2022-2023学年安徽省滁州市三圣中学高三数学理模拟试题含解析

2022-2023学年安徽省滁州市三圣中学高三数学理模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知命题p：，，则是（） A. ， B. ， C. ， D. ， 参考答案： D 【分析】 根据全称命题的否定方法，结合已知中的原命题，可得答案． 【详解】∵命题p：?x＞0，总有lgx＞0， ∴命题?p为：?x0＞0，使得lgx0≤0， 故选：D． 【点睛】本题考查了命题的否定，考查了推理能力，属于基础题． 2. 函数在区间内的零点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 参考答案： B 3. 如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线条画出的图形为某几何体的三视图，则该几何体的外接球表面积为 A. 3π B. 12π C. 18π D. 27π 参考答案： D 【分析】 根据三视图还原出几何体，结合几何体的特征求出其外接球的表面积. 【详解】根据三视图还原成几何体如图， 它是从一个四棱锥截下的部分,四棱锥如图， 结合三视图中的数据可知，其外接球半径为,故外接球的表面积为,故选D. 【点睛】本题主要考查三视图的识别，利用三视图还原几何体时，要注意数据的对号入座.侧重考查直观想象的核心素养. 4. 函数y=loga（x+3）﹣1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上（其中m，n＞0），则4m+2n的值等于(     ) A．4 B．3 C．2 D．1 参考答案： C 【考点】直线的一般式方程；对数函数图象与性质的综合应用． 【专题】计算题． 【分析】由对数函数的特点可得点A的坐标，代入直线方程可得2m+n=1，进而可得4m+2n的值． 【解答】解：由题意当x=﹣2时，无论a为何值，总有y=﹣1 即点A的坐标为（﹣2，﹣1），又点A在直线mx+ny+1=0上， 所以﹣2m﹣n+1=0，即2m+n=1， 故4m+2n=2（2m+n）=2 故选C 【点评】本题为对数函数过定点的问题，准确找到定点是解决问题的关键，属基础题． 5. 已知是的重心，过点作直线与，交于点，且，，，则的最小值是(    ) A. B. C. D. 参考答案： D 6. 函数的最小正周期为，   若其图象向右平移个单位后关于y轴对称，则   (A)            (B)      (C)            (D) 参考答案： B 略 7. 已知集合，则 A．(2，6)      B． (2，7)       C．(－3，2]      D．(－3，2) 参考答案： C 8. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则△ABC的面积的最大值是（   ） A. B. C. D. 4 参考答案： B 【分析】 由，根据三角形内角和定理，结合诱导公式可得，再由正弦定理可得，从而由余弦定理求得，再利用基本不等式可得，由三角形面积公式可得结果. 【详解】，且， ， 由正弦定理可得， 由余弦定理可得， ， 又，即， ， 即最大面积为，故选B. 【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理以及基本不等式的应用，属于难题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用. 9. 不等式的解集是                                      （    ） A．                              B． (2,)         C．                                           D． 参考答案： 答案：A 10. 已知在[0，1]内有且只有一个根在区间[0，2013]内根的个数为(     )        A．2011                       B．1006                       C．2013                      D．1007 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若圆，关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点（a，b）向圆所作的切线长的最小值为       . 参考答案： ,圆心坐标为，代入直线得： ，即点在直线:，过作的垂线，垂 足设为，则过作圆的切线，切点设为，则切线长最短，于是有， ，∴由勾股定理得：. 12. 直线l：（t为参数）与圆C：（θ为参数）相交所得的弦长的取值范围是　　． 参考答案： [4，16] 【考点】参数方程化成普通方程． 【专题】直线与圆；坐标系和参数方程． 【分析】把直线与圆的参数方程化为普通方程，画出图形，结合图形，求出直线被圆截得的弦长的最大值与最小值即可． 【解答】解：直线l：（t为参数）， 化为普通方程是=， 即y=tanα?x+1； 圆C的参数方程（θ为参数）， 化为普通方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2=64； 画出图形，如图所示； ∵直线过定点（0，1）， ∴直线被圆截得的弦长的最大值是2r=16， 最小值是2=2×=2×=4 ∴弦长的取值范围是[4，16]． 故答案为：[4，16]． 【点评】本题考查了直线与圆的参数方程的应用问题，解题时先把参数方程化为普通方程，再画出图形，数形结合，容易解答本题． 13. 某中学共有学生2800人，其中高一年级970人，高二年级930人，高三年级900人，现采用分层抽样的方法，抽取280人进行体育达标检测，则抽取高二年级学生人数为　    　． 参考答案： 93 【考点】分层抽样方法． 【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系进行求解即可． 【解答】解：抽取280人进行体育达标检测，则抽取高二年级学生人数为人， 故答案为：93 14. =              ． 参考答案： 2 略 15. 已知幂函数f（x）=k?xα的图象过点（，），则k+α=           ． 参考答案： 【考点】幂函数的图像． 【专题】计算题． 【分析】根据幂函数系数为1，可以求出k的值，又由幂函数f（x）=k?xα的图象过点（，），我们将点的坐标代入函数解析式，易求出a值，进而得到k+α的值． 【解答】解：由幂函数的定义得k=1， 再将点（，）代入得=（）α， 从而α=，故k+α=． 故答案为： 【点评】本题考查的知识点是幂函数的定义及幂函数的图象，其中利用幂函数的定义，得到k=1是解答本题的关键． 16. 设是各项均为非零实数的等差数列的前项和，且满足条件，则的最大值为        . 参考答案： 17. 在△ABC中，∠A=90°，的值是          . 参考答案： 答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分） 2015年国庆节之前，市教育局为高三学生在紧张学习之余，不忘体能素质的提升，要求该市高三全体学生进行一套满分为120分的体能测试，市教育局为了迅速了解学生体能素质状况，按照全市高三测试学生的先后顺序，每间隔50人就抽取一人的抽样方法抽取40分进行统计分析，将这40人的体能测试成绩分成六段后，得到如下图的频率分布直方图． （1）市教育局在采样中，用的是什么抽样方法？并估计这40人体能测试成绩平均数； （2）从体能测试成绩在的学生中任抽取2人，求抽出的2人体能测试成绩在概率．   参考数据：    参考答案： 【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．K2 I2 【答案解析】（1）97；（2） 解析：（1）根据“每间隔50人就抽取一人”,符合系统抽样的原理,故市教育局在采样中,用到的是系统抽样方法.…………3分 平均数的估计值为： …………………………6分 （2）从图中可知，体能测试成绩在的人数为（人），分别记为；体能测试成绩在人数为（辆），分别记为，从这人中随机抽取两人共有种情况： ，，，，，，，.……………………9分 抽出的人中体能测试成绩在的情况有 共6种，………………………………………………………１１分 故所求事件的概率.…………………………………12分 【思路点拨】（1）根据系统抽样的特征判断抽样方法是系统抽样；根据中位数的左、右两边小矩形的面积相等求中位数； （2）利用频数=频率×样本容量分别求得体能测试成绩在[80，85）的人数和[85，90）人数，用列举法写出从这6人中随机抽取2人的所有基本事件，找出抽出的2人中体能测试成绩在[85，90）的基本事件，利用个数比求概率．． 19. （13分）数列{an}中，a1=2，an+1=an+c?2n（c是常数，n=1，2，3…），且a1，a2，a3成公比不为1的等比数列． （Ⅰ）求c的值； （Ⅱ）求{an}的通项公式． 参考答案： 【考点】数列递推式． 【分析】（Ⅰ）由递推式表示出a2，a3，由a1，a2，a3成等比数列可得关于c的方程，解出即得c值，注意检验； （Ⅱ）利用累加法可求得an，注意检验n=1时是否满足an； 【解答】解：（Ⅰ）a1=2，a2=2+2c，a3=2+6c， ∵a1，a2，a3成等比数列， ∴（2+2c）2=2（2+6c）， 解得c=0或c=1． 当c=0时，a1=a2=a3，不符合题意舍去，故c=1． （ 2）∵an+1=an+2n， ∴a2=a1+21， a3=a2+22， a4=a3+23， …， an=an﹣1+2n﹣1， 累加可得an=a1+2+21+22+…+2n﹣1=2+=2n， 当n=1时，也满足， 故{an}的通项公式an=2n，（n∈N*） 【点评】本题考查等比数列的通项公式、用递推式、累加法求通项公式等知识，属中档题． 　 20. 选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，且直线l与曲线C交于P，Q两点. （Ⅰ）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程； （Ⅱ）把直线l与x轴的交点记为A，求|AP|·|AQ|的值. 参考答案： （Ⅰ）解：（1）直线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为.            …………………………………………4分 （Ⅱ）解法1：在中，令，得，则，联立消去得.设，，其中 ，则有，.，，故.（或利用为椭圆的右焦点，则.）  …10分 解法2：把代入得，则，则.………………………………10分   21. 已知数列的前项和为，且 （1）证明数列是等比数列，并求； （2）当时，设，试确定实数的值，使数列为等差数列； （3）已知集合，问是否存在正数，使得对于任意的，都有，若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。 参考答案： 解（1）∵，∴当时， 两式相减得得 ∴恒成立，且， ∴是等比数列， 又的首项，公比为， ∴ （2）当时，由（1）得 ∴ 要使为等差数列，则 即 解得， 又当时，，∴为等差数列 综上所述： （3）若，则，， ∴，不合题意； 若则，，∴，不合题意； 若，则 ∴ 要使，则，解得， 综上所述，满足条件的正数存在，的取值范围为 略 22. 如图，为正三角形，且，，将沿翻折. （1）若点的射影在上，求的长； （2）若点的射影在内，且与面所成的角的正弦值为，求的长. 参考答案： (1)；(2). 试