2022年浙江省台州市天台县街头中学高三数学理模拟试卷含解析

2022年浙江省台州市天台县街头中学高三数学理模拟试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 如图，在?ABCD中，M，N分别为AB，AD上的点，且=， =，连接AC，MN交于P点，若=λ，则λ的值为（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】平面向量的基本定理及其意义． 【分析】=， =，∴=λ=λ（=，三点M，N，P共线．，即可求得λ． 【解答】解：∵=， =，∴=λ=λ（ =， ∵三点M，N，P共线．∴，则λ=． 故选：D． 2. 已知某几何体的三视图如右图所示，其中，正（主）视图，侧（左）视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为 A、   B、   C、  D、 参考答案： C 3. 在，则 A． B． C． D． 参考答案： C 4. 已知 满足，则在区间上的最大值为 A.4      B.      C.1      D. －2 参考答案： B 【考点】三角函数的频率、相位及初相，诱导公式 由f(0)确定三角函数的初相， 由诱导公式可知 因此且 故 【点评】：考查三角函数相关知识，属于基本题型 5. 已知函数f（x）=Asin（πx+φ）的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则的值为(     ) A．﹣1 B． C． D．2 参考答案： D 【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义；平面向量数量积的运算． 【专题】三角函数的图像与性质；平面向量及应用． 【分析】根据三角函数的图象和性质，求出函数的周期，利用向量的基本运算和向量的数量积定义即可得到结论． 【解答】解：∵函数f（x）=sin（2πx+φ）的周期T==2， 则BC==1，则C点是一个对称中心， 则根据向量的平行四边形法则可知：=2，= ∴=2?=2||2=2×12=2． 故选：D． 【点评】本题主要考查向量的数量积运算，利用三角函数的图象和性质是解决本题的关键． 6. 设函数y=f（x）的图象与y=2x+a的图象关于直线y=x对称，且f（2）+f（4）=﹣1，则a=（　　） A．﹣1 B．1 C．2 D．4 参考答案： C 【考点】函数的图象． 【分析】求出函数的解析式，利用由条件列出方程求解即可． 【解答】解：函数y=f（x）的图象与y=2x+a的图象关于直线y=x对称， 可得f（x）=﹣a+log2x， 由f（2）+f（4）=1， 可得：﹣a+log22﹣a+log24=﹣1， 解得a=2． 故选C． 【点评】本题考查函数的解析式的应用，函数值的求法，考查计算能力． 7. 秦九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法，其算法的程序框图如图所示，若输入的a0，a1，a2，…，an分别为0，1，2，…，n，若n=5，根据该算法计算当x=2时多项式的值，则输出的结果为（　　） A．248 B．258 C．268 D．278 参考答案： B 【考点】程序框图． 【分析】模拟执行程序，可得程序框图的功能求出当x=2时的值，即可得解． 【解答】解：该程序框图是计算多项式f（x）=5x5+4x4+3x3+2x2+x当x=2时的值， 而f（2）=258， 故选：B． 8. 函数的图像关于（   ） 轴对称   轴对称  原点对称  直线对称 参考答案： B 9. 已知圆与抛物线的准线相切，则p的值为 A.1 B.2       C. D.4 参考答案： B 圆的标准方程为，圆心为，半径为4.抛物线的准线为。所以解得，选B. 10. 函数y＝esin x（－p≤x≤p）的大致图象为 （   ）         A                   B                   C                   D 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在极坐标系中，若直线的方程是，点的坐标为， 则点到直线的距离    ． 参考答案： 2 12. 若函数，已知，则_________． 参考答案： 3 【分析】 根据分段函数性质求参数，再代入求 【详解】因为，所以， 因此 故答案为：3 【点睛】本题考查分段函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题.   13. 已知函数，当x=a时，y取得 最小值b，则_________。 参考答案： 6 略 14. 若，则的值为_____. 参考答案： 0 ∵，∴，∴， ∴ ． 故答案为0．   15. 设有两个命题，p：关于x的不等式ax＞1（a＞0，且a≠1）的解集是{x|x＜0}；q：函数y=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R．如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围是　  ． 参考答案： 或a≥1   【考点】复合命题的真假． 【分析】p：关于x的不等式ax＞1（a＞0，且a≠1）的解集是{x|x＜0}，则0＜a＜1；q：函数y=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R，a=0时不成立，a≠0时，则，解得a范围．如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则命题p与q必然一真一假． 【解答】解：p：关于x的不等式ax＞1（a＞0，且a≠1）的解集是{x|x＜0}，则0＜a＜1； q：函数y=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R，a=0时不成立，a≠0时，则，解得． 如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则命题p与q必然一真一假． ∴，或， 解得 则实数a的取值范围是． 故答案为：或a≥1． 【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 　 16. 已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，长度为2的线段MN的一个端点M在棱DD1上运动，另一个端点N在正方形ABCD内运动，则MN中点的轨迹与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的表面所围成的较小的几何体的体积等于　　． 参考答案： 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积． 【分析】根据题意，连接ND，得到一个直角三角形△NMD，P为斜边MN的中点，则|PD|的长度不变，进而得到点P的轨迹是球面的一部分，求出球的半径，代入球的体积公式计算． 【解答】解：如图可得，端点N在正方形ABCD内运动，连接ND， 由ND，DM，MN构成一个直角三角形， 设P为MN的中点，根据直角三角形斜边上的中线长度为斜边的一半可得， 不论△MDN如何变化，P点到D点的距离始终等于1． 故P点的轨迹是一个以D为中心，半径为1的球的． 其体积V=××π×13=． 故答案为：． 　 17. 若实数x,y满足约束条件 且的最小值为-6，则常数=    . 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知矩阵 ，设M＝AB． （1）求矩阵M ； （2）求矩阵M的特征值． 参考答案： （1） ；（2）特征值为1或4．    考点：矩阵的运算，特征值． 19. (本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲 如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D. (1)证明：DB＝DC； (2)设圆的半径为1，BC＝，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．   参考答案：   (1)证明：如图，连接DE，交BC于点G. 由弦切角定理，得∠ABE＝∠BCE，而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE， 所以BE＝CE. 又因为DB⊥BE，所以DE为圆的直径，∠DCE＝90°. 由勾股定理可得DB＝DC. (2)解：由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC， 故DG是BC边的中垂线，所以BG＝. 设DE的中点为O，连接BO，则∠BOG＝60°，从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，所以CF⊥BF，故Rt△BCF外接圆的半径等于. 20. （本小题满分13分）已知数列中， （I）证明：数列是等比数列； （II）求数列的通项公式； （III），，求使 对所有的都成立的最大正整数的值． 参考答案： （I）      ……………2分          ………………3分   （II）是等比数列，首项为2   ………………5分        ………………7分       (Ⅲ)        ………………9分                                          ………………10分          ………………11分   由已知有，，解得，………12分    故所求最大正整数的值为3 .                  ………………13分 21. （12分）已知P是椭圆+=1上的一点，求P到M（m，0）（m＞0）的距离的最小值． 参考答案： 考点：椭圆的简单性质． 专题：函数的性质及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：设P（x，y），则，所以，﹣2≤x≤2，所以得到|PM|=，二次函数的对称轴为x=2m，所以讨论2m和区间[﹣2，2]的关系，根据二次函数的顶点及在区间[﹣2，2]上的单调性即可求出该二次函数的最小值，从而求出|PM|的最小值． 解答：解：设P（x，y），则x，y满足：； ∴； ∴|PM|====； ∴①若0＜2m＜2，即0＜m＜1时，x=2m时，函数取最小值2﹣m2； ∴此时|PM|的最小值为； ②若2m≥2，即m≥1时，二次函数在[﹣2，2]上单调递减； ∴x=2时，函数取最小值（m﹣2）2； ∴此时|PM|的最小值为|m﹣2|． 点评：考查曲线上的点坐标和曲线方程的关系，两点间的距离公式，以及二次函数的最小值求法． 22. （12分）已知函数R)． （1）若的图象与轴恰有一个公共点，求的值； （2）若方程至少有一正根，求的范围． 参考答案： 解析：⑴若，则,的图象与轴的交点为， 满足题意．若，则依题意得：， 即．  故或． ⑵显然．若， 则由可知, 方程有一正一负两根，此时满足题意． 若,则时，,不满足题意． 时，方程有两负根,也不满足题意．故．