山东省德州市夏津县第一中学2022-2023学年高一数学文期末试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知两条直线和互相垂直，则等于( )
A． B． C． D．
参考答案：
A
2. 定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x）﹣2，当x∈（0，2]时，f（x）=，若x∈（0，4]时，t2﹣≤f（x）≤3﹣t恒成立，则实数t的取值范围是（ ）
A．[2，+∞） B． C． D．[1，2]
参考答案：
D
【考点】分段函数的应用．
【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
【分析】由f（x+2）=2f（x）﹣2，求出x∈（2，3），以及x∈[3，4]的函数的解析式，分别求出（0，4]内的四段的最小值和最大值，注意运用二次函数的最值和函数的单调性，再由t2﹣≤f（x）≤3﹣t恒成立即为由t2﹣≤f（x）min，f（x）max≤3﹣t，解不等式即可得到所求范围
【解答】解：当x∈（2，3），则x﹣2∈（0，1），
则f（x）=2f（x﹣2）﹣2=2（x﹣2）2﹣2（x﹣2）﹣2，即为
f（x）=2x2﹣10x+10，
当x∈[3，4]，则x﹣2∈[1，2]，
则f（x）=2f（x﹣2）﹣2=﹣2．
当x∈（0，1）时，当x=时，f（x）取得最小值，且为﹣；
当x∈[1，2]时，当x=2时，f（x）取得最小值，且为；
当x∈（2，3）时，当x=时，f（x）取得最小值，且为﹣；
当x∈[3，4]时，当x=4时，f（x）取得最小值，且为﹣1．
综上可得，f（x）在（0，4]的最小值为﹣．
若x∈（0，4]时，t2﹣≤f（x）恒成立，
则有t2﹣≤﹣．
解得1≤t≤．
当x∈（0，2）时，f（x）的最大值为1，当x∈（2，3）时，f（x）∈[﹣，﹣2），
当x∈[3，4]时，f（x）∈[﹣1，0]，
即有在（0，4]上f（x）的最大值为1．
由f（x）max≤3﹣t，即为3﹣t≥1，解得t≤2，
即有实数t的取值范围是[1，2]．
故选D．
【点评】本题考查分段函数的运用，主要考查分段函数的最小值，运用不等式的恒成立思想转化为求函数的最值是解题的关键．
3. 如图，已知正六棱柱的最大对角面的面积为1m2，互相平行的两个侧面的距离为1m，则这个六棱柱的体积为（ ）
A． m3 B． m3 C．1m3 D． m3
参考答案：
B
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】数形结合；数形结合法；立体几何．
【分析】根据正六边形的性质求出底面边长，利用矩形的面积得出棱柱的高．
【解答】解：设正六棱柱的底面边长为a，高为h，
则，解得a=，h=．
∴六棱柱的体积V==．
故选B．
【点评】本题考查了正棱柱的结构特征，棱柱的体积计算，属于基础题．
4. 若点M是△ABC所在平面内一点，且满足 ，则 等于（ ）
A． B． C. D．
参考答案：
B
由题意可知：
则M为△ABC的重心，
由重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等，
3S△ABM=S△ABC，
∴S△ABM：S△ABC=，
5. 点P从（﹣1，0）出发，沿单位圆顺时针方向运动弧长到达Q点，则Q点坐标为（ ）
A. （，） B. （，）
C. （，） D. （，）
参考答案：
A
【分析】
求出Q点所在终边上的最小正角，然后利用任意角的三角函数的定义求出Q点坐标．
【详解】解：点P从（﹣1，0）出发，沿单位圆顺时针方向运动弧长到达Q点，
所以Q点所在终边上的最小正角是：，
由任意角的三角函数的定义可知Q点坐标为：（cos，），即（，）．
故选：A．
【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义的应用，象限角的求法，是基础题．
6. 设集合，，分别从集合A和B中随机抽取一个数a和b，确定平面上的一个点，记“点满足”为事件，若事件的概率最大，则n的可能值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 1和3 D. 2和4
参考答案：
A
【分析】
列出所有的基本事件，分别求出事件、、、、所包含的基本事件数，找出其中包含基本事件数最多的，可得出的值。
【详解】所有的基本事件有：、、、、、、、、，
事件包含1个基本事件，事件包含2个基本事件，事件包含3个基本事件，事件包含2个基本事件，事件包含1个基本事件，所以事件的概率最大，则，故选：A。
【点睛】本题考查古典概型概率的计算，解题的关键在于列举所有的基本事件，常用枚举法与数状图来列举，考查分析问题的能力，属于中等题。
7. 甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1,2,3,4,5,6}，若|a－b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（ ）
A. B. C. D.
参考答案：
D
8. 已知函数f（x）=，若f（1）=f（﹣1），则实数a的值等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
参考答案：
B
【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．
【分析】由分段函数f（x），我们易求出f（1），f（﹣1）的值，进而将式子f（1）=f（﹣1）转化为一个关于a的方程，结合指数的函数的值域，及分段函数的解析式，解方程即可得到实数a的值．
【解答】解：∵函数，
∴f（﹣1）=2，f（1）=a，
若f（1）=f（﹣1），
∴a=2，
故选B．
9. 已知三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，且PA=2，PB=，PC=3，则这个三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．16π B．32π C．36π D．64π
参考答案：
A
【考点】球的体积和表面积．
【分析】三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长，就是球的直径，然后求球的表面积．
【解答】解：三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，它的外接球就是它
扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长： =4
所以球的直径是4，半径为2，球的表面积：4π×4=16π．
故选A．
10. 函数y=2sin2x的最小正周期为（ ）
A．4π B．3π C．2π D．π
参考答案：
D
【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．
【分析】利用三角函数的周期公式求解即可．
【解答】解：函数y=2sin2x的最小正周期：T=．
故选：D．
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在△中，，，，则_____．
参考答案：
12. 在等差数列{an}中，a1=2，公差为d，且a2，a3，a4+1成等比数列，则d= ．
参考答案：
2
【分析】运用等差数列的通项公式和等比数列中项的性质，可得公差d的二次方程，解方程可得d，检验即可得到所求值．
【解答】解：等差数列{an}中，a1=2，公差为d，且a2，a3，a4+1成等比数列，
可得a32=a2（a4+1），
即为（2+2d）2=（2+d）（2+3d+1），
化为d2﹣d﹣2=0，
解得d=2或﹣1，
若d=2，即有4，6，9成等比数列；
若d=﹣1，即有1，0，0不成等比数列．
则d=2成立．
故答案为：2．
13. 已知向量，，若，则 ．
参考答案：
10
由题意可得：，
即：，则：，
据此可知：.
14. 若定义在上的函数对任意的，都有成立，且当时，若则不等式的解集为 ．
参考答案：
(－∞,)
略
15. 已知，若方程的解集为R，则__________．
参考答案：
【分析】
将利用辅助角公式化简，可得出的值.
【详解】，
其中，，因此，，故答案为：.
【点睛】本题考查利用辅助角公式化简计算，化简时要熟悉辅助角变形的基本步骤，考查运算求解能力，属于中等题.
16. 计算：=______.
参考答案：
1
17. 等差数列中, 则的公差为______________。
参考答案：
解析：
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图等腰梯形ABCD，下底AB是上底CD的3倍，上底为1，腰长为2，点E为腰BC的中点，记.
（1）试用向量，表示向量；
（2）若点F为DC中点，求的值.
参考答案：
（1）；（2）
【分析】
（1）取AD中点为G，利用三角形的加法法则求向量；（2）先求出再利用数量积求的值.
【详解】
（1）∵取AD中点为G，则
∴.
（2），
作 ∵
∴ ∴
则
【点睛】本题主要考查向量的线性运算，考查数量积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
19. 设，函数，其中.
（1）求的最小值；
（2）求使得等式成立的x的取值范围.
参考答案：
解：（I）设函数，，则
， ，
所以，由的定义知，即
．
（II）由于，故
当时，，
当时，．
所以，使得等式成立的的取值范围为．
20. 如图，三棱柱中，分别是中点，
点在线段上，且，ks5u
（1）用向量表示向量；
（2）用向量表示向量；
（3）若与平面交于，求出关于的函数关系式.
参考答案：
（1） （2）
略
21. 已知集合A＝｛x| ｝, B={}, C={a}
（1）求 （2）求; （3）若,求a的取值范围．
参考答案：
解：(1)A∪B={x∣2
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