2022年山西省阳泉市古城职业中学高三数学理月考试题含解析

2022年山西省阳泉市古城职业中学高三数学理月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若是两个非零向量，且，则与的夹角的取值范围是(     ) A．      B.       C.       D. 参考答案： A 2. 若复数 (，i为虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为(　　) A．－6　　　　   　　B．13               C.             D. 参考答案： A 3. 函数f（x）=+ln|x|的图象大致为(     ) A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】函数的图象． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】当x＜0时，函数f（x）=，由函数的单调性，排除CD； 当x＞0时，函数f（x）=，此时，代入特殊值验证，排除A，只有B正确， 【解答】解：当x＜0时，函数f（x）=，由函数y=、y=ln（﹣x）递减知函数f（x）=递减，排除CD； 当x＞0时，函数f（x）=，此时，f（1）==1，而选项A的最小值为2，故可排除A，只有B正确， 故选：B． 【点评】题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合与分类讨论的思维能力． 4. 用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为(    ) A．243             B．252           C．261             D．279 参考答案： B 5. 下列函数中既不是奇函数，也不是偶函数的是 A.                B.   C.          D. 参考答案： D 6. 若向量，的夹角为，且|=2，||=1，则向量与向量+2的夹角为（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】数量积表示两个向量的夹角． 【分析】先计算，||，再利用夹角公式cosα=，可得结论． 【解答】解：设向量与向量的夹角等于α ∵向量，的夹角为，且，， ∴==4+2×2×1×cos=6，||=== ∴cosα=== ∵α∈[0，π] ∴α= 故选D． 7. 若，则函数与的图像关于 A．x轴对称          B．y轴对称          C．直线y=x对称     D．原点对称 参考答案： 答案:D 8. 已知a＞0且a≠1，函数在区间（﹣∞，+∞）上既是奇函数又是增函数，则函数g（x）=loga||x|﹣b|的图象是（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】函数的图象；对数函数的单调性与特殊点． 【分析】根据函数是一个奇函数，函数在原点出有定义，得到函数的图象一定过原点，求出b的值，根据函数是一个增函数，看出底数的范围，得到结果． 【解答】解：∵函数在区间（﹣∞，+∞）上是奇函数， ∴f（0）=0 ∴b=1， 又∵函数在区间（﹣∞，+∞）上是增函数， 所以a＞1， 所以g（x）=loga||x|﹣1|定义域为x≠±1，且当x＞1递增，当0＜x＜1递减， 故选A 9. 设全集U=R，集合A={x|1og2x≤2}，B={x|（x﹣3）（x+1）≥0}，则（?UB）∩A=（　　） A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，﹣1]∪（0，3） C．[0，3） D．（0，3） 参考答案： D 【考点】交、并、补集的混合运算． 【分析】根据题意，先求出集合A，B，进而求出B的补集，进而根据交集的定义，可得答案． 【解答】解：∵集合A={x|1og2x≤2}=（0，4]， B={x|（x﹣3）（x+1）≥0}=（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）， ∴CUB=（﹣1，3）， ∴（CUB）∩A=（0，3）， 故选：D 【点评】本题考查集合混合运算，注意运算的顺序，其次要理解集合交、并、补的含义． 10. 如图所示，长方体中，，面对角线上存在一点使得最短，则的最小值为（  ） A．    B．    C．    D．2 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在平行四边形中，已知，，，为的中点，则___________. 参考答案：        12. （5分）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是  cm3． 参考答案： 7 【考点】： 由三视图求面积、体积． 计算题；空间位置关系与距离． 【分析】： 根据几何体的三视图，得出该几何体是平放的直五棱柱，结合图中数据求出它的体积即可． 解：根据几何体的三视图，得； 该几何体是平放的直五棱柱，且五棱柱的底面如侧视图所示， ∴该五棱柱的体积为 V五棱柱=S底面h=[1×2+（2+1）×1×]×2=7． 故答案为：7． 【点评】： 本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目． 13. 集合的真子集的个数是__________个. 参考答案： 7 14. 已知圆x2+y2－2x－6y=0，过点E（0，1）作一条直线与圆交于A，B两点，当线段AB长最短时，直线AB的方程为_____________ . 参考答案： x+2y-2=0 略 15. 在二项式的展开式中，的系数为________. 参考答案： 60 【分析】 直接利用二项式定理计算得到答案 【详解】二项式的展开式通项为：， 取，则的系数为. 故答案为：60. 【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力. 16.   过点的直线与圆：交于两点，为圆心，当最小时，直线的方程是：        　　　       ． 参考答案： 答案：x+y=3 17. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为         ． 参考答案： 8 【考点】由三视图求面积、体积． 【专题】空间位置关系与距离． 【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的棱锥，求出底面面积和高，代入锥柱体积公式，可得答案． 【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的棱锥， 其底面面积S=×（2+4）×4=12， 高h=2， 故棱锥的体积V=Sh=8， 故答案为：8． 【点评】本题考查的知识点由三视图求体积和表面积，其中根据已知中的三视图，判断出几何体的形状，是解答的关键． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且b2+c2-a2=bc．向量 （Ⅰ）求角A的大小； （Ⅱ）设函数，当取最大值时，判断△ABC的形状． 参考答案： 19. 已知，在△ABC中，D是AB上一点，△ACD的外接圆交BC于点E，AB=2BE． （Ⅰ）求证：BC=2BD； （Ⅱ）若CD平分∠ACB，且AC=2，EC=1，求BD的长． 参考答案： 【分析】（Ⅰ）连接DE，证明△DBE∽△CBA，即可证明BC=2BD； （Ⅱ）先求DE，利用CD是∠ACB的平分线，可得DA=1，根据割线定理求出BD． 【解答】（Ⅰ）证明：连接DE，因为四边形ACED是圆的内接四边形， 所以∠BDE=∠BCA， 又∠DBE=∠CBA， 所以△DBE∽△CBA，即有， 又AB=2BE，所以BC=2BD           … （Ⅱ）由（Ⅰ）△DBE∽△CBA，知， 又AB=2BE，∴AC=2DE， ∵AC=2，∴DE=1， 而CD是∠ACB的平分线，∴DA=1， 设BD=x，根据割线定理得BD?BA=BE?BC 即x（x+1）=（x+1）[（x+1）+1]，解得x=1，即BD=1．             … 【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查割线定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 20. 已知数列{an}满足a1=1，an+1=1﹣，其中n∈N*． （Ⅰ）设bn=，求证：数列{bn}是等差数列，并求出{an}的通项公式an； （Ⅱ）设Cn=，数列{CnCn+2}的前n项和为Tn，是否存在正整数m，使得Tn＜对于n∈N*恒成立，若存在，求出m的最小值，若不存在，请说明理由． 参考答案： 【考点】8H：数列递推式；8K：数列与不等式的综合． 【分析】（Ⅰ）利用递推公式即可得出bn+1﹣bn为一个常数，从而证明数列{bn}是等差数列，再利用等差数列的通项公式即可得到bn，进而得到an； （Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，利用“裂项求和”即可得到Tn，要使得Tn＜对于n∈N*恒成立，只要，即，解出即可． 【解答】（Ⅰ）证明：∵bn+1﹣bn== ==2， ∴数列{bn}是公差为2的等差数列， 又=2，∴bn=2+（n﹣1）×2=2n． ∴2n=，解得． （Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得， ∴cncn+2==， ∴数列{CnCn+2}的前n项和为Tn=…+ =2＜3． 要使得Tn＜对于n∈N*恒成立，只要，即， 解得m≥3或m≤﹣4， 而m＞0，故最小值为3． 【点评】正确理解递推公式的含义，熟练掌握等差数列的通项公式、“裂项求和”、等价转化等方法是解题的关键． 21. (本小题满分12分) 已知函数(是自然对数的底数). (Ⅰ)设(其中是的导数)，求g(x)的极小值； (Ⅱ)若对，都有成立，求实数a的取值范围.   参考答案： (Ⅰ)，. 令，∴， ∴在上为增函数，. ∵当时，；当时，， ∴的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为， ∴.                     …………………………5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知，在上单调递增，在(0，1)上单调递减， ∴. 当时，，在上单调递增，，满足条件； 当时，. 又∵，∴，使得， 此时，，；，， ∴在上单调递减，，都有，不符合题意. 综上所述，实数的取值范围为.            ………………………12分   22. (本小题满分13分)   某班倡议假期每位学生至少阅读一本名著，为了解学生的阅读情况，对该班所有学生进行了调查.调查结果如下表: 阅读名著的本数 1 2 3 4 5 男生人数 3 1 2 1 3 女生人数 1 3 3 1 2   （Ⅰ）试根据上述数据，求这个班级女生阅读名著的平均本数; （Ⅱ）若从阅读5本名著的学生中任选2人交流读书心得，求选到男生和女生各1人的概率； （Ⅲ）试判断该班男生阅读名著本数的方差与女生阅读名著本数的方差的大小（只需写出结论）．（注：方差，其中为，…… 的平均数） 参考答案： （Ⅰ）女生阅读名著的平均本数本.                                                  …………………………3分 （Ⅱ）设事件={从阅读5本名著的学生中任取2人，其中男生和女生各1人}. 男生阅读5本名著的3人分别记为，女生阅读5本名著的2人分别记为 从阅读5本名著的5名学生中任取2人，共有10个结果，分别是： ，，，，，， ，，，. 其中男生和女生各1人共有6个结果，分别是： ，，，，，. 则.                      …………………………10分 （III）.                               …………………………13分