北京兴寿中学高一数学理期末试题含解析

北京兴寿中学高一数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 对“小康县”的经济评价标准：  ①年人均收入不小于7000元； ②年人均食品支出不大于年人均收入的35%.某县有40万人口，调查数据如下： 年人均收入(元) 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 16000 人数(万人) 6 3 5 5 6 7 5 3   则该县(     ) A．是小康县 B．达到标准①，未达到标准②，不是小康县 C．达到标准②，未达到标准①，不是小康县 D．两个标准都未达到，不是小康县 参考答案： B 2. 终边落在直线上的角的集合为（    ） A. B. C. D. 参考答案： B 【分析】 先在求出符合条件角，然后利用周期写出符合条件的角的集合。 【详解】由于角的终边是一条射线，所以当角的终边落在直线，且在 内的角为， ，则终边落在直线上的角为  , 即终边落在直线上的角的集合为。 【点睛】本题考查终边相同的角的表示。本题要注意角的终边是一条射线，所以本题有两种情况，即角的终边落在一或三象限。 3. 函数是定义在R上的奇函数，当x>0时，，则当x<0时，等于     A、-x+l    B、-x-1    C、x+l    D、x-l 参考答案： B 4. α是第四象限角，cosα=，则sinα=（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【分析】根据同角的三角函数之间的关系sin2+cos2α=1，得到余弦的值，又由角在第四象限，确定符号． 【解答】解：∵α是第四象限角， ∴sinα=， 故选B． 【点评】已知某角的一个三角函数值，求该角的其它三角函数值，应用平方关系、倒数关系、商的关系，这是三角函数计算题中较简单的，容易出错的一点是角的范围不确定时，要讨论． 5. 已知数列对于任意，有，若，则等于                                                          （      ） A．8  　　　    　B．9           C．10  　　　   　D．11   参考答案： C 略 6. 将函数y＝sin2x＋cos2x的图象向左平移个单位，所得图象的解析式是（    ） A．y＝cos2x＋sin2x  B．y＝cos2x－sin2x    C．y＝sin2x－cos2x  D．y＝cosxsinx 参考答案： B 略 7. 设则在同一坐标系中函数的图象是（    ） ---- 参考答案： C 略 8. 已知集合A={1，16，4x}，B={1，x2}，若B?A，则x=（　　） A．0 B．﹣4 C．0或﹣4 D．0或±4 参考答案： C 【分析】根据集合的包含关系与集合元素的互异性进行判断． 【解答】解：∵A={1，16，4x}，B={1，x2}，若B?A，则x2=16或x2=4x，则x=﹣4，0，4． 又当x=4时，4x=16，A集合出现重复元素，因此x=0或﹣4． 故答案选：C． 【点评】本题考查集合中子集的概念与集合中元素的互异性 9. 如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且AB//CD，正方体的六个面所在的平面与直线ED、EF相交的平面个数分别记为m, n，那么m+n=(   ) A. 8          B. 9            C. 10              D. 11 参考答案： A 10. 已知数列{an}中，前n项和为Sn，且点在直线上，则=（   ） A. B. C. D. 参考答案： C 试题分析：点在一次函数上的图象上，，数列为等差数列，其中首项为，公差为，，数列的前项和，，．故选D． 考点：1、等差数列；2、数列求和． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 圆（）与圆相内切 ，则a的值为 参考答案： 6 略 12. 的值是      ． 参考答案：   略 13. 直线，和交于一点，则的值是           . 参考答案： 14. 定义在上的奇函数单调递减，则不等式的解集为__________． 参考答案： ∵是上的奇函数，且单调递减； ∴由得： ； ∴； 解得； ∴原不等式的解集为． 故答案为：． 15. 已知函数 则             .   ks5u 参考答案： 16. 定义在上的奇函数在上的图象如右图所示， 则不等式的解集是                . 参考答案：   略 17. 设函数f（lgx）的定义域为[0.1，100]，则函数f（）的定义域为　　． 参考答案： [﹣2，4] 【考点】对数函数的定义域． 【分析】先由函数f（lgx）的定义域求出函数f（x）的定义域，然后求得函数f（）的定义域． 【解答】解：因为函数f（lgx）的定义域为[0.1，100]，由0.1≤x≤100，得：﹣1≤lgx≤2，所以函数f（x）的定义域为[﹣1，2]， 再由，得：﹣2≤x≤4， 所以函数f（）的定义域为[﹣2，4]． 故答案为[﹣2，4]． 【点评】本题考查了对数函数的定义域，考查了复合函数定义域的求法，给出了函数f（x）的定义域为[a，b]，求函数f[g（x）]的定义域，让g（x）∈[a，b]，求解x即可， 给出了f[g（x）]的定义域，求函数f（x）的定义域，就是求函数g（x）的值域，此题是基础题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分） 已知函数 （I）求函数的定义域并判断其奇偶性; （II）求使成立的x的取值范围。 参考答案： 19. 一个盒子中装有张卡片，每张卡片上写有个数字，数字分别是、、、．现从盒子中随机抽取卡片． （I）若一次抽取张卡片，求张卡片上数字之和大于的概率； （II）若第一次抽张卡片，放回后再抽取张卡片，求两次抽取中至少一次抽到数字的概率. 参考答案： 解： （1）设表示事件“抽取张卡片上的数字之和大于”， 任取三张卡片，三张卡片上的数字全部可能的结果是，，，．其中数字之和大于的是，， 所以． （2）设表示事件“至少一次抽到”， 第一次抽1张，放回后再抽取一张卡片的基本结果有：，共个基本结果． 事件包含的基本结果有，共个基本结果． 所以所求事件的概率为． 20. 已知数列{an}满足：a1=1，an=an﹣1+n，（n≥2，n∈N*）． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设bn=，求数列{bn}的前n项和Sn． 参考答案： 考点：数列的求和；数列递推式． 专题：计算题；点列、递归数列与数学归纳法． 分析：（Ⅰ）由已知，得an﹣an﹣1=n（n≥2，n∈N*），利用累加法求通项公式 （Ⅱ），利用裂项求和法求数列{bn}的前n项和Sn 解答： 解：（Ⅰ）an﹣an﹣1=n（n≥2，n∈N*） ∴an=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（an﹣an﹣1）= 当n=1时满足上式，∴．  __________ （Ⅱ） ∴Sn=b1+b2+…+bn = = 点评：本题考查累加法，裂项法在数列计算中的应用，考查计算能力． 21. （15分）设定义域为R的奇函数f(x)=（a为实数）． （Ⅰ）求a的值； （Ⅱ）判断f（x）的单调性（不必证明），并求出f（x）的值域； （Ⅲ）若对任意的x∈[1，4]，不等式f（k﹣）+f（2﹣x）＞0恒成立，求实数k的取值范围． 参考答案： 【考点】函数恒成立问题；奇偶性与单调性的综合． 【分析】（Ⅰ）由f（0）=0，可求得a的值； （Ⅱ）可判断f（x）在R上单调递减，由可求得的值域； （Ⅲ）由任意的x∈[1，4]，不等式f（k﹣）+f（2﹣x）＞0恒成立可得，构造函数令，利用”对勾“函数的性质可求得gmin（x），从而可求得实数k的取值范围． 【解答】（本题满分15分） 解：（Ⅰ）因为f（x）是R上的奇函数，所以f（0）=0，从而a=1，此时，经检验，f（x）为奇函数，所以a=1满足题意．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ （Ⅱ） 由（Ⅰ）知， 所以f（x）在R上单调递减，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 由2x＞0知2x+1＞1，所以，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分） 故得f（x）的值域为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分） （Ⅲ）因为f（x）为奇函数，故由得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分） 又由（Ⅱ）知f（x）为减函数，故得，即．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分） 令，则依题只需k＜gmin（x）． 由”对勾“函数的性质可知g（x）在上递减，在上递增，所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分） 故k的取值范围是．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（15分） 【点评】本题考查函数恒成立问题，考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，考查构造函数思想与等价转化思想的运用，属于难题． 22. 已知函数，且，f（0）=0 （1）求函数f（x）的解析式； （2）求函数f（x）的值域； （3）求证：方程f（x）=lnx至少有一根在区间（1，3）． 参考答案： 【考点】函数解析式的求解及常用方法；根的存在性及根的个数判断． 【专题】综合题；转化思想；待定系数法；函数的性质及应用． 【分析】（1）根据f（1）和f（0）列方程，求出a，b； （2）由y=，分离2x=＞0，求得值域； （3）构造函数g（x）=f（x）﹣lnx，运用函数零点存在定理，确定函数在（1，3）存在零点． 【解答】解：（1）由已知可得，， 解得，a=1，b=﹣1，所以，； （2）∵y=f（x）=，∴分离2x得，2x=， 由2x＞0，解得y∈（﹣1，1）， 所以，函数f（x）的值域为（﹣1，1）； （3）令g（x）=f（x）﹣lnx=﹣lnx，因为， g（1）=f（1）﹣ln1=＞0， g（3）=f（3）﹣ln3=﹣ln3＜0， 根据零点存在定理，函数g（x）至少有一零点在区间（1，3）， 因此，方程f（x）﹣lnx=0至少有一根在区间（1，3）上． 【点评】本题主要考查了函数解析式的求法，函数值域的求法，以及方程根的存在性及根的个数判断，属于中档题．