河南省洛阳市宜阳县实验中学2022年高一数学理期末试题含解析

河南省洛阳市宜阳县实验中学2022年高一数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知角α的终边与以坐标原点为圆心，以1为半径的圆交于点P（sin，cos），则角α的最小正值为（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】任意角的三角函数的定义． 【专题】三角函数的求值． 【分析】直接利用三角函数的定义，求解即可． 【解答】解：角α的终边与以坐标原点为圆心，以1为半径的圆交于点P（sin，cos）， 即（，），对应点为（cos，sin）． 角α的最小正值为：． 故选：D． 【点评】本题考查任意角的三角函数的定义的应用，考查计算能力． 2. 在公比q为整数的等比数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，若，，则下列说法错误的是（    ） A. B. 数列是等比数列 C. D. 数列是公差为2的等差数列 参考答案： D 【分析】 根据题中条件，逐项判断，即可得出结果. 【详解】因为，， 所以，所以，（舍），A正确； 所以，，，，C正确； 又，所以是等比数列，B正确； 又， 所以数列是公差为的等差数列.D错误； 故选D 【点睛】本题主要考查数列的综合应用，熟记等差数列与等比数列的通项公式与求和公式即可，属于常考题型. 3. 已知，则函数的最大值为（  ） A．6      B．13      C．22      D．33 参考答案： B 4. 已知函数f（x﹣）=sin2x，则f（）等于(     ) A． B．﹣ C． D．﹣ 参考答案： D 考点：函数的值． 专题：函数的性质及应用． 分析：直接利用函数的解析式求解即可． 解答： 解：函数f（x﹣）=sin2x， 则f（）=f（）=sin（2×）=﹣． 故选：D． 点评：本题考查函数的解析式的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力． 5. 函数是（   ） A．最小正周期为π的奇函数        B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为的奇函数        D．最小正周期为的偶函数 参考答案： A 函数y=2sin2（x﹣）﹣1=﹣[1﹣2sin2（x﹣）]=﹣cos（2x﹣）=﹣sin2x， 故函数是最小正周期为=π的奇函数， 故选：A．   6. 下列函数中，图像的一部分如右图所示的是(   ) A.     B. C.  D. 参考答案： D 7. 若tanα＞0，则（　　） A．sinα＞0 B．cosα＞0 C．sin2α＞0 D．cos2α＞0 参考答案： C 【考点】GC：三角函数值的符号． 【分析】化切为弦，然后利用二倍角的正弦得答案． 【解答】解：∵tanα＞0， ∴， 则sin2α=2sinαcosα＞0． 故选：C． 8. 设集合，则 （A） （B） （C）   （D） 参考答案： A 略 9. 已知一个扇形的圆心角为3弧度，半径为4，则这个扇形的面积等于 A. 48                B. 24       C. 12              D. 6 参考答案： B 因为扇形的弧长l＝3×4＝12，则面积S＝ ×12×4＝24，选B. 10. 设全集是实数集，，则图中阴影部分所表示的集合是(    )     A．    B．     C．     D． 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知点在角的终边上，则                   。 参考答案： 0 12. 当x∈（1，3）时，不等式x2+mx+4＜0恒成立，则m的取值范围是　　． 参考答案： （﹣∞，﹣5] 【考点】函数的最值及其几何意义． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】利用一元二次函数图象分析不等式在定区间上恒成立的条件，再求解即可． 【解答】解：∵解：利用函数f（x）=x2+mx+4的图象， ∵x∈（1，3）时，不等式x2+mx+4＜0恒成立， ∴，即， 解得m≤﹣5． ∴m的取值范围是（﹣∞，﹣5]． 故答案为：（﹣∞，﹣5]． 【点评】本题考查不等式在定区间上的恒成立问题．利用一元二次函数图象分析求解是解决此类问题的常用方法． 13. 与终边相同的最小正角是_______________。 参考答案：   解析： 14. 若函数y=ax（a＞0，a≠1）在区间x∈[0，1]上的最大值与最小值之和为3，则实数a的值为   ． 参考答案： 2 【考点】指数函数的单调性与特殊点． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】本题要分两种情况进行讨论：①0＜a＜1，函数y=ax在[0，1]上为单调减函数，根据函数y=ax在[0，1]上的最大值与最小值和为3，求出a②a＞1，函数y=ax在[0，1]上为单调增函数，根据函数y=ax在[0，1]上的最大值与最小值和为3，求出a即可． 【解答】解：①当0＜a＜1时 函数y=ax在[0，1]上为单调减函数 ∴函数y=ax在[0，1]上的最大值与最小值分别为1，a ∵函数y=ax在[0，1]上的最大值与最小值和为3 ∴1+a=3 ∴a=2（舍） ②当a＞1时 函数y=ax在[0，1]上为单调增函数 ∴函数y=ax在[0，1]上的最大值与最小值分别为a，1 ∵函数y=ax在[0，1]上的最大值与最小值和为3 ∴1+a=3 ∴a=2 故答案为：2． 【点评】本题考查了函数最值的应用，但解题的关键要注意对a进行讨论，属于基础题． 15. 若，则        ． 参考答案： 16. 若向量满足，则向量的夹角等于          参考答案： 略 17. 已知函数（且）的图象必经过点，则点坐标是__________． 参考答案： (－1,3) 令得， 故函数的图象必过定点． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知关于的方程与直线．（Ⅰ）若方程表示圆，求的取值范围；（Ⅱ）若圆与直线交于两点，且(为坐标原点)，求的值.   参考答案： 解：（I）令          得          的取值范围为……         （II）设            ……①          由      消得          ……                 …… ②                   又                                        ……         代入⑤得，          满足②, 故为所求                       …… 略 19. （本小题12分）有甲，乙两家健身中心，两家设备和服务都相当，但收费方式不同．甲中心每小时５元；乙中心按月计费，一个月中30小时以内（含30小时）90元，超过30小时的部分每小时2元．某人准备下个月从这两家中选择一家进行健身活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时。 （1）设在甲中心健身小时的收费为元，在乙中心健身活动小时的收费为 元。试求和； （2）问：选择哪家比较合算？为什么？ 参考答案： （1），                          ，．．．．．．．．2分                                   ，．．．．．．．．6分 （2）当5x=90时，x=18，                                   即当时，                              ．．．．．．．．7分 当时，                                  ．．．．．．．．8分 当时，；                            ．．．．．．．．9分 ∴当时，选甲家比较合算； 当时，两家一样合算； 当时，选乙家比较合算．                         ．．．．．．．．12分 20. （本小题满分12分） 已知数列的前项和是，且成等差数列（）,． (1)求数列的通项公式． (2)若数列满足求数列的前项和． (3)函数，设数列满足求数列的前项和． 参考答案： (1)因为 21. （本小题满分12分）已知函数，求函数的值域． 参考答案： 解:   …………………2分    ∴                           …………………5分    ,   ∴                …………………7分    ∴当时,有；                  …………………9分      当时，有                      …………………11分 ∴的值域为                                …………………12分 22. 已知圆M上一点A（1，﹣1）关于直线y=x的对称点仍在圆M上，直线x+y﹣1=0截得圆M的弦长为． （1）求圆M的方程； （2）设P是直线x+y+2=0上的动点，PE、PF是圆M的两条切线，E、F为切点，求四边形PEMF面积的最小值． 参考答案： 【考点】圆的切线方程；直线与圆相交的性质． 【分析】（1）由题意，圆心在直线y=x上，设为（a，a），圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣a）2=r2，代入A的坐标，利用直线x+y﹣1=0截得圆M的弦长为，由此可得结论； （2）先表示出四边形PEMF面积，再转化为求圆心到直线的距离即可． 【解答】解：（1）由题意，圆心在直线y=x上，设为（a，a），圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣a）2=r2， 则（1﹣a）2+（1﹣a）2=r2，， 解的a=1，r2=4， 圆∴M的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=4． （2）由切线的性质知：四边形PEMF的面积S=|PE|?r， 四边形PEMF的面积取最小值时，|PM|最小，即为圆心M到直线x+y+2=0的距离，即|PM|min=，得|PE|min=2．知四边形PEMF面积的最小值为4．