2022年江西省赣州市仙下中学高二数学理期末试题含解析

2022年江西省赣州市仙下中学高二数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 等差数列中，（   ） A. 9    B. 10   C. 11   D. 12 参考答案： B 2. 复数的共轭复数所对应的点位于复平面的（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限    D. 第四象限 参考答案： C 【分析】 通过化简，于是可得共轭复数，判断在第几象限即得答案. 【详解】根据题意得，所以共轭复数为，对应点为 ，故在第三象限，答案为C. 【点睛】本题主要考查复数的四则运算，共轭复数的概念，难度不大. 3. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（    ） A.  B.      C.      D. 参考答案： A 4. 一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在同一个球面上，则该球的内接正方体的表面积为（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】L!：由三视图求面积、体积． 【分析】由已知中底面是正三角形的三棱柱的正视图，求出三棱柱的底面边长和高，从而求出它外接球的半径，再求球内接正方体的棱长，即可求出其表面积． 【解答】解：由已知中的三棱柱正视图可得： 三棱柱的底面边长为2，高为1 则三棱柱的底面外接圆半径为 r=， 球心到底面的距离为 d=； 则球的半径为 R==； ∴该球的内接正方体对角线长是 2R=2=a， ∴a=2=； ∴内接正方体的表面积为： S=6a2=6×=． 故选：D． 5. 已知集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={x|log4x＜0.5}，则（　　） A．A∩B=? B．A∩B=B C．?UA∪B=R D．A∪B=B 参考答案： B 【考点】1E：交集及其运算． 【分析】利用不等式的性质分别求出集合A与B，由此利用交集和并集的定义能求出结果． 【解答】解：∵集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}={x|﹣1＜x＜2}， B={x|log4x＜0.5}={x|0＜x＜2}， ∴A∩B=B，?UA∪B={x|x≤﹣1或x＞0}，A∪B=A． 故选：B． 6. 函数的单调递增区间为 （A）           （B）         （C）           （D） 参考答案： B 略 7. 等差数列{an}的公差不为零，首项a1=1，a2是a1和a5的等比中项，则数列{an}的前9项和是（ ） A.9 B.10 C.81 D.90 参考答案： C 因为a2是a1和a5的等比中项，所以，又a1=1，所以，解得d=2，所以，故选C.   8. 若函数在内有极小值 , 则（    ）． A．       B．      C．     D．     参考答案： A 9. 抛物线的准线方程为，则的值为 （　 　） Ａ．              Ｂ．               Ｃ．             Ｄ． 参考答案： B 略 10. 用数学归纳法证明不等式成立，起始值至少应取为（     ） A．7                        B．8                       C．9                     D．10   www.k@s@5@                            高#考#资#源#网   参考答案： B 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知等比数列中，，在与两项之间依次插入个正整数，得到数列，即．则数列的前2013项之和    ▲   (用数字作答)． 参考答案： 2007050   在数列中，到项共有项，即为． 则 ． 设等比数的公比为，由，，得，解得 ， 因此 故答案为2007050．   12. 已知定义在R上的可导函数f（x）满足，若，则实数m的取值范围是______． 参考答案： 【详解】试题分析：令,则,故函数在上单调递减,又由题设可得,故,即,答案为． 考点：导数及运用． 13. 已知函数f（x）=lnx+ax2+（2﹣2a）x+（a＞0），若存在三个不相等的正实数x1，x2，x3，使得=3成立，则a的取值范围是      ． 参考答案： （，） 考点：利用导数研究函数的极值． 专题：导数的综合应用． 分析：若存在三个不相等的正实数x1，x2，x3，使得=3成立，等价为方程f（x）=3x存在三个不相等的实根，构造函数，求函数的导数，研究函数的极值，利用极大值大于0，极小值小于0，即可得到结论． 解答： 解：若存在三个不相等的正实数x1，x2，x3，使得=3成立， 即方程f（x）=3x存在三个不相等的实根， 即lnx+ax2+（2﹣2a）x+=3x，lnx+ax2﹣（1+2a）x+=0有三个不相等的实根， 设g（x）=lnx+ax2﹣（1+2a）x+， 则函数的导数g′（x）=+2ax﹣（1+2a）==， 由g′（x）=0得x=1，x=， 则g（1）=a﹣1﹣2a+=﹣1﹣a+， g（）=ln+a（）2﹣（1+2a）+=﹣1﹣ln2a． 若=1，即a=时，g′（x）=≥0，此时函数g（x）为增函数，不可能有3个根， 若＞1，即0＜a＜时，由g′（x）＞0得x＞或0＜x＜1，此时函数递增， 由g′（x）＜0得1＜x＜，此时函数递减， 则当x=1时函数g（x）取得极大值g（1）=﹣1﹣a+， 当x=时函数g（x）取得极小值g（）=﹣1﹣ln2a， 此时满足g（1）=﹣1﹣a+＞0且g（）=﹣1﹣ln2a＜0， 即，即， 则，解得＜a＜． 同理若＜1，即a＞时，由g′（x）＞0得x＞1或0＜x＜，此时函数递增， 由g′（x）＜0得＜x＜1，此时函数递减， 则当x=1时函数g（x）取得极小值g（1）=﹣1﹣a+， 当x=时函数g（x）取得极大值g（）=﹣1﹣ln2a， 此时满足g（1）=﹣1﹣a+＜0且g（）=﹣1﹣ln2a＞0， 即， ∵a＞，∴2a＞1，则ln2a＞0，则不等式ln2a＜﹣1不成立，即此时不等式组无解， 综上＜a＜． 故答案为： 点评：本题主要考查导数的综合应用，根据条件转化为方程f（x）=3x存在三个不相等的实根，构造函数，利用导数研究函数的极值是解决本题的关键．综合性较强，难度较大． 14. 不透明的盒子中有大小、形状和质地都相同的5只球，其中2只白球，3只红球，现从中随机取出2只球，则取出的这2只球颜色相同的概率是_________. 参考答案： . 【分析】 根据古典概型概率公式求解. 【详解】从5只球中随机取出2只球，共有种基本事件, 从5只球中取出2只球颜色相同求，共有种基本事件, 因此所求概率为 15. 若“函数在上有两个零点”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是         参考答案： 16. 如图所示是毕达哥拉斯（Pythagoras）的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，如此继续，若共得到4095个正方形，设初始正方形的边长为，则最小正方形的边长为　　． 参考答案： 【考点】归纳推理． 【专题】计算题；等差数列与等比数列；推理和证明． 【分析】正方形的边长构成以为首项，以为公比的等比数列，利用共得到4095个正方形，借助于求和公式，可求得正方形边长变化的次数，从而利用等比数列的通项公式，即可求最小正方形的边长． 【解答】解：由题意，正方形的边长构成以为首项，以为公比的等比数列， 现已知共得到4095个正方形，则有 1+2+…+2n﹣1=4095， ∴n=12， ∴最小正方形的边长为×（）12﹣1=， 故答案为： 【点评】本题以图形为载体，考查等比数列的求和公式及通项，关键是的出等比数列模型，正确利用相应的公式． 17. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其外接圆的直径为，且满足，则______________. 参考答案： 【分析】 先利用余弦定理化简已知得，所以，再利用正弦定理求解. 【详解】由及余弦定理， 得， 得， 得，即， 所以，所以. 由正弦定理，得， 则. 故答案为： 【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 某研究所计划利用宇宙飞船进行新产品搭载试验，计划搭载若干件新产品A，B，该研究所要根据产品的研制成本、产品重量、搭载试验费用和预计收益来决定具体安排，通过调查得到的有关数据如表：   每件A产品 每件B产品 研制成本、搭载试验费用之和（万元） 20 30 产品重量（千克） 10 5 预计收益（万元） 80 60 已知研制成本、搭载试验费用之和的最大资金为300万元，最大搭载重量为110千克，则如何安排这两种产品进行搭载，才能使总预计收益达到最大，求最大预计收益是多少． 参考答案： 【考点】简单线性规划的应用． 【分析】我们可以设搭载的产品中A有x件，产品B有y件，我们不难得到关于x，y的不等式组，即约束条件和目标函数，然后根据线行规划的方法不难得到结论． 【解答】解：设搭载A产品x件，B产品y件，则预计收益z=80x+60y，由题意知，． 作出可行域如图所示． 作出直线l：80x+60y=0并平移，由图形知，当直线经过点M时，z取到最大值． 由解得，即M（9，4）． 所以zmax=80×9+60×4=960（万元），所以搭载9件A产品，4件B产品，才能使总预计收益达到最大，最大预计收益为960万元． 19. （本小题满分6分）在直角坐标系中，已知点，曲线的参数方程为为参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为 （Ⅰ）判断点与直线的位置关系，说明理由； （Ⅱ）设直线与曲线的两个交点为、，求的值. 参考答案： 20. 已知函数f（x）=x3﹣x2+cx+d有极值． （Ⅰ）求c的取值范围； （Ⅱ）若f（x）在x=2处取得极值，且当x＜0时，f（x）＜d2+2d恒成立，求d的取值范围． 参考答案： 【考点】函数在某点取得极值的条件；导数在最大值、最小值问题中的应用． 【专题】计算题． 【分析】（I）由已知中函数解析式f（x）=x3﹣x2+cx+d，我们易求出导函数f′（x）的解析式，然后根据函数f（x）=x3﹣x2+cx+d有极值，方程f′（x）=x2﹣x+c=0有两个实数解，构造关于c的不等式，解不等式即可得到c的取值范围； （Ⅱ）若f（x）在x=2处取得极值，则f′（2）=0，求出满足条件的c值后，可以分析出函数f（x）=x3﹣x2+cx+d的单调性，进而分析出当x＜0时，函数的最大值，又由当x＜0时，f（x）＜d2+2d恒成立，可以构造出一个关于d的不等式，解不等式即可得到d的取值范围． 【解答】解（Ⅰ）∵f（x）=x3﹣x2+cx+d， ∴f′（x）=x2﹣x+c，要使f（x）有极值，则方程f′（x）=x2﹣x+c=0有两个实数解， 从而△=1﹣4c＞0， ∴c＜． （Ⅱ）∵f（x）在x=2处取得极值， ∴f′（2）=4﹣2+c=0， ∴c=﹣2． ∴f（x）=x3﹣x2﹣2x+d， ∵f′（x）=x2﹣x﹣2=（x﹣2）（x+1），