广东省深圳市皇岗中学2022年高一数学文测试题含解析

广东省深圳市皇岗中学2022年高一数学文测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知最小正周期为2的函数在区间上的解析式是，则函数在    实数集R上的图象与函数的图象的交点的个数是    A．3               B．4                C．5                 D．6    9． 参考答案： C 2. 已知等差数列{an}的前n项和Sn有最大值，且，则满足的最大正整数n的值为（    ） A. 6 B. 7 C. 10 D. 12 参考答案： C 【分析】 先设等差数列的公差为，根据前项和有最大值，得到，再由，得到，，且，根据等差数列的求和公式以及性质，即可得出结果. 【详解】设等差数列的公差为， 因为等差数列的前项和有最大值，所以， 又，所以，，且， 所以， ， 所以满足的最大正整数的值为10 【点睛】本题主要考查使等差数列前项和最大的整数，熟记等差数列求和公式以及等差数列的性质即可，属于常考题型. 3. （5分）下列哪组中的两个函数是相等函数（） A． y=x，y= B． y=?，y= C． y=1，y= D． y=|x|，y=（）2 参考答案： A 考点： 判断两个函数是否为同一函数． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，这样的函数是同一函数，进行判断即可． 解答： 对于A，y=x（x∈R），与y==x（x∈R）的定义域相同，对应关系也相同，∴是相等函数； 对于B，y=?=（x≥1），与y=（x≤﹣1或x≥1）的定义域不同，∴不是相等函数； 对于C，y=1（x∈R），与y=（x≠0）的定义域不同，∴不是相等函数； 对于D，y=|x|（x∈R），与y==x（x≥0）的定义域不同，对应关系也不同，∴不是相等函数； 点评： 本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题，解题时应判断它们的定义域是否相同，对应关系是否也相同，是基础题． 4. 删去正整数数列1,2,3,……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个新数列的第2003项是_____ (A)2046   　　　 (B)2047  　　　   (C)2048  　　  (D)2049 参考答案： C 5. 设α是第二象限角，则=（　　） A．1 B．tan2α C．﹣tan2α D．﹣1 参考答案： D 【考点】三角函数的化简求值． 【分析】先利用同角三角函数的平方关系，再结合α是第二象限角，就可以得出结论． 【解答】解： ∵α是第二象限角，∴= 故选D． 6. 已知a＞0，且10= lg(10x)＋lg，则x的值是(  )． (A)．－1             (B)．0                 (C)．1                 (D)．2   参考答案： B   解析：10= lg(10x)＋lg= lg(10x·) = lg10 = 1，所以 x = 0，故选(B)． 7. 圆与圆的位置关系为（   ） A．相交   B．相离    C．外切    D．内切 参考答案： A 由题意得，两圆的圆心分别为，半径分别为， 两圆的圆心距为，所以，所以两圆相交。 8. 在ABC中，若，，，则解此三角形的结果为（  ）     A．无解       B．有一解     C．有两解       D．一解或两解 参考答案： C 略 9. 向量，则（ ） A. B. C. 与的夹角为60° D. 与的夹角为30° 参考答案： B 试题分析：由，可得，所以，故选B． 考点：向量的运算． 10. 如果一个几何体的三视图如图所示（单位长度：cm）， 则此几何体的体积是（    ） A．      B．   C．    D．   参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知lg2=a,  lg3=b,  则lg18=__________ 参考答案： 略 12. 已知点（0，2）关于直线l的对称点为（4，0），点（6，3）关于直线l的对称点为（m，n），则m+n=　　． 参考答案： 【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程． 【分析】根据题意，得到折痕为A，B的对称轴；也是 C，D的对称轴，求出A，B的斜率及中点，求出对称轴方程，然后求出C，D的斜率令其等于对称轴斜率的负倒数，求出C，D的中点，将其代入对称轴方程，列出方程组，求出m，n的值，得到答案． 【解答】解：根据题意，得到折痕为A（0，2），B（4，0）的对称轴；也是 C（6，3），D（m，n）的对称轴， AB的斜率为kAB=﹣，其中点为（2，1）， 所以图纸的折痕所在的直线方程为y﹣1=2（x﹣2） 所以kCD==﹣，① CD的中点为（，）， 所以﹣1=2（﹣2）② 由①②解得m=，n=， 所以m+n=． 故答案为：． 13. 若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm，则这个圆心角所在的扇形面积为______ cm2 参考答案： 4cm2 略 14. 已知三棱锥O-ABC中，OA、OB、OC两两垂直，且OA=OB=OC=2，点D是△ABC的重心，则以OD为体对角线的正方体体积为           参考答案： 15. 在等比数列{an}中，已知，若，则的最小值是______. 参考答案： 12 【分析】 利用等比数列的通项公式化简，可得根据可判断将变形为，利用基本不等式的性质即可得出结果． 【详解】在等比数列中， ， ， 化为：． 若，则 ，当且仅当时取等号． 若，则，与矛盾，不合题意 综上可得，的最小值是，故答案为12． 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、基本不等式的性质，属于中档题．在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误. 16. 关于x的方程，给出下列四个判断： ①存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根； ②存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根； ③存在实数k，使得方程恰有6个不同的实根； ④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根； 其中正确的为___ ▲ ___（写出所有判断正确的序号）. 参考答案： ①②③   17. 平面向量中，若，=1，且，则向量=____。 参考答案：  解析： 方向相同， 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 化简或求值：（本题满分8分） （1） （2）计算. 参考答案： （1）原式=   ……ks5u…………………4分   （2）分子=；…6分 分母=； 原式=. ……………………………………………………………8分      19. 某工厂家具车间造A、B型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成．已知木工做一张A、B型桌子分别需要1小时和2小时，漆工油漆一张A、B型桌子分别需要3小时和1小时；又知木工、漆工每天工作分别不得超过8小时和9小时，而工厂造一张A、B型桌子分别获利润2千元和3千元，试问工厂每天应生产A、B型桌子各多少张，才能获得利润最大？最大利润是多少？ 参考答案： 【考点】7D：简单线性规划的应用． 【分析】先设每天生产A型桌子x张，B型桌子y张，利润总额为z千元，根据题意抽象出x，y满足的条件，建立约束条件，作出可行域，再根据目标函数z=2x+3y，利用线性规划的知识进行求解即可． 【解答】解：设每天生产A型桌子x张，B型桌子y张，利润总额为z千元， 则， 目标函数为：z=2x+3y 作出可行域： 把直线l：2x+3y=0向右上方平移，直线经过可行域上的点B，且与原点距离最大， 此时z=2x+3y取最大值， 解方程， 得B的坐标为（2，3）．此时z=2×2+3×3=13（千元）． 答：每天应生产A型桌子2张，B型桌子3张才能获得最大利润．最大利润为13千元． 【点评】本题主要考查用线性规划解决实际问题中的最值问题，基本思路是抽象约束条件，作出可行域，利用目标函数的类型，找到最优解．属中档题． 20. （12分）已知⊙M：（x+1）2+y2=1，⊙N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与⊙M外切并且与⊙N内切，圆心P的轨迹为曲线C． （1）求C的方程； （2）l是与⊙P、⊙M都相切的一条直线，当⊙P的半径最长时，求直线l的方程． 参考答案： 考点： 轨迹方程；圆的切线方程． 专题： 计算题；直线与圆． 分析： （1）设动圆的半径为R，由已知动圆P与圆M外切并与圆N内切，可得|PM|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4，而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，求出即可； （2）设曲线C上任意一点P（x，y），由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤4﹣2=2，所以R≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0）R=2时，其半径最大，其方程为（x﹣2）2+y2=4．分①l的倾斜角为90°．②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行，确定Q（﹣4，0），设l：y=k（x+4），由l与M相切，可得结论． 解答： （1）由圆M：（x+1）2+y2=1，可知圆心M（﹣1，0）；圆N：（x﹣1）2+y2=9，圆心N（1，0），半径3． 设动圆的半径为R， ∵动圆P与圆M外切并与圆N内切，∴|PM|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4， 而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆， ∴a=2，c=1，b2=a2﹣c2=3． ∴曲线C的方程为（去掉点（﹣2，0）） （2）设曲线C上任意一点P（x，y）， 由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤3﹣1=2，所以R≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0），R=2时，其半径最大，其方程为（x﹣2）2+y2=4． ①l的倾斜角为90°，直线l的方程为x=0． ②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行， 设l与x轴的交点为Q，则=，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y=k（x+4）， 由l与M相切可得：=1，解得k=±． ∴直线l的方程为y=±（x+4）， 综上可知，直线l的方程为y=±（x+4）或x=0． 点评： 本题综合考查了两圆的相切关系、直线与圆相切等基础知识，需要较强的推理能力和计算能力及其分类讨论的思想方法． 21. （本小题满分12分）已知向量，． （Ⅰ）求证； （Ⅱ）若存在不等于0的实数k和t, 使，满足试求此时的最小值． 参考答案： 解：（Ⅰ）∵·=cos（－） cos（）+sin（+） sin（） =sin cos－sincos =0 ∴⊥． （Ⅱ）由⊥得·=0 即[+（t2+3）]·（－k+t）=0 ∴－k+（t3+3t）+[t－k（t2+3）]·=0 ∴－k||2+（t3+3t）||2=0 又∵||2=1，||2=1 ∴－k+ t3+3t=0 ∴k=t3+3t ∴= =t2+t+3 =（t+）2+ 故当t=－时，取得最小值，为． 22. (普通班做)如图6，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F为棱AD、AB的中点． （1）求证：EF∥平面； （2）求证：平面⊥平面． 参考答案： 普通班：（1）证明:连结BD. 在长方体中，对角线. 又 E、F为棱AD、AB的中点，  .     .