山东省临沂市第十九中学2022-2023学年高三数学理联考试题含解析

山东省临沂市第十九中学2022-2023学年高三数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设，，，则（    ）       A.     B.     C.     D. 参考答案： D 略 2. 已知，则=（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】GH：同角三角函数基本关系的运用． 【分析】把已知等式化弦为切，求出tanα，然后展开两角和的正切得答案． 【解答】解：∵， ∴，解得tanα=﹣5， ∴=． 故选：D． 3. 已知点是椭圆上一点，且在轴上方，、分别是椭圆的左、右焦点，直线的斜率为，则的面积是（    ）    （A）     （B）       （C）      （D）   参考答案： C 4. 对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下表： x 2 4 5 6 8 y 20 40 60 70 80 根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为=10.5x+，据此模型来预测当x=20时，y的估计值为（　　） 　 A． 210 B． 210.5 C． 211.5 D． 212.5 参考答案： C 略 5. 函数在一个周期内的图象如右图，此函数的解析式为   (    )        A．      B．                               C．        D． 参考答案： A 略 6. 函数y＝log2sinx在x∈时的值域为(　) A．[－1,0]          B.          C．[0,1)           D．[0,1] 参考答案： B 7. 设函数的最大值为,最小值为,则的值为 、         、         、         、 参考答案： A 由已知， 令，易知为奇函数，由于奇函数在对称区间上的最大值与最小值和为， ，=，故选. 8. 函数部分图象如图所示，且，对不同的，若，有，则(     ) A.f(x)在上是减函数    B. f(x)在上是增函数              C. f(x)在上是减函数 D. f(x)在上增函数 参考答案： B 9. 设锐角的三内角、、所对边的边长分别为、、， 且 ，, 则的取值范围为 ………（  ）. ．   ．    ．  ． 参考答案： A 10. 直线和直线垂直，则实数的值为（    ）   A．1         B．0 C．2 D．-1或0 参考答案： D 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知函数对任意的，恒有.若对满足题设条件的任意b，c，不等式恒成立，则M的最小值为____. 参考答案： 略 12. 在△ABC中，AB=4，AC=6，且，则BC= ． 参考答案： 7 13. =_______________________. 参考答案： 【知识点】定积分．B13  【答案解析】 解析：（+2x）dx=[ln（x+1）+x2]=1+ln2； 故答案为：1+ln2． 【思路点拨】找出被积函数的原函数，然后代入上下限计算． 14. 下列有关命题的说法正确的是__________. A．命题“若，则”的否命题为：“若，则”． B．“” 是“”的必要不充分条件. C．命题“若，则”的逆否命题为真命题.    D．命题“使得”的否定是：“ 均有” 参考答案： C 略 15. 已知点A，B，C，D均在球O的球面上，AB=BC=1，AC=，若三棱锥D﹣ABC体积的最大值是，则球O的表面积为　　． 参考答案： π 考点： 球内接多面体． 专题： 计算题；空间位置关系与距离． 分析： 确定∠ABC=120°，S△ABC=，利用三棱锥D﹣ABC的体积的最大值为，可得D到平面ABC的最大距离，再利用射影定理，即可求出球的半径，即可求出球O的表面积． 解答： 解：设△ABC的外接圆的半径为r，则 ∵AB=BC=1，AC=，∴∠ABC=120°，S△ABC=， ∴2r==2 ∵三棱锥D﹣ABC的体积的最大值为， ∴D到平面ABC的最大距离为， 设球的半径为R，则12=×（2R﹣）， ∴R=， ∴球O的表面积为4πR2=π． 故答案为：π． 点评： 本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定D到平面ABC的最大距离是关键． 16. 已知命题“函数定义域为R”是假命题，则实数a的取值范围是         .    参考答案： 或 略 17. 已知双曲线的一个焦点为，且渐近线方程为y=±x，则该双曲线的标准方程为　　． 参考答案： ﹣=1 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】根据题意，由双曲线焦点的坐标分析可得其焦点在x轴上，且c=2，可以设其标准方程为：﹣=1，结合题意可得2+b2=20，①以及=，②，联立两个式解可得a2=16，b2=4，代入所设的标准方程中即可得答案． 【解答】解：根据题意，要求双曲线的一个焦点为，则其焦点在x轴上，且c=2， 可以设其标准方程为：﹣=1， 又由c=2，则a2+b2=20，① 其渐近线方程为y=±x，则有=，② 联立①、②可得：a2=16，b2=4， 故要求双曲线的方程为：﹣=1； 故答案为：﹣=1． 【点评】本题考查双曲线的标准方程的计算，可以用待定系数法分析． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数f（x）=ax﹣1﹣lnx （Ⅰ） 若f（x）≥0对任意的x∈（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围； （Ⅱ） 求证：对任意的（e为自然对数的底数．e≈2.71828） 参考答案： 【考点】函数恒成立问题． 【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用． 【分析】（Ⅰ）运用参数分离可得，令，求出导数，求得单调区间和极值、最值，即可得到a的范围； （Ⅱ）由（Ⅰ）知a=1时，lnx≤x﹣1，则ln（1+x）≤x（当x=0时等号成立），令，得，再令i=1，2，…n，并累乘，即可得证． 【解答】解：（Ⅰ）因为函数定义域为（0，+∞）， 所以ax﹣1﹣lnx≥0即， 令，由得x=1， x （0，1） （1，+∞） g'（x） + ﹣ g（x） ↑ ↓ 因此g（x）max=g（1）=1，所以a≥1； （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知a=1时，ax﹣1﹣lnx≥0，即lnx≤x﹣1， 则ln（1+x）≤x（当x=0时等号成立）， 令，得， 即， 取i=1，2，…n，并累乘得， 所以（n+1）n＜n!en，即． 【点评】本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和运用导数求得最值，同时考查不等式的证明，注意运用构造函数和累乘法，属于中档题． 19. （本小题满分10分） 已知函数 （Ⅰ）将写成的形式，并求其图象对称中心的横坐标； （Ⅱ）如果△ABC的三边，，满足，且边所对的角为，试求角的范围及函数的值域． 参考答案： 解：（Ⅰ）                  若为其图象对称中心的横坐标，即             所以       解得： 即对称中心的横坐标为．                           …5分 （Ⅱ）                     即，而，所以．                                                  所以函数的值域为．                          …10分 略 20. 已知正三棱柱ABC—A1B1C1的底边长为1，高为h(h>3)，点M在侧棱BB1上移动，到底面ABC的距离为x， 且AM与侧面BCC1所成的角为α；    （Ⅰ）若α在区间上变化，求x的变化范围；    （Ⅱ）若所成的角.                     参考答案： 解析：（I）设BC的中点为D，连结AD、DM，在正△ABC中，易知AD⊥BC，又侧面BCC1与底面ABC互相垂直，∴AD⊥平面BCC1，即∠AMD为AM与侧面BCC1所成的角，∴∠AMD=α，     ∴在Rt△ADM中，cosAMD=  依题意BM即为点B到度面ABC的距离，     ∴BM=x，且， 由已知 即x的变化范围是；    （II）       21. 已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn=2an﹣2． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn=log2an，cn=，记数列{cn}的前n项和Tn，若对n∈N*，Tn≤k（n+4）恒成立，求实数k的取值范围． 参考答案： 【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（1）当n=1时，a1=S1，解得a1．当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，再利用等比数列的通项公式即可得出． （2）利用对数的运算性质可得bn，利用cn==．利用“裂项求和”即可得出：数列{cn}的前n项和Tn=．由于对n∈N*，Tn≤k（n+4）恒成立，可得，化为=，利用基本不等式的性质即可得出． 【解答】解：（1）当n=1时，a1=S1=2a1﹣2，解得a1=2． 当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2﹣（2an﹣1﹣2）=2an﹣2an﹣1， 化为an=2an﹣1， ∴数列{an}是以2为公比的等比数列， ∴． （2）∵bn=log2an==n， ∴cn==． ∴数列{cn}的前n项和Tn=+…+==． ∵对n∈N*，Tn≤k（n+4）恒成立， ∴，化为=． ∵n++5=9，当且仅当n=2时取等号． ∴， ∴． ∴实数k的取值范围是． 22. 如图所示，在三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，，，D、E分别为线段AB、BC上的点，且，. （Ⅰ）求证：DE⊥平面PCD； （Ⅱ）求二面角的余弦值. 参考答案： .(Ⅰ)证明：由平面，平面，故 由，得为等腰直角三角形，故 又，故平面． (Ⅱ) 由(Ⅰ)知，为等腰直角三角形， 过作垂直于，易知又已知，故 以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，则 则有，．           设平面的法向量为，则有 ，可取； 因为平面，所以平面的法向量可取． 则． 而二面角为锐二面角，故其余弦值为．