2022年江苏省南京市溧水县永阳中学高二数学理月考试题含解析

2022年江苏省南京市溧水县永阳中学高二数学理月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是（     ） 参考答案： D 2. 不等式组表示的平面区域的面积是（    ）     A．      B．      C．      D． 参考答案： B 3. 关于的不等式对恒成立，则实数的取值范围是 A．(－∞， 0)     B．(－∞，0)∪   C．(－∞，0]     D．(－∞，0]∪ 参考答案： C 略 4. 若P(2，－1)为圆(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程为(　 　) A．x－y－3＝0      B．2x＋y－3＝0    C．x＋y－1＝0    D．2x－y－5＝0 参考答案： A 设圆心为O，则O（1，0），所以，所以所求直线的斜率为1，所以所求直线方程为。 5. 若随机变量X服从两点分布，其中P（X=0）=，则E（3X+2）和D（3X+2）的值分别是（　　） 　 A． 4和2 B． 4和4 C． 2和4 D． 2和2 参考答案： A 略 6. 函数的部分图象如图所示，则＝（  ） A.6       B.4     C.    D. 参考答案： A 7. 根据如图所示的程序框图，当输入的x值为3时，输出的y值等于（   ） A. 1 B. C. D. 参考答案： C 【分析】 根据程序图，当x<0时结束对x的计算，可得y值。 【详解】由题x=3，x=x-2=3-1，此时x>0继续运行，x=1-2=-1<0，程序运行结束，得，故选C。 【点睛】本题考查程序框图，是基础题。 8. 如果命题“”是假命题，“”是真命题，那么(   ) A. 命题p一定是真命题 B. 命题q一定是真命题 C. 命题q一定是假命题 D. 命题q可以是真命题也可以是假命题 参考答案： D 【分析】 本题首先可以根据命题“”是假命题来判断命题以及命题的真假情况，然后通过命题“”是真命题即可判断出命题的真假，最后综合得出的结论，即可得出结果。 【详解】根据命题“”是假命题以及逻辑联结词“且”的相关性质可知： 命题以及命题至少有一个命题为假命题， 根据“”是真命题以及逻辑联结词“非”的相关性质可知： 命题是假命题， 所以命题可以是真命题也可以是假命题，故选D。 【点睛】本题考查命题的相关性质，主要考查逻辑联结词“且”与“非”的相关性质，考查推理能力，考查命题、命题、命题以及命题之间的真假关系，是简单题。   9. 已知2sin2α=1+cos2α，则tan（α+）的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣3或3 D．﹣1或3 参考答案： D 【考点】两角和与差的正切函数． 【分析】由倍角公式求得sinα与cosα的数量关系，结合正弦、余弦以及正切函数的转化关系进行解答即可． 【解答】解：∵2sin2α=1+cos2α， ∴4sinαcosα=1+2cos2α﹣1， 即2sinαcosα=cos2α， ①当cosα=0时，，此时， ②当cosα≠0时，，此时， 综上所述，tan（α+）的值为﹣1或3． 故选：D． 10. 设，则二项式的展开式的常数项是（    ） A. -160 B. -80 C. 80 D. 160 参考答案： B 【分析】 求出定积分的值，然后求出二项式的展开式的通项公式，然后化简，让的指数为零，最后求出常数项. 【详解】，， 所以，令，所以常数项为，故本题选B. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若集合中的每个元素都可表为中两个不同的数之积，则集中元素个数的最大值为          . 参考答案： 31 解析：从中每次取一对作乘积，共得个值，但其中有重复，重复的情况为，共种，因此集合中至多有 个数 12. 若数列中，则。 参考答案： 略 13. 若存在实数满足，则实数a的取值范围是       。 参考答案： (,5) 略 14. 若对于任意实数x，|x+a|﹣|x+1|≤2a恒成立，则实数a的最小值为　　． 参考答案： 【考点】函数恒成立问题． 【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用． 【分析】利用绝对值的几何意义求解． 【解答】解：由题意：|x+a|﹣|x+1|表示数轴上的x对应点到﹣a对应点的距离减去它到﹣1对应点的距离， 故它的最大值为|a﹣1|． 由于对于任意实数x，有|x+a|﹣|x+1|＜2a恒成立，可得|a﹣1|＜2a， 解得：a． ∴实数a的最小值为：． 故答案为：． 【点评】本题考查了绝对值的几何意义．属于基础题． 15. 在直角坐标系xOy中，圆O的方程为，将其横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到曲线C，则曲线C的普通方程为_____． 参考答案： 【分析】 根据题意，设P为曲线C上任意一点，分析可得其对应圆O上的点的坐标为（x，y），又由圆O的方程为x2+y2＝1，分析可得答案． 【详解】根据题意，设为曲线上任意一点，则对应圆上的点的坐标为， 又由圆的方程为，则有； 即曲线的普通方程为； 故答案为：． 【点睛】本题考查直角坐标系下的伸缩变化，注意伸缩变化的公式，属于基础题． 16. 类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的一些性质：?“各棱长相等，同一顶点上的两条棱的夹角相等；?各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角相等；?各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任何两条棱的夹角相等。你认为比较恰当的是            参考答案： ② 17. 函数在区间上的最大值是4，则=             ． 参考答案： -3或 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知椭圆=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点（1，e）和都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设a＞2，B1，B2分别是线段OF1，OF2的中点，过点B1作直线交椭圆于P，Q两点．若PB2⊥QB2，求△PB2Q的面积． 参考答案： 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】（Ⅰ）将（1，e）和代入椭圆方程，即可求得a和b的值，即可求得椭圆的方程； （Ⅱ）由a＞2，求得椭圆的方程，设PQ方程为x=my﹣1，代入椭圆方程，则由PB2⊥QB2，，利用韦达定理求得：m2=4，利用弦长公式及三角形的面积公式△PB2Q的面积．… 【解答】解：（Ⅰ）因为（1，e）和在椭圆上，且， ∴，… 由（1）得b2=1，… 带入（2）整理得4a4﹣25a2+25=0，解得a2=5或， ∴椭圆的方程为，或者．… （Ⅱ）由（Ⅰ）知，c2=5﹣1=4， ∴F1（﹣2，0），F2（2，0），B1（﹣1，0），B2（1，0）．… 由题意知PQ的斜率不为0，设PQ方程为x=my﹣1， 联立方程，… 设P（x1，y1），Q（x2，y2），由韦达定理得… ∵，且PB2⊥QB2， 则，… ∴（my1﹣1）（my2﹣1）﹣（my1﹣1+my2﹣1）+1+y1y2， =（m2+1）y1y2﹣2m（y1+y2）+4， =， ∴m2=4，… ∴， ∴， ∴．… 19. 在平面直角坐标系中，直线l与抛物线相交于不同的A，B两点． (Ⅰ)如果直线l过抛物线的焦点，求的值； (Ⅱ)如果，证明直线l必过一定点，并求出该定点．   参考答案： 解：(1)由题意知抛物线焦点为(1,0)， 设l：x＝ty＋1，代入抛物线y2＝4x， 消去x得y2－4ty－4＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4， ∴·＝x1x2＋y1y2 ＝(ty1＋1)(ty2＋1)＋y1y2 ＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1＋y1y2 ＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3. (2)证明：设l：x＝ty＋b代入抛物线y2＝4x，消去x得y2－4ty－4b＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b， ∴·＝x1x2＋y1y2 ＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2 ＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2 ＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b. 令b2－4b＝－4，∴b2－4b＋4＝0，∴b＝2. ∴直线l过定点(2,0)． ∴若·＝－4，则直线l必过一定点(2,0)．   20. 对某种电子元件的使用寿命进行调查,抽样200个检验结果如表： 寿命(h) 个数 20 30 80 40 30 ⑴补充频率分布表； ⑵画出频率分布直方图以及频率分布折线图； ⑶根据频率分布直方图，求这种电子元件的众数、中位数. 参考答案： 19、解:（1）                        （2）  分组 频数 频率 20 0.1 30 0.15 80 0.4 40 0.2 30 0.15 合计 200 1.00 （3）众数为350，中位数为。 略 21. 在等比数列中，， （1）和公比；     （2）前6项的和． 参考答案： （1）在等比数列中，由已知可得： 解得： 或     （2）   当时， ．   当时， 略 22. 已知函数f（x）是定义域在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递减，求满足f（x2+2x+3）＞f（﹣x2﹣4x﹣5）的x的集合． 参考答案： 【考点】3N：奇偶性与单调性的综合． 【分析】利用偶函数的性质及f（x）在（﹣∞，0）上单调性，把f（x2+2x+3）＞f（﹣x2﹣4x﹣5）转化为关于x2+2x+3、﹣x2﹣4x﹣5的不等式，解出即可． 【解答】解：因为f（x）为R上的偶函数，所以f（x2+2x+3）=f（﹣x2﹣2x﹣3）， 则f（x2+2x+3）＞f（﹣x2﹣4x﹣5）即为f（﹣x2﹣2x﹣3）＞f（﹣x2﹣4x﹣5）． 又﹣x2﹣2x﹣3＜0，﹣x2﹣4x﹣5＜0，且f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减， 所以﹣x2﹣2x﹣3＜﹣x2﹣4x﹣5，即2x+2＜0，解得x＜﹣1． 所以满足f（x2+2x+3）＞f（﹣x2﹣4x﹣5）的x的集合为{x|x＜﹣1}． 【点评】本题考查函数的单调性、奇偶性，解决本题的关键是综合应用奇偶性、单调性去掉不等式中的符号“f”．