山东省青岛市莱西朴木中学高三数学理上学期期末试卷含解析

山东省青岛市莱西朴木中学高三数学理上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在△ABC中，D是边BC的中点， =t（+），且?=，则△ABC的形状是（　　） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰（非等边）三角形 D．三边均不相等的三角形 参考答案： A 【考点】向量加减混合运算及其几何意义；平面向量数量积的运算． 【分析】由题意可知D在∠BAC的平分线上，故AB=AC，由夹角公式得到∠BAC=，问题得以解决． 【解答】解：由=t（+）知D在∠BAC的平分线上，故AB=AC， 由?==cos∠BAC，故∠BAC=， 故△ABC为等边三角形， 故选：A． 2. ， （   ）     A、         B、-            C、            D、- 参考答案： D 3. 某中学高一年级560人，高二年级540人，高三年级520人，用分层抽样的方法抽取部分样本，若从高一年级抽取28人，则从高二、高三年级分别抽取的人数是（    ） A. 27  26 B. 26  27 C. 26  28 D. 27  28 参考答案： A 【分析】 直接根据分层抽样的定义建立比例关系，从而可得到结论. 【详解】设从高二、高三年级抽取的人数分别为， 则满足，得，故选A. 【点睛】本题主要考查分层抽样的应用，属于基础题. 分层抽样适合总体中个体差异明显，层次清晰的抽样，其主要性质是每个层次，抽取的比例相同. 4. 已知i是虚数单位.若复数z满足，则z的共轭复数为 A. B. C. D. 参考答案： D 5. 种已知，则等于（   ） A．2                    B．0                C．             D． 参考答案： D 6. 已知复数，则它的共轭复数等于                       （    ）     A．2-i              B．2+i              C．-2+i             D．-2-i 参考答案： B 7. 已知对R，函数都满足，且当时，，则         （     ） 2,4,6   A．   B．   C．   D．  参考答案： D 8. 某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2日9时到14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时到12时的销售额为（   ） . 万元 ．万元 ．万元 ．万元 参考答案： C 设11时到12时的销售额为万元，依设有，选C 9. 已知且，函数在同一坐标系中的图象可能是 参考答案： C 略 10. 已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（   ）                                         参考答案： D 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11.   已知，则的值为__________． 参考答案： 12. 已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）单调递增，且f（1）=0，则不等式f（x﹣2）≥0的解集是　　． 参考答案： {x|x≥3或x≤1} 【考点】奇偶性与单调性的综合． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化，即可得到不等式的解集． 【解答】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，f（1）=0， ∴不等式f（x﹣2）≥0等价为f（|x﹣2|）≥f（1）， 即|x﹣2|≥1， 即x﹣2≥1或x﹣2≤﹣1， 即x≥3或x≤1， 故不等式的解集为{x|x≥3或x≤1}， 故答案为：{x|x≥3或x≤1}． 【点评】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用． 13. 设,则二项式展开式中的第4项为 _______. 参考答案： -1280 14. 设实数，满足约束条件，则目标函数的最大值为         . 参考答案： 4 略 15. 不等式ex≥kx对任意实数x恒成立，则实数k的最大值为　　． 参考答案： e 【考点】3R：函数恒成立问题． 【分析】由题意可得f（x）=ex﹣kx≥0恒成立，即有f（x）min≥0，求出f（x）的导数，求得单调区间，讨论k，可得最小值，解不等式可得k的最大值． 【解答】解：不等式ex≥kx对任意实数x恒成立，即为 f（x）=ex﹣kx≥0恒成立， 即有f（x）min≥0， 由f（x）的导数为f′（x）=ex﹣k， 当k≤0，ex＞0，可得f′（x）＞0恒成立，f（x）递增，无最大值； 当k＞0时，x＞lnk时f′（x）＞0，f（x）递增；x＜lnk时f′（x）＜0，f（x）递减． 即有x=lnk处取得最小值，且为k﹣klnk， 由k﹣klnk≥0，解得k≤e， 即k的最大值为e， 故答案为：e． 16. 曲线C上的点到F1（0，﹣1），F2（0，1）的距离之和为4，则曲线C的方程是　　． 参考答案： +=1 【考点】椭圆的标准方程． 【分析】首先根据题意得到此曲线是椭圆，再根据焦点的位置得到是焦点在y轴上的椭圆，结合题中的条件计算出a，b，c的数值即可得到答案． 【解答】解：由题意可得：曲线C上的点到F1（0，﹣1），F2（0，1）的距离之和为4， 所以结合椭圆的定义可得此曲线为椭圆． 因为焦点为F1（0，﹣1），F2（0，1），所以可得椭圆的焦点在y轴上． 并且a=2，c=1，所以b=3． 所以椭圆的方程为：． 故答案为：． 【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握曲线的定义，如椭圆、双曲线、抛物线的定义，解决问题时要注意焦点的位置． 17. 已知求      . 参考答案： 24 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数的定义域为，且，对，都有，数列满足， （Ⅰ）证明：，； （Ⅱ）若数列满足，求数列的通项公式； （Ⅲ）设，证明：当时，. （其中符号）   参考答案： 解析：（Ⅰ）证明：依题意且， 当时，，…………………………………………………………………2分 而, ∴ 又 ∴，即数列为递增数列，又,∴………………………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）有，所以， 又0 ∴数列是等比数列，且公比为2， ∴ ………………………………………8分 （Ⅲ）由（Ⅰ）知,数列为递增数列 ∴ 当且时， 当时， 当时，……………………………………………………14分   略 19. 如图，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是菱形，其对角线的交点为O，且. （1）求证：SO⊥平面ABCD； （2）设是侧棱SD上的一点，且SB∥平面APC，求三棱锥A-PCD的体积. 参考答案： （1）证明：底面是棱形，对角线， 又平面平面， 又为中点，平面. （2）连平面平面，平面平面， ，在三角形中，是的中点，是的中点，取的中点，连， 则底面，且， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，，， .   20. ,是方程的两根, 数列是公差为正的等差数列，数列的前项和为,且. (I)求数列,的通项公式; (II)记=,求数列的前项和. 参考答案： 解：(1)由韦达定理得且d＞0得 ，所以， 在中，令n=1，得，当n≥2时，，两式相减得得，所以； (2)因为， 所以，两式相减得，所以 略 21. 已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切． （I）求椭圆的方程； （II）若过点（2，0）的直线与椭圆相交于两点，设为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），当＜ 时，求实数的取值范围． 参考答案： 解：（1）由题意知， 所以．即．．． 2分 又因为，所以，．故椭圆的方程为．．．．．4分 （2）由题意知直线的斜率存在. 设：，，，， 由得. ，. ，.．．．．．．．．．．6分 ∵，∴，， . ∵点在椭圆上，∴，∴．．．．．．．．．．8分 ∵＜，∴，∴ ∴， ∴，∴.．．．．．．10分 ∴，∵，∴， ∴或，∴实数取值范围为. 12分  略 22. （本题满分14分）已知函数 （1）求的值； （2）已知数列,求证数列是等差数列； （3）已知，求数列的前n项和. 参考答案： 解:(1)因为. ------------２分 所以设S=…………（1）           S=. ………（2）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m          (1)+(2)得: =,     所以S=. ------------------------------5分 (2)由两边同减去1,得. ----------------７分 所以, 所以,是以2为公差以为首项的等差数列 （3）因为. 因为，所以        ------------------------------１２分 =         （3） =           （4） 由（3）-（4）得 == 所以=              -----------------------------１４分 略