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黑龙江省哈尔滨市清华园中学2022-2023学年高二数学理模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知是i虚数单位,是z的共轭复数,若,则的虚部为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
由题意可得:,
则,据此可得,的虚部为.
本题选择A选项.
2. 观察下列各等式:55=3125,56=15625,57=78125,…,则52013的末四位数字是( )
A.3125 B.5625 C.8125 D.0625
参考答案:
A
【考点】进行简单的合情推理.
【分析】由上述的几个例子可以看出末四位数字的变化,3125,5625,8125,0625即末四位的数字是以4为周期的变化的,故2013除以4余1,即末四位数为3125.
【解答】解:55=3125的末四位数字为3125,56=15625的末四位数字为5625,
57=78125的末四位数字为8125,58=390625的末四位数字为0625,59=1953125的末四位数字为3125…,
根据末四位数字的变化,3125,5625,8125,0625即末四位的数字是以4为周期的变化的,
故2013除以4余1,即末四位数为3125.则52013的末四位数字为3125.
故选A.
3. 双曲线(,)的左、右焦点分别是,过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点,若垂直于轴,则双曲线的离心率为
A. B. C. D.
参考答案:
C
4. 设,,则下列不等式中一定成立的是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
5. 如表提供了某厂节能降耗改造后在生产A产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据,根据表中提供的数据,求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35,则下列结论错误的是( )
x
3
4
5
6
y
2.5
t
4
4.5
A.线性回归直线一定过点(4.5,3.5)
B.产品的生产能耗与产量呈正相关
C.t的取值必定是3.15
D.A产品每多生产1吨,则相应的生产能耗约增加0.7吨
参考答案:
C
【考点】线性回归方程.
【分析】根据回归直线的性质分别进行判断即可.
【解答】解: =(3+4+5+6)==4.5,
则=0.7×4.5+0.35=3.5,即线性回归直线一定过点(4.5,3.5),故A正确,
∵0.7>0,∴产品的生产能耗与产量呈正相关,故B正确,
∵=(2.5+t+4+4.5)=3.5,得t=3,故C错误,
A产品每多生产1吨,则相应的生产能耗约增加0.7吨,故D正确
故选:C
6. 从1,2,……,9这九个数中,随机抽取3个不同的数,则这3个数的和为偶数的概率是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
7.
参考答案:
B
8. 已知△ABC的两边长分别为2,3,这两边的夹角的余弦值为,则△ABC的外接圆的直径为( )
A. B. C. D.8
参考答案:
B
【考点】正弦定理;余弦定理.
【专题】解三角形.
【分析】利用同角三角函数的基本关系求得三角形边长分别为2、3的夹角的正弦值为,由余弦定理可求第三边的长,根据正弦定理即可求得外接圆的直径.
【解答】解:△ABC的两边长分别为2、3,其夹角的余弦为,故其夹角的正弦值为,
由余弦定理可得第三边的长为:=3,
则利用正弦定理可得:△ABC的外接圆的直径为=.
故选:B.
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用,三角形的面积公式,属于基础题.
9. 设抛物线的顶点在原点,准线方程为,则抛物线的方程是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
10. 椭圆C的中心在原点,焦点F1,F2在x轴上,椭圆上的点到左焦点F1的距离的最大值为8,过F1的直线交椭圆C于A,B两点,且△ABF2的周长为20,则椭圆C的方程为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】依题意设椭圆方程为:(a>b>0,由a+c=8,△ABF2的周长为4a=20.求得a、b,即可得到所求椭圆方程.
【解答】解:依题意设椭圆方程为:(a>b>0),
∵椭圆上的点到左焦点F1的距离的最大值为8,∴a+c=8,
∵△ABF2的周长为20,∴4a=20,∴a=5,c=3,b=4,
∴椭圆C的方程为,故选:B.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设向量,,且,则的值为 .
参考答案:
168
∵ ,
∴设,
又∵ ,,
,
即,
解得,
∴.
故.
12. 甲罐中有5个红球,2个白球和3个黑球,乙罐中有4个红球,3个白球和3个黑球。先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以和表示由甲罐取出的球是红球,白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以B表示由乙罐取出的球是红球的事件,则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)。
①;
②;
③事件与事件相互独立;
④是两两互斥的事件;
⑤的值不能确定,因为它与中空间哪一个发生有关
参考答案:
试题分析:;;因为,所以事件B与事件A1不独立;A1,A2,A3是两两互斥的事件;综上选②④
考点:互斥事件,事件独立
13. 欧阳修《卖油翁》中写到:(翁)乃取一葫芦置于地,以钱覆其口,徐以杓酌滴沥之,,自钱孔人,而钱不湿,可见“行行出状元”,卖油翁的技艺让人叹为观止.若铜钱是宣径为4 cm的圆,中间有边长为l cm的正方形孔,若随机向铜钱上滴一滴油,则油(油滴是直径为0.2 cm的球)正好落人孔中的概率是 .
参考答案:
14. 已知向量a=(cos θ,sin θ,1),b=(,-1,2),则|2a-b|的最大值为________.
参考答案:
4
略
15. 方程的根称为的不动点,若函数有唯一的不动点,且,,则_____________。
参考答案:
2004
令 得
依题意
∴ 即 ∴
∴是以1000为首次,为公差的等差数列。
即 ∴
16. 双曲线C:x2﹣4y2=1的渐近线方程是 ,双曲线C的离心率是 .
参考答案:
y=±x;
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】将双曲线的方程化为标准方程,求得a,b,c,即可得到所求渐近线方程和离心率.
【解答】解:双曲线C:x2﹣4y2=1,
即为﹣=1,
可得a=1,b=,c==,
可得渐近线方程为y=±x;
离心率e==.
故答案为:y=±x;.
【点评】本题考查双曲线的方程和性质,主要是渐近线方程和离心率的求法,属于基础题.
17. 二项式(x2﹣)6展开式中的x3项的系数为 _________ .(用数字作答)
参考答案:
-160
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分14分)
已知关于x,y的方程C:.
(1)当m为何值时,方程C表示圆。
(2)若圆C与直线l:x+2y-4=0相交于M,N两点,且MN=,求m的值。
参考答案:
(1)方程C可化为 ………………2
显然 时方程C表示圆。………………5
(2)圆的方程化为
圆心 C(1,2),半径 ………………………………8
则圆心C(1,2)到直线l:x+2y-4=0的距离为
………………………………………………10
,有
得 …………………………14
19. (本小题8分)已知抛物线的顶点在原点,焦点在x轴上且经过点(--2,4).
(I)求抛物线的方程;
(II)求抛物线被直线2x+y+8=0所截得的弦长
参考答案:
20. 一个圆切直线于点,且圆心在直线上,求该圆的方程.
参考答案:
略
21. 已知、、分别是的三个内角、、所对的边.
(I)若面积求、的值;
(Ⅱ)若,且,试判断的形状.
参考答案:
略
22. 已知△的两个顶点的坐标分别是,,
且所在直线的斜率之积等于.
(1)求顶点的轨迹的方程,并判断轨迹为何种圆锥曲线;
(2)当时,过点的直线交曲线于两点,设点关于轴的对称点为(不重合), 试问:直线与轴的交点是否是定点?若是,求出定点,若不是,请说明理由.
参考答案:
(1)由题知:
化简得: …………………………………………2分
当时 轨迹表示焦点在轴上的椭圆,且除去两点;
当时 轨迹表示以为圆心半径是1的圆,且除去两点;
当时 轨迹表示焦点在轴上的椭圆,且除去两点;
当时 轨迹表示焦点在轴上的双曲线,且除去两点;……6分
(2)设
依题直线的斜率存在且不为零,则可设:,
代入整理得
,, …………………………………………9分
又因为不重合,则
的方程为 令,
得
故直线过定点. …………………………………………14分
解二:设
依题直线的斜率存在且不为零,可设:
代入整理得:
,, …………………………………………9分
的方程为 令,
得
直线过定点 …………………………………………………………14分
略
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