2022年湖南省岳阳市普通高校对口单招高等数学一自考真题(含答案及部分解析)

2022年湖南省岳阳市普通高校对口单招高等数学一自考真题(含答案及部分解析) 学校:________ 班级:________ 姓名:________ 考号:________ 一、单选题(20题) 1.A.收敛 B.发散 C.收敛且和为零 D.可能收敛也可能发散 2. 设y=2x3，则dy=( )． A.2x2dx B.6x2dx C.3x2dx D.x2dx 3.A.-2(1-x2)2+C B.2(1-x2)2+C C. D. 4.  5. 6.A.-1 B.0 C. D.1 7. 8.下列关系式中正确的有( )。 A. B. C. D. 9. A. B. C. D. 10.微分方程y''-7y'+12y=0的通解为（） A.y=C1e3x+C2e-4x B.y=C1e-3x+C2e4x C.y=C1e3x+C2e4x D.y=C1e-3x+C2e-4x 11. A.e-1dx B.-e-1dx C.(1+e-1)dx D.(1-e-1)dx 12. A.A.lnx+C B.-lnx+C C.f(lnx)+C D.-f(lnx)+C 13. 14.f(x)是可积的偶函数，则是( )。 A.偶函数 B.奇函数 C.非奇非偶 D.可奇可偶 15.A. B. C. D. 16. 设f(x)=1-cos2x，g(x)=x2，则当x→0时，比较无穷小量f(x)与g(x)，有 A.f(x)对于g(x)是高阶的无穷小量 B.f(x)对于g(x)是低阶的无穷小量 C.f(x)与g(x)为同阶无穷小量，但非等价无穷小量 D.f(x)与g(x)为等价无穷小量 17.下列反常积分收敛的是（）。 A. B. C. D. 18.  19. 在空间直角坐标系中，方程2+3y2+3x2=1表示的曲面是( )． A.球面 B.柱面 C.锥面 D.椭球面 20. A.exln2 B.e2xln2 C.ex+ln2 D.e2x+ln2 二、填空题(20题) 21. 22. 23. 24.将积分改变积分顺序，则I=______. 25.  26.  27. 28. 29. 30. 31.∫(x2-1)dx=________。 32.______。 33. 34.交换二重积分次序=______． 35. 36.  37.  38. 39. 40.函数y=cosx在[0，2π]上满足罗尔定理，则ξ=______. 三、计算题(20题) 41.  42.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点． 43.证明： 44. 45.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0． 46. 47. 48. 求微分方程的通解． 49.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为 S(x)． (1)写出S(x)的表达式； (2)求S(x)的最大值． 50.  51. 求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值． 52. 53.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解． 54.当x一0时f(x)与sin 2x是等价无穷小量，则 55. 将f(x)=e-2X展开为x的幂级数． 56.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度 u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m． 57. 求曲线在点(1，3)处的切线方程． 58.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几? 59.  60. 求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程． 四、解答题(10题) 61.求，其中区域D是由曲线y=1+x2与y=0，x=0，x=1所围成． 62. 63. (本题满分8分)  64.求函数y=xex的极小值点与极小值。 65. 66. 67.  68. 69. 70. 五、高等数学(0题) 71.当x→0时，tan2x是( )。 A.比sin3x高阶的无穷小 B.比sin3x低阶的无穷小 C.与sin3x同阶的无穷小 D.与sin3x等价的无穷小 六、解答题(0题) 72.  参考答案 1.D 2.B 由微分基本公式及四则运算法则可求得．也可以利用dy=y′dx求得故选B． 3.C 4.C解析： 5.C 6.C 7.A 8.B 本题考查的知识点为定积分的性质． 由于x，x2都为连续函数，因此与都存在。 又由于 0＜x＜1时，x＞x2，因此 可知应选B。 9.C 10.C 因方程：y''-7y'+12y=0的特征方程为r2-7r+12=0,于是有特征根r1=3，r2=4，故微分方程的通解为：y=C1e3x+C2e4x 11.D 本题考查了函数的微分的知识点。 12.C 13.C 14.B f(x)是可积的偶函数；设令t=-u,是奇函数。 15.C据右端的二次积分可得积分区域D为选项中显然没有这个结果，于是须将该区域D用另一种不等式（X-型）表示.故D又可表示为 16.C 17.D 18.A解析： 19.D对照标准二次曲面的方程可知x2+3y2+3x2=1表示椭球面，故选D． 20.B本题考查了一阶线性齐次方程的知识点。 因f'(x)=f(x)·2,即y'=2y,此为常系数一阶线性齐次方程,其特征根为r=2,所以其通解为y=Ce2x,又当x=0时，f(0)=ln2,所以C=In2,故f(x)=e2xln2. 注:方程y'=2y求解时也可用变量分离. 21. 22. 23.(－1，1)。 本题考查的知识点为求幂级数的收敛区间。 所给级数为不缺项情形。 (－1，1)。 注《纲》中指出，收敛区间为(－R，R)，不包括端点。 本题一些考生填1，这是误将收敛区间看作收敛半径，多数是由于考试时过于紧张而导致的错误。 24. 25. 解析： 26.1 27. 本题考查的知识点为二重积分的计算． 28. 解析： 29.1 30. 31. 32.本题考查的知识点为极限运算。 所求极限的表达式为分式，其分母的极限不为零。 因此 33. 34. 本题考查的知识点为交换二重积分次序． 积分区域D：0≤x≤1，x2≤y≤x 积分区域D也可以表示为0≤y≤1，y≤x≤，因此 35. 本题考查的知识点为不定积分的凑微分法． 36. 解析： 37.f(x)+Cf(x)+C 解析： 38. 39. 40.π 41. 42. 列表： 说明 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 则 51. 函数的定义域为 注意 52. 53.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0， 54.由等价无穷小量的定义可知 55. 56.由二重积分物理意义知 57.曲线方程为，点(1，3)在曲线上． 因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0． 如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点 (x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为 58.需求规律为Q=100ep-2.25p ∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p, ∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％ 59. 由一阶线性微分方程通解公式有 60. 61.积分区域D如图1-4所示。 D可以表示为 0≤x≤1，0≤y≤1+x2 本题考查的知识点为计算二重积分，选择积分次序。 如果将二重积分化为先对x后对y的积分，将变得复杂，因此考生应该学会选择合适的积分次序。 62. 63. 本题考查的知识点为求解－阶线性微分方程． 所给方程为－阶线性微分方程 64. 65. 66.本题考查的知识点为参数方程形式的函数的求导． 67. 68. 69. 70. 71.C ∴tan2x与sin3x同阶无穷小。 72.