2022年江西省萍乡市清溪中学高三数学理月考试卷含解析

2022年江西省萍乡市清溪中学高三数学理月考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设f（x）是R上的偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，若x1＜0且x1+x2＞0，则（　　） A．f（﹣x1）＞f（﹣x2）  B．f（﹣x1）=f（﹣x2） C．f（﹣x1）＜f（﹣x2）  D．f（﹣x1）与f（﹣x2）大小不确定 参考答案： A 试题分析：先利用偶函数图象的对称性得出f（x）在（﹣∞，0）上是增函数；然后再利用x1＜0且x1+x2＞0把自变量都转化到区间（﹣∞，0）上即可求出答案． 试题解析：解：f（x）是R上的偶函数，且在（0，+∞）上是减函数 故  在（﹣∞，0）上是增函数 因为x1＜0且x1+x2＞0，故0＞x1＞﹣x2； 所以有f（x1）＞f（﹣x2）． 又因为f（﹣x1）=f（x1）， 所以有f（﹣x1）＞F（﹣x2）． 故选  A． 考点：奇偶性与单调性的综合． 点评：本题主要考查抽象函数的单调性和奇偶性．抽象函数是相对于给出具体解析式的函数来说的，它虽然没有具体的表达式，但是有一定的对应法则，满足一定的性质，这种对应法则及函数的相应的性质是解决问题的关键．抽象函数的抽象性赋予它丰富的内涵和多变的思维价值，可以考查类比猜测，合情推理的探究能力和创新精神． 2. 将函数图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）后得到的图象，设，则的图象大致为（   ） 参考答案： A 3. 一个四面体的四个顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（0，0，0），（1，2，0），（0，2，2），（3，0，1），则该四面体中以yOz平面为投影面的正视图的面积为(     ) A．3 B． C．2 D． 参考答案： A 考点：简单空间图形的三视图． 专题：空间位置关系与距离． 分析：求出四个顶点在yOz平面上投影的坐标，分析正视图的形状，可得答案． 解答： 解：（0，0，0），（1，2，0），（0，2，2），（3，0，1）， 在yOz平面上投影的坐标分别为：（0，0，0），（0，2，0），（0，2，2），（0，0，1）， 如下图所示： 即四面体的正视图为上下底长度分别为1，2，高为2的梯形， 其面积S==3， 故选：A 点评：本题考查的知识点是简单空间图形的三视图，其中画出几何体的正视图是解答的关键． 4. 已知，则的值等于(    ) A.        B.         C.       D. 参考答案： D 5. 已知命题p：“，使得成立”为真命题，则实数满足(　　) A．[－1,1)  B．(－∞,－1)∪(1,+∞) C．(1,+∞) D．(－∞,－1) 参考答案： B 6. 已知集合，，则中所含元素的个数为(      ) A．2 B．3 C．4 D．6 参考答案： B 略 7. “a=2”是“函数f（x）=x2+2ax﹣2在区间（﹣∞，﹣2]内单调递减”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 参考答案： A 【分析】由二次函数单调性和充要条件的定义可得． 【解答】解：当a=2时，f（x）=x2+2ax﹣2=（x+a）2﹣a2﹣2=（x+2）2﹣6， 由二次函数可知函数在区间（﹣∞，﹣2]内单调递减； 若f（x）=x2+2ax﹣2=（x+a）2﹣a2﹣2在区间（﹣∞，﹣2]内单调递减， 则需﹣a≥﹣2，解得a≤2，不能推出a=2， 故“a=2”是“函数f（x）=x2+2ax﹣2在区间（﹣∞，﹣2]内单调递减”的充分不必要条件． 故选：A． 【点评】本题考查充要条件的判定，涉及二次函数的单调性，属基础题． 8. 一个物体的运动方程为其中的单位是米，的 单位是秒，那么物体在秒末的瞬时速度是（    ） A．5米/秒  B．米/秒  C．7米/秒   D．米/秒 参考答案： A 9. 定义在上的函数是奇函数且满足，，数列满足，且，（其中为的前项和）。则 （  ）     A．            B．             C．            D． 参考答案： B 10. 等比数列{an}的前n项和为Sn，已知，，则（  ） A．         B．       C．14        D．15 参考答案： D 由，得，即， 又为等比数列，所以公比， 又，所以. . 故选D.   二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知F1，F2是椭圆=1的两个焦点，A，B分别是该椭圆的左顶点和上顶点，点P在线段AB上，则的最小值为　　． 参考答案： ﹣ 【分析】求得椭圆的焦点和A，B的坐标，以及直线AB的方程，设出P（m，n），求得的坐标表示，由m2+n2的几何意义：表示原点与AB上的点的距离的平方，运用点到直线的距离公式即可得到所求最小值． 【解答】解∵椭圆=1， ∴A（﹣2，0），B（0，1），F1（﹣，0），F2（，0）， 可得AB的方程为x﹣2y+2=0， 设P（m，n）， 则=（﹣﹣m，﹣n）（﹣m，﹣n） =m2+n2﹣3， 由m2+n2的几何意义：表示原点与AB上的点的距离的平方． 可得原点到直线AB的距离取得最小，且为=， 即有m2+n2﹣3的最小值为﹣3=﹣． 故答案为：﹣． 【点评】本题考查椭圆方程和性质，考查向量的坐标表示及最值的求法，解题时要认真审题，注意m2+n2的几何意义的合理运用，属于中档题． 12. 在平面直角坐标系xOy中，点A（0,27 ）在y轴正半轴上，点 ( ，0)在x轴上，记 ， ， ,则 取最大值时，的值为        . 参考答案： 略 13. 设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有的值为            ； 参考答案： 1和3 14. 已知线段的长度为，点依次将线段十等分.在处标，往右数点标，再往右数点标，再往右数点标……(如图)，遇到最右端或最左端返回，按照的方向顺序，不断标下去，（文）那么标到这个数时，所在点上的最小数为_____________.            参考答案： 5 记标有1为第1号，由于对这些点进行往返标数（从进行标数，遇到同方向点不够数时就“调头”往回数），则标有2的是1+2号，标有3的是1+2+3号，标有4的是1+2+3+4，…，标有10的是1+2+3+…+10=55号．所以55除以20的余数为15，此时点数到了5，,此时数为5。 15. 若函数f(x)＝在区间(m,2m＋1)上是单调递增函数，则m的取值范围是__________． 参考答案： 略 16. 设数列是等比数列，且，，则数列的前15项和为          ． 参考答案： 等比数列首项为,第二项为,故是首项为,公比为的等比数列.所以,所以,其前n项和为,时,为.   17. 在中，且，设是平面上的一点，则的最小值是          ． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分13分）  某汽车租赁公司为了调查A，B两种车型的出租情况，现随机抽取这两种车型各50辆，分别统计了每辆车在某个星期内的出租天数，统计数据如下表: A型车 出租天数 3 4 5 6 7 车辆数 3 30 5 7 5 B型车 出租天数 3 4 5 6 7 车辆数 10 10 15 10 5 （I） 试根据上面的统计数据，判断这两种车型在本星期内出租天数的方差的大小关系（只 需写出结果）； （Ⅱ）现从出租天数为3天的汽车（仅限A，B两种车型）中随机抽取一辆，试估计这辆汽 车是A型车的概率； （Ⅲ）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要购买一辆汽车，请你根据 所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由. 参考答案： 解：（I）由数据的离散程度可以看出，B型车在本星期内出租天数的方差较大 ………………3分 （Ⅱ）这辆汽车是A类型车的概率约为        这辆汽车是A类型车的概率为                            ………………7分 （Ⅲ）50辆A类型车出租的天数的平均数为               ………………9分 50辆B类型车出租的天数的平均数为              ………………11分 答案一：一辆A类型的出租车一个星期出租天数的平均值为4.62，B类车型一个星期出租天数的平均值为4.8，选择B类型的出租车的利润较大,应该购买B型车                                          ………………13分 答案二：一辆A类型的出租车一个星期出租天数的平均值为4.62，B类车型一个星期出租天数的平均值为4.8，而B型车出租天数的方差较大，所以选择A型车                                                      ………………13分 19. （12分）（原创）已知 （1）求函数在处的切线方程（用一般式作答）； （2）令，若关于的不等式有实数解.求实数的取值范围. 参考答案： 【知识点】利用导数研究函数的切线方程;利用导数求解不等式问题.B11 （1）（2） 解析：（1）由题，则， 则所求切线为 即 （2），显然时不是不等式的解，故， 故 由（1）可知，则. 【思路点拨】（1）先对原函数求导,再利用点斜式求出直线方程即可;（2）把原不等式转化 ,再求出即可. 20. （本小题满分14分）   设函数，其中 （1）当时，求曲线在点处的切线的斜率； （2）求函数的单调区间与极值； （3）已知函数由三个互不相同的零点，且，若对任意的，恒成立，求实数的取值范围。 参考答案： 21. 如图，三棱柱是直棱柱，，，点、分别是和的中点。 （1）求证：； （2）求点到平面的距离。 参考答案： 解：（1）由已知得四边形是矩形， ∴，，三点共线且是的中点， 又∵是的中点， ∴∥．                      又∵平面,平面,  ∴∥平面 ．           （2）设点到平面的距离为． 由已知得平面，∴. ∵，, ∴．∴． ∵,是为的中点，平面， ∴点到平面的距离是，． ∵，∴，∴． ∴点到平面的距离是． 略 22. 已知等比数列的公比为q=-. （1）若=，求数列的前n项和； （Ⅱ）证明：对任意，，，成等差数列。 参考答案：