=一e-x(1一x)一e-x=e-x(x一2)=0；x=2 ①∵x<1时,y">0； ∴x>1时,y"<0； ∴y在(一∞,1)内递增；y在(1,+∞)内递减；极大值e-1； ②∵x<2时,y""<0； ∴x>2时,y"">0； ∴y在(一∞,2)内凸；y在(1,+∞)内凹；拐点为(2,2e-2) 72.