2022-2023学年四川省宜宾市维新中学高三数学理期末试题含解析

2022-2023学年四川省宜宾市维新中学高三数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知点在圆：上运动，则点到直线：的距离的最小值是（   ） A． B． C． D． 参考答案： D 2. 直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是(　 　)．   A．[0，π)                         B. ∪   C.                            D. ∪ 参考答案： B 略 3. 复数，则实数a的值是（     ） A．     B．      C．       D．－ 参考答案： B 4. 函数的最大值与最小值的和是 A.                 B.0                  C.             D. 参考答案： C 略 5. 将函数y=sin（2x+）的图象向左平移个单位，所得函数的解析式为（　　） A． B．y=﹣cos2x C．y=cos2x D． 参考答案： A 【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律即可得解． 【解答】解：将函数y=sin（2x+）的图象向左平移个单位， 所得函数的解析式为y=sin[2（x+）+]=sin（2x++）=sin（2x+）． 故选：A． 6. 如图曲线和直线所围成的图形（阴影部分)的面积为 A.   B. C.    D. 参考答案： D 7. 已知不等式组表示平面区域D，现在往抛物线y=﹣x2+x+2与x轴围成的封闭区域内随机地抛掷一小颗粒，则该颗粒落到区域D中的概率为（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】几何概型． 【分析】根据积分的知识可得先求y=﹣x2+x+2与x轴围成的封闭区域为曲面MEN，的面积，然后根据线性规划的知识作出平面区域D，并求面积，最后代入几何概率的计算公式可求． 【解答】解：根据积分的知识可得，y=﹣x2+x+2与x轴围成的封闭区域为曲面MEN，面积 = 等式组表示平面区域D即为△AOB，其面积为 根据几何概率的计算公式可得P= 故选：C 【点评】本题主要考查了利用积分求解曲面的面积，还考查了几何概率的计算公式的应用，属于基础试题． 8. ，则（  ）                             （A）           （B）              （C）        （D） 参考答案： C ,所以，选C. 9. 函数的图象大致是                            （         ） 参考答案：  答案：B  10. 下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是(     ) A．B．y=ex﹣e﹣x C．y=x3﹣x D．y=xlnx 参考答案： B 考点：奇偶性与单调性的综合． 专题：函数的性质及应用． 分析：分别根据函数奇偶性和单调性的性质进行判断即可． 解答：解：A．函数y=x+是奇函数，在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，∴A不满足条件． B．设y=f（x）=ex﹣e﹣x，则f（﹣x）=e﹣x﹣ex=﹣f（x）．函数为奇函数，∵y=ex单调递增，y=e﹣x，单调递减，∴y=ex﹣e﹣x在区间（0，+∞）上单调递增，∴B满足条件． C．函数y=x3﹣x为奇函数，到x＞0时，y'=3x2﹣1，由y'＞0，解得x＞或x，∴f（x）在（0，+∞）上不是单调函数，∴C不满足条件． D．函数y=xlnx的定义域为（0，+∞），关于原点不对称，∴D不满足条件． 故选：B． 点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断和应用，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. △ABC中，D是BC上的点，DA=DB=2，DC=1，则AB?AC的最大值是　　． 参考答案：   【考点】三角形中的几何计算． 【分析】由题意，D是BC上的点，DA=DB=2，DC=1，设AB=m，AC=n，根据余弦定理建立关系，利用基本不等式的性质求解． 【解答】解：△ABC中，D是BC上的点，DA=DB=2，DC=1，设AB=m，AC=n， cos∠BDA=，cos∠CDA=， ∠BDA与∠CDA互补， ∴=﹣， 可得：2n2+m2=18． 那么：AB?AC=m?n=≤×=（当且仅当m=取等号） 故答案为． 　 12. 已知集合，记和中所有不同值的个数为．如当时，由，，，，，得．对于集合，若实数成等差数列，则________________ 参考答案： 2n-3- 略 13. 抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，E是C的准线上位于x轴上方的一点，直线EF与C在第一象限交于点M，在第四象限交于点N，且|EM|=2|MF|=2，则点N到y轴的距离为　　． 参考答案： 【考点】K8：抛物线的简单性质． 【分析】由题意可知丨FM丨=1，|EM|=2，丨EF丨=3，根据相似三角形的性质，即可求得p的值，由丨EN丨=2丨DN丨，根据抛物线的定义，即可求得丨DN丨=3，点N到y轴的距离为丨DN丨﹣． 【解答】解：过M，N做MH⊥l，ND⊥l，垂足分别为H，D， 由抛物线的定义可得丨FM丨=丨MH丨，丨FN丨=丨DN丨 |EM|=2|MF|=2，则丨FM丨=1，|EM|=2，丨EF丨=3， ∴∠EMH=，∠MEH=， ∴p=，抛物线的标准方程为y2=3x， 在Rt△EDN中，sin∠MED=， 则丨EN丨=2丨DN丨，即丨EM丨+丨MF丨+丨DN丨=2丨DN丨， 则丨DN丨=3， 点N到y轴的距离为丨DN丨﹣=3﹣=， 故答案为：． 14. 若圆x2+y2=4与圆x2+（y﹣3）2=r2 （r＞0）外切，则实数r的值为　　． 参考答案： 1 略 15. 在中，角所对的边分别为且，，若,则的取值范围是         _____________. 参考答案： 由得，因为，所以由得.所以最大.因为，所以，即，所以，即，因为，所以，即，所以.因为，所以，所以，即，所以. ，因为，所以，即，即，所以.即的取值范围是. 【答案】 【解析】 16. 已知函数是奇函数,若的最小值为,且,则b的取值范围是__________ 参考答案： 17. 设复数为实数时，则实数的值是____________. 参考答案： 3 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2acosC﹣c=2b． （Ⅰ）求角A的大小； （Ⅱ）若c=，角B的平分线BD=，求a． 参考答案： 【考点】HP：正弦定理． 【分析】（Ⅰ）由正弦定理、两角和的正弦公式化简已知的条件，求出cosA的值，由A的范围和特殊角的三角函数值求出角A的值； （Ⅱ）由条件和正弦定理求出sin∠ADB，由条件求出∠ADB，由内角和定理分别求出∠ABC、∠ACB，结合条件和余弦定理求出边a的值． 【解答】解：（Ⅰ）由2acosC﹣c=2b及正弦定理得， 2sinAcosC﹣sinC=2sinB，…（2分） 2sinAcosC﹣sinC=2sin（A+C）=2sinAcosC+2cosAsinC， ∴﹣sinC=2cosAsinC， ∵sinC≠0，∴cosA=， 又A∈（0，π），∴A=；…（6分） （Ⅱ）在△ABD中，c=，角B的平分线BD=， 由正弦定理得， ∴sin∠ADB===，…（8分） 由A=得∠ADB=，∴∠ABC=2（）=， ∴∠ACB==，AC=AB= 由余弦定理得，a2=BC2═AB2+AC2﹣2AB?AC?cosA =2+2﹣2×=6， ∴a=…（12分） 【点评】本题考查正弦定理、余弦定理，内角和定理，以及两角和的正弦公式等应用，考查转化思想，化简、变形能力． 19. 已知数列{an}，{bn}满足：，，． （1）证明数列{bn}是等比数列，并求数列{bn}的通项； （2）求数列{an}的前n项和Sn． 参考答案： （1）见证明；（2）． （1）证明：因为，所以． 因为，所以，所以． 又，所以是首项为，公比为2的等比数列， 所以． （2）解：由（1）可得， 所以 ． 20. 本小题满分13分） 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交元（）的管理费，预计当每件产品的售价为元（）时，一年的销售量为万件. （1）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价（元）的函数关系式； （2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大？并求出L的最大值 参考答案： （1）分公司一年的利润L（万元）与售价的函数关系式为： ……………………………………4分（少定义域去1分） （2） 令得或（不合题意，舍去）…………………………6分 ∵，∴    在两侧的值由正变负.......8分 所以（1）当即时，  ………………………………10分 （2）当即时， ， 所以  …………………………………………12分 21. (本小题满分14分)已知正数数列{an }中，a1 =2.若关于x的方程 （）对任意自然数n都有相等的实根． (1)求a2 ,a3的值； (2)求证（）． 参考答案： (1)由题意得△，即,进而可得,.                               (2)由于，所以，因为，所以数列是以为首项，公比为2的等比数列，知数列是以为首项，公比为的等比数列，于是  , 所以. 略 22. （本小题满分12分） 如图，已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连结PE并延长交AB于点G. （Ⅰ）证明：G是AB的中点； （Ⅱ）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．   参考答案： （Ⅰ）因为P在平面ABC内的正投影为点D，所以AB⊥PD. 因为D在平面PAB内的正投影为点E，所以AB⊥DE.所以AB⊥平面PED，故AB⊥PG. 又由已知可得，PA=PB，从而G是AB的中点. （II）在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC内的正投影. 理由如下：由已知可得PB⊥PA，PB⊥PC，又EF∥PB，所以EF⊥PA，EF⊥PC，因此EF⊥平面PAC，即点F为E在平面PAC内的正投影. 连结CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心. 由（I）知，G是AB的中点，所以D在CG上，故 由题设可得PC⊥平面PAB，DE⊥平面PAB，所以DE∥PC，因此 由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6，可得 在等腰直角三角形EFP中，可得EF=PF=2. 所以四面体PDEF的体积