辽宁省沈阳市第六十一高级中学2022-2023学年高二数学理下学期期末试卷含解析

辽宁省沈阳市第六十一高级中学2022-2023学年高二数学理下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1.  若，则的值为 （A）6            （B）7            （C）35            （D）20 参考答案： C 2. 已知集合，集合=(    ) A． B． C． D． 参考答案： B 3. 设的三内角A、B、C成等差数列，、、成等比数列，则这个三角形的形状是 A.直角三角形      B.钝角三角形    C.等边三角形    D.等腰直角三角形 参考答案： C 4. 直线的倾斜角的范围是（     ） A．     B．      C．     D． 参考答案： A 略 5. 已知点P（x，y）在经过A（3，0）、B（1，1）两点的直线上，那么2x+4y的最小值是（　　） A．2 B．4 C．16 D．不存在 参考答案： B 【考点】基本不等式；直线的两点式方程． 【分析】由点P（x，y）在经过A（3，0）、B（1，1）两点的直线上可求得直线AB的方程，即点P（x，y）的坐标间的关系式，从而用基本不等式可求得2x+4y的最小值． 【解答】解：由A（3，0）、B（1，1）可求直线AB的斜率kAB=，∴由点斜式可得直线AB的方程为：x+2y=3． ∴2x+4y=2x+22y（当且仅当x=2y=时取“=”）． 故选B． 6. 已知函数的图像如图所示，的导函数，则下列数值排序正确的是（  ） A． B． C． D． 参考答案： B 7. △ABC的三边a，b，c成等差数列，则角B的范围是（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】余弦定理；等差数列的通项公式． 【分析】设出三角形的三边分别为a，b，c，由三边成等差数列，利用等差数列的性质可知2b等于a+c，利用余弦定理表示出cosB，然后把b等于a+c的一半代入，利用基本不等式即可求出cosB的最小值，根据B的范围及余弦函数在此区间为减函数即可得到B的范围． 【解答】解：设三角形的三边分别为a，b，c， 由三边成等差数列可知：b=， 由余弦定理得：cosB===≥=， 当且仅当a=c时取等号， 又B∈（0，π），且余弦函数在此区间为减函数，所以B∈（0，]． 故选：A． 8. 一个几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为                                                                            参考答案： D 9. 设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（ ） A．若，则               B．若，则 C．若，则               D．若，则 参考答案： D 略 10. 设全集,,,则等于  (    ) A.           B．            C．             D． 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 用反证法证明命题“在一个三角形的三个内角中，至少有2个锐角”时，假设命题的结论不成立的正确叙述是“___________”． 参考答案： 在一个三角形的三个内角中，至多有1个锐角 略 12. 已知△ABC为等边三角形，AB=2，设P、Q满足，，.若，则          ． 参考答案： 2或-1  13. 在△ABC中，已知sinA：sinB：sinC=3：5：7，则此三角形的最小内角的余弦值等于　　． 参考答案： 【考点】余弦定理；正弦定理． 【分析】由正弦定理可得a：b：c=3：5：7，进而可用b表示a，c，可求A为三角形的最小内角，代入余弦定理化简即可得解． 【解答】解：∵sinA：sinB：sinC=3：5：7， ∴由正弦定理可得a：b：c=3：5：7， ∴a=，c=，A为三角形的最小内角， ∴由余弦定理可得cosA===． 故答案为：． 【点评】本题考查正余弦定理的应用，用b表示a，c是解决问题的关键，属于基础题． 14. 复数的虚部为        ． 参考答案： 1 略 15. 等差数列,的前项和分别为,,若,则=    ___  参考答案： 16. 观察下列等式: 照此规律, 第个等式可为___          ____. 参考答案： 17. 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，若∠A1AB=∠A1AD=60o，且A1A=3，则A1C的长为         . 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 从某校高一年级800名学生中随机抽取100名测量身高，测量后发现被抽取的学生身高全部介于155厘米和195厘米之间，将测量结果分为八组：第一组[155，160），第二组[160，165），…，第八组[190，195），得到频率分布直方图如． （Ⅰ）计算第七组[185，190）的样本数；并估计这个高一年级800名学生中身高在170厘米以下的人数； （Ⅱ） 求出这100名学生身高的中位数、平均数． 参考答案： 【考点】众数、中位数、平均数；频率分布直方图． 【分析】（Ⅰ）利用频率分布直方图，根据频率=，求出对应的数值即可； （Ⅱ）根据频率分布直方图，求出该组数据的中位数与平均数． 【解答】解：（Ⅰ）∵第七组的频率为 1﹣5×（0.008+0.008+0.016+0.016+0.04+0.04+0.06）=0.06， ∴其样本数为0.06×100=6；… 又∵5×（0.008+0.016+0.04）=0.32， ∴高一年级800名学生身高低于170厘米的人数为 0.32×100×8=256（人）；… （Ⅱ）从图中知由前四组的频率为 5×（0.008+0.016+0.04+0.04）=0.52，0.52﹣0.5=0.02， ∴在第四组中，0.02=0.04×0.5， ∴175﹣0.5=174.5， ∴中位数为174.5cm；… 平均数为： 157.5×0.04+162.5×0.08+167.5×0.2+172.5×0.2 +177.5×0.3182.5×0.08+187.5×0.06+192.5×0.04=174.1（cm）． … 19. 已知椭圆经过点（0，1），离心率 （I）求椭圆C的方程； （II）设直线与椭圆C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为A’.试问：当m变化时直线与x轴是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由。 参考答案： 解：（I）依题意可得 解得     所以椭圆C的方程是    （II）由 得即且△>0恒成立. 记，则           ∴的直线方程为       略 20. （14分）已知曲线 y = x3 + x－2 在点 P0 处的切线 平行直线 4x－y－1=0，且点 P0 在第三象限, （1）求P0的坐标; ⑵若直线 , 且 l 也过切点P0 ,求直线l的方程. 参考答案： ⑴由y=x3+x－2，得y′=3x2+1， 由已知得3x2+1=4，解之得x=±1.当x=1时，y=0;当x=－1时，y=－4. 又∵点P0在第三象限, ∴切点P0的坐标为 (－1,－4). ⑵∵直线,的斜率为4,∴直线l的斜率为, ∵l过切点P0,点P0的坐标为 (－1,－4) ∴直线l的方程为即. 21. 在ABC中，,  sinB=. （I）求sinA的值；  (II)设AC=，求ABC的面积.  参考答案： 解析：（Ⅰ）（8分）由，且，∴， ∴，∴， 又，∴ （Ⅱ）（8分）由正弦定理得，又 ∴ 22. 已知点为抛物线内一定点，过作两条直线交抛物线于，且分别是线段的中点． （1）当时，求△的面积的最小值； （2）若且，证明：直线过定点，并求定点坐标。 参考答案： 所在直线的方程为，代入中，得， 设，则有，从而． 则．-----------------------------3分 设所在直线的方程为，同理可得． （1），．       -----------------------------4分 又，故，于是△的面积 ， 当且仅当时等号成立． 所以，△的面积的最小值为               ------------------------------------------6分 （2），所在直线的方程为， 即．                   ------------------------------------------9分 又，即，代入上式，得， 即 ．∵，∴是此方程的一组解， 所以直线恒过定点．                  ------------------------------------------12分