北京平谷县韩庄中学高二数学理月考试卷含解析

北京平谷县韩庄中学高二数学理月考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在中，，则A等于(    　) A.            B.           C.            D. 参考答案： A 2. 已知梯形CEPD如图（1）所示，其中PD=8，CE=6，A为线段PD的中点，四边形ABCD为正方形，现沿AB进行折叠，使得平面PABE⊥平面ABCD，得到如图（2）所示的几何体．已知当点F满足=（0＜λ＜1）时，平面DEF⊥平面PCE，则λ的值为（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】平面与平面垂直的性质． 【分析】以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角从标系，利用向量法能求出λ的值． 【解答】解：由题意，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系， 则D（0，4，0），E（4，0，2），C（4，4，0），P（0，0，4），A（0，0，0），B（4，0，0）， 设F（t，0，0），0≤t≤4， =（0＜λ＜1）， 则（t，0，0）=（4λ，0，0），∴t=4λ，∴F（4λ，0，0）， =（4，﹣4，2），=（4λ，﹣4，0），=（4，4，﹣4），=（4，0，﹣2）， 设平面DEF的法向量=（x，y，z）， 则，取x=1，得=（1，λ，2λ﹣2）， 设平面PCE的法向量=（a，b，c）， 则，取a=1，得=（1，1，2）， ∵平面DEF⊥平面PCE， ∴=1+λ+2（2λ﹣2）=0，解得． 故选：C． 3. 有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位），则该几何体的表面积及体积为：     A． ，                   B． ，     C． ，                   D． 以上都不正确            参考答案： A 4. 双曲线-=1的焦点坐标为 （    ） A. （） （）             B. （） （）   C. （-5,0）    （5,0）                D. （0，-5）    （0,5） 参考答案： A 5. 下列条件能判断一定为钝角三角形的是 ①； ②； ③，，； ④． A．①②　　　　　B．②③　　　　　C．①④　　　　　D．③④ 参考答案： C 6. 通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：   男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110 由计算出． 0．050 0．010 0．001 3．841 6．635 10．828   并参照附表，得到的正确结论是（ ） A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” C．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” D．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 参考答案： A 7. 二项式（a﹣）9展开式中，a3项的系数为（　　） A．﹣ B． C．﹣ D． 参考答案： C 【考点】DB：二项式系数的性质． 【分析】利用通项公式即可得出． 【解答】解：通项公式Tr+1=a9﹣r=a9﹣2r， 令9﹣2r=3，解得r=3． ∴T4=a3=﹣a3． ∴a3项的系数为﹣． 故选：C． 8. 设等比数列{an}的公比为 ，且 ， 为数列{an} 前n项和，记 ，则(     ) （A）         （B）       （C）         （D） 参考答案： D 9. 命题p：x∈R， 的否定是                             (     ) A．           B．         C．            D．   参考答案： B 10. 已知a＞0，函数f（x）=x3﹣ax在[1，+∞）上是单调增函数，则a的最大值是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 参考答案： D 【考点】利用导数研究函数的单调性． 【分析】由题意a＞0，函数f（x）=x3﹣ax，首先求出函数的导数，然后根据导数与函数单调性的关系进行判断． 【解答】解：由题意得f′（x）=3x2﹣a， ∵函数f（x）=x3﹣ax在[1，+∞）上是单调增函数， ∴在[1，+∞）上，f′（x）≥0恒成立， 即a≤3x2在[1，+∞）上恒成立， ∴a≤3， 故选：D． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0)，c在R增函数，则a，b，c的关系式为是    .  参考答案： b2－3ac≤0 12. 抛物线的焦点到准线的距离是        ． 参考答案： 13. 命题的否定为　　　　　　　　 参考答案： 14. 圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0关于直线l1：x－y＋4＝0与直线l2：x＋3y＝0都对称，则D＝________，E＝________. 参考答案： 15. 双曲线的渐近线方程为y=，则双曲线的离心率为________ 参考答案： 16. 下列推理是归纳推理的是        。 （1）．由三角形的性质推理出三棱锥的有关性质。（2）．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式 （3）．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜出椭圆x2 / a2＋y2/b2＝1的面积S＝πab （4）．A，B为定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，得P的轨迹为椭圆。 参考答案： （2） 17. 设为等比数列的前项和，已知，则公比 参考答案： 4 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (本小题共12分) 把边长为a的等边三角形铁皮剪去三个相同的四边形（如图阴影部分）后,用剩余部分做成一个无盖的正三棱柱形容器(不计接缝)，设容器的高为x，容积为. （Ⅰ）写出函数的解析式，并求出函数的定义域； （Ⅱ）求当x为多少时，容器的容积最大？并求出最大容积. 参考答案： 解：（Ⅰ）因为容器的高为x，则做成的正三棱柱形容器的底边长为----1分. 则   .  -------------------------3分 函数的定义域为.    ------------------------- 5分 （Ⅱ）实际问题归结为求函数在区间上的最大值点. 先求的极值点. 在开区间内，--------------------7分 令，即令，解得. 因为在区间内，可能是极值点. 当时，； 当时，.                 ------------------9分 因此是极大值点，且在区间内，是唯一的极值点，所以是的最大值点，并且最大值    即当正三棱柱形容器高为时，容器的容积最大为.----------12分 略 19. 我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图． （Ⅰ）求直方图中a的值； （Ⅱ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由； （Ⅲ）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明理由． 参考答案： 【考点】用样本的数字特征估计总体的数字特征；频率分布直方图． 【分析】（Ⅰ）根据各组的累积频率为1，构造方程，可得a值； （Ⅱ）由图可得月均用水量不低于3吨的频率，进而可估算出月均用水量不低于3吨的人数； （Ⅲ）由图可得月均用水量低于2.5吨的频率及月均用水量低于3吨的频率，进而可得x值． 【解答】解：（Ⅰ）∵0.5×（0.08+0.16+0.4+0.52+0.12+0.08+0.04+2a）=1， ∴a=0.3； （Ⅱ）由图可得月均用水量不低于3吨的频率为：0.5×（0.12+0.08+0.04）=0.12， 由30×0.12=3.6得：全市居民中月均用水量不低于3吨的人数约为3.6万； （Ⅲ）由图可得月均用水量低于2.5吨的频率为：0.5×（0.08+0.16+0.3+0.4+0.52）=0.73＜85%； 月均用水量低于3吨的频率为：0.5×（0.08+0.16+0.3+0.4+0.52+0.3）=0.88＞85%； 则x=2.5+0.5×=2.9吨 20. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）设，证明：只有一个极值点，且. 参考答案： (1) 增区间，减区间为.(2)见解析. 【分析】 （1）求得，解不等式即可得解。 （2）记，求得，再求导数可得：，即可判断在上单调递增，结合即可判断：在区间存在唯一一个，使得，即可证得只有一个极值点，由可化简，结合即可证明，问题得解。 【详解】（1）由题可得：， 即，即 所以的增区间为，减区间为 （2）， ，，显然 即在上单调递增 在区间存在唯一一个，使得 即在区间上，，为减函数 在区间上，，为增函数 只有一个极小值点 在区间上存在唯一一个使得 即， 当时， 【点睛】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性及利用导数判断函数的零点个数，还考查了转化能力及计算能力，属于难题。 21. (本小题满分14分)运行如图所示的程序框图，将输出的依次记作输出的依次记作 ；输出的依次记作（） （1）求数列的通项公式； （2）求 的值 （3）求证： 参考答案： （1）由题意知： ……………………4分 （2）由题意， 当时， 此时，   当时， 综上， …………………………9分 （3）当时， 此时， 当时，由（2）知又 即要证明的不等式转化为证明： 即证明 （注：忽略的情形将之转化为的本小问0分） 又 综上，成立.  ……………………14分 22. 已知函数f（x）=x2﹣2ax+1（a∈R）． （1）当a=2时，求f（x）在x∈[1，4]上的最值； （2）当x∈[1，4]时，不等式f（x）≥x﹣3恒成立，求a的取值集合． 参考答案： 【考点】3R：函数恒成立问题；3W：二次函数的性质． 【分析】（1）通过当a=2时，求出f（x）的对称轴为x，然后利用二次函数的性质求解最小值与最大值即可． （2）当x∈[1，4]时，不等式f（x）≥x﹣3恒成立，转化为x2﹣2ax﹣x+4≥0，分离变量，利用函数的单调性求解函数的最值即可． 【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=x2﹣4x+1的对称轴为x=2∈[1，4]， 当x=2时f（x）min=f（2）=﹣3；… 当x=4时f（x）max=f（4）=1；… （2）当x∈[1，4]时，不等式f（x）≥x﹣3恒成立，∵f（x）≥x﹣3?x2﹣2ax﹣x+4≥0， ∵x∈[1，4]，∴x＞0，∴，… ∵在x∈[1，2]上递减，在x∈[2，4]上递增，∴x=2时取得最小值为4，… ∴，∴， 故a的取值集合为… 注：利用二次函数图象进行分类讨论，可参照上述予以分步给分即可．