2022-2023学年湖南省常德市杜坪中学高二数学文联考试卷含解析

2022-2023学年湖南省常德市杜坪中学高二数学文联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 如图甲所示，三棱锥的高分别在和上，且，图乙中的四个图像大致描绘了三棱锥的体积与的变化关系，其中正确的是（    ） 参考答案： A ,  , 是抛物线的一部分，答案A   2. 已知函数在处取得极值10，则a=（     ） A. 4或－3 B. －4或3 C. －3 D. 4 参考答案： D 【分析】 根据函数在处取得极值10，得，由此求得的值，再验证是否符合题意即可. 【详解】函数在处取得极值10， 所以， 且， 解得或， 当时，， 根据极值的定义知道，此时函数无极值； 当时，， 令得或，符合题意； 所以， 故选D. 【点睛】该题考查的是有关根据函数的极值求解析式中的参数的问题，注意其对应的条件为函数值以及函数在对应点处的导数的值，构造出方程组，求得结果，属于简单题目. 3. 设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为(　　) A．    B．         C． D． 参考答案： C 略 4. 有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位：cm），则该几何体的表面积及体积分别为  　 A. 24cm 2，12cm3 　 B. 15cm 2，12cm3 C. 24cm 2，36cm3　　D.以上都不正确 参考答案： A 5. 用反证法证明命题：“,,,且,则中至少有一个负数”时的假设为(　　) A．中至少有一个正数         B．全为正数 C．全都大于等于0            D．中至多有一个负数 参考答案： B 6. 函数y=xcosx－sinx的导数为 A、 xsinx       B、－xsinx          C、 xcosx           D、 －xcosx 参考答案： B 略 7. 下列说法中，正确的是（    ） A．命题“若，则”的逆命题是真命题 B． “为真命题”是 “为假命题” 成立的充分不必要条件 C．命题“存在”的否定是“对任意” D．已知，则“”是“”的充分不必要条件 参考答案： B 略 8. 已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于(　　) A．1　　 B. 　　  C. 　　　　 D. 参考答案： C 9. 程序框图如图21－1所示，则该程序运行后输出的B等于(　　) 图21－1 A．7                               B．15 C．31                              D．63 参考答案： D 10. 若函数f（x）=sin2x+4cosx+ax在R上单调递减，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣3） B．（﹣∞，﹣3） C．（﹣∞，6] D．（﹣∞，6） 参考答案： A 【考点】利用导数研究函数的单调性． 【分析】问题转化为a≤4sinx﹣2cos2x在R恒成立，令g（x）=4sinx﹣2cos2x，求出g（x）的最小值，从而求出a的范围即可． 【解答】解：f′（x）=2cos2x﹣4sinx+a， 若函数f（x）=sin2x+4cosx+ax在R上单调递减， 则a≤4sinx﹣2cos2x在R恒成立， 令g（x）=4sinx﹣2cos2x=4sinx﹣2（1﹣2sin2x）=4sin2x+4sinx﹣2=（2sinx+1）2﹣3， 故g（x）的最小值是﹣3，则a≤﹣3， 故选：A． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 曲线在点处的切线斜率为__________。 参考答案： 0 略 12. 设A、B是两个命题，如果A是 B的充分不必要条件，则      参考答案： 必要条件  13. 在平面几何里可以得出正确结论：“正三角形的内切圆半径等于这正三角形的高的”．拓展到空间，类比平面几何的上述结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的________ . 参考答案： 14. 若θ角的终边与的终边相同，则在[0,2π]内终边与角的终边相同的角是_____． 参考答案： ，，，. 略 15. 已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于，且，则椭圆的离心率是_______________. 参考答案： 略 16. 设双曲线的虚轴长为2，焦距为，双曲线的渐近线方程为________________. 参考答案： 略 17. 学校安排名同学参加两项不同的志愿活动，每位同学必须参加一项活动且不能同时参加两项，每项活动最多安排人，则不同的安排方法有__________种．（用数字作答） 参考答案： 由题知，名同学分成两组，其中一组人，另一组人， 或一组人，另一组人， 当一组人，另一组人时，安排方法有种， 当一组人，另一组人时，安排方法有种， 一共有种． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本题14分）. 已知函数（），． （Ⅰ）若，曲线在点处的切线与轴垂直，求的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：； （Ⅲ）若，试探究函数与的图象在其公共点处是否存在公切线，若存在，研究值的个数；若不存在，请说明理由． 参考答案： 解：（Ⅰ），， ∴，         --------------------------2分 依题意得  ，∴．         --------------------------3分 设，           -------------------4分 则， 令，得，               ---------------------------------------6分 列表得 递减 极小 递增 ∴时，取极小值也是最小值，且， ∵，，由得，， 即，∴，--------------9分 ∵的定义域为， 当时，，∴函数与的图象在其公共点处不存在公切线；---10分 ∴，即，----------------------------11分 下面研究满足此等式的值的个数： （方法一）由得  ， 设函数，， 令得，当时，递增；                                                 (方法二)设，则，且，方程化为， 分别画出和的图象，因为时，， 由函数图象性质可得和图象有且只有两个公共点（且均符合）， 所以方程有且只有两个解． 19. (本小题满分12分) 已知⊙H被直线x-y-1=0,x+y-3=0分成面积相等的四个部分,且截x轴所得线段的长为2。 (I)求⊙H的方程; (Ⅱ)若存在过点P(0,b)的直线与⊙H相交于M，N两点,且点M恰好是线段PN的中点,求实数b的取值范围 参考答案： （I）设的方程为， 因为被直线分成面积相等的四部分， 所以圆心一定是两直线的交点， 易得交点为，所以.……………………………………………………2分 又截x轴所得线段的长为2，所以. 所以的方程为.…………………………………………………4分 （II）法一：如图，的圆心，半径， 过点N作的直径，连结. 当与不重合时，， 又点是线段的中点； 当与重合时，上述结论仍成立. 因此，“点是线段的中点”等价于“圆上存在一点使得的长等于的直径”. …………………………………………………………………………………………………6分 由图可知，即，即.……8分 显然，所以只需，即，解得. 所以实数的取值范围是.………………………………………………12分 法二：如图，的圆心，半径，连结， 过作交于点，并设. 由题意得， 所以，…………………………6分 又因为，所以， 将代入整理可得，………………………………………………8分 因为，所以，，解得.…………12分   20. 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值. 46.6 56.3 6.8 289.8 1.6 1469 108.8   表中， （1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程； （3）已知这种产品的年利率z与x，y的关系为.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题： （i）年宣传费时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii）年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？ 附：对于一组数，，…，，其回归直线斜率和截距的最小二乘估计分别为，. 参考答案： （1）见解析；（2）（3）（i）年销售量576.6，年利润66.32（ii） 【分析】 （1）根据散点图，即可得到判断，得到结论； （2）先建立中间量，建立关于的线性回归方程，进而得到关于的线性回归方程； （3）（i）由（2），当时，代入回归直线的方程，即可求解； （ii）根据（2），得到年利润的预报值方程，根据函数的性质，即可求解. 【详解】（1）由散点图可以判断，适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型. （2）令，先建立关于的线性回归方程， 由于，， 所以关于的线性回归方程为， 因此关于的回归方程为. （3）（i）由（2）知，当时，年销售量的预报值， 年利润的预报值. （ii）根据（2）的结果知，年利润的预报值， 所以当，即时，取得最大值. 【点睛】本题主要考查了散点图的应用，以及线性回归方程的求解与应用，其中解答中合理作出数据的散点图，准确计算回归直线的方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题. 21. 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B⊥平面ABC，AB⊥AC． （Ⅰ）求证：AC⊥BB1； （Ⅱ）若AB＝AC＝A1B＝2，在棱B1C1上确定一点P，  使二面角P－AB－A1的平面角的余弦值为． 参考答案： 解：（Ⅰ）在三棱柱中，因为，平面，所以平面平面， 因为平面平面，，所以平面，所以.---------5分 设平面的一个法向量为，因为，， 即所以 令得，而平面的一个法向量是， 则，解得，即P为棱的中点. -----12分 略 22. 参考答案：