湖南省永州市道州英豪实验学校2022年高二数学理联考试卷含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知各项均为正数的等比数列，，，则（ ）
A． B． 7 C． 6 D．
参考答案：
A
2. 设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，g（x）≠0，当x＜0时，f′（x）g（x）﹣f（x）g′（x）＞0，且f（﹣3）=0，则不等式＜0的解集是（ ）
A．（﹣3，0）∪（3，+∞） B．（﹣3，0）∪（0，3） C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）
参考答案：
D
【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．
【分析】由条件利用导数求得当x＜0时，是增函数，故当x＞0时，也是增函数，的图象关于原点对称．再结合f（﹣3）=﹣f（3）=0，求得不等式的解集．
【解答】解：∵当x＜0时，f′（x）g（x）﹣f（x）g′（x）＞0，
∴[]′=＞0，
∴当x＜0时，是增函数，故当x＞0时，也是增函数．
∵f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，
∴为奇函数，的图象关于原点对称，
函数的单调性的示意图，如图所示：
∵f（﹣3）=0，∴f（3）=0，∴由不等式＜0，
可得x＜﹣3 或0＜x＜3，
故原不等式的解集为{x|x＜﹣3 或0＜x＜3 }，
故选：D．
3. 不等式的解集为（ ）
A．（﹣∞，0]∪（1，+∞） B．[0，+∞） C．[0，1）∪（1，+∞） D．（﹣∞，0]∪[1，+∞）
参考答案：
A
【考点】其他不等式的解法．
【专题】计算题；不等式的解法及应用．
【分析】先将此分式不等式等价转化为一元二次不等式组，特别注意分母不为零的条件，再解一元二次不等式即可．
【解答】解：不等式??x（x﹣1）≤0且x≠0?1＜x或x≤0，
不等式的解集为：（﹣∞，0]∪（1，+∞）
故选A．
【点评】本题考察了简单分式不等式的解法，一般是转化为一元二次不等式来解，但要特别注意转化过程中的等价性．
4. 方程表示的曲线是（ ）
A.抛物线 B.一个圆 C.两个圆 D. 一个半圆
参考答案：
D
5. 抛物线的焦点到准线的距离是（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
C
6. 设是曲线C：为参数，）上任意一点，则的取值范围是 （ ）
A. B.
C. D.
参考答案：
C
7. 双曲线x2-y2=1右支上一点P（a,b）到直线y=x的距离为，则a+b的值是（ ▲ ）
A． - B． C． -或 D．2或
参考答案：
B
略
8. 设，则 （ ）
A． B． C. D．
参考答案：
B
略
9. 抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（ ）
A. B. C. D.
参考答案：
B
10. 已知抛物线上一点M (,4) 到焦点F 的距离|MF |＝，则直线 MF 的斜率 ( )
A．2 B． C． D．
参考答案：
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若集合中的每个元素都可表为中两个不同的数之积，则集中元素个数的最大值为 .
参考答案：
31
解析：从中每次取一对作乘积，共得个值，但其中有重复，重复的情况为，共种，因此集合中至多有 个数
12. 计算= ．
参考答案：
【考点】67：定积分．
【分析】欲求定积分，可利用定积分的几何意义求解，即可被积函数y=与x轴在0→1所围成的图形的面积即可．
【解答】解：根据积分的几何意义，原积分的值即为单位圆在第一象限的面积．
∴=，
故答案为：．
13. 已知，则_________.
参考答案：
5
【分析】
求导可得，令，则，即可求出，代入数据，即可求的值。
【详解】，
令，得，则，
故，．
【点睛】本题考查基本初等函数的求导法则，属基础题。
14. 函数f（x）=2sinx的最大值为 ．
参考答案：
2
【考点】三角函数的最值．
【分析】利用正弦函数的有界性解答即可．
【解答】解：因为sinx∈[﹣1，1]，
所以函数f（x）=2sinx的最大值为2．
故答案为：2．
15. 设，式中变量满足下列条件，则的最大值为 ．
参考答案：
16. 平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+2|= ．
参考答案：
2
【考点】向量的模．
【专题】计算题；平面向量及应用．
【分析】根据平面向量数量积的定义，求出?的值，再求向量的模长即可．
【解答】解：由题意得，||=2，||=1，向量与的夹角为60°，
∴?=2×1×cos60°=1，
∴|+2|=
=
=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了平面向量数量积的定义以及向量模长的计算问题，是基础题目．
17. 已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m=______.
参考答案：
【分析】
化双曲线方程为标准方程，求得的值，依题意列方程，解方程求得的值.
【详解】双曲线方程化为标准方程得，故，
依题意可知，即，解得.
【点睛】本小题主要考查双曲线的标准方程，考查双曲线的虚轴和实轴，考查运算求解能力，属于基础题.
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 有四个数，其中前三个成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数。
参考答案：
解：设这四个数分别为x , y , 12-y , 16-x ……………2`
依题意得： 2y=x+12-y且(12-y)2=y(16-x) ………………2+2
解得：x=0 , y=4或x=15,y=9…………………2`
所以：所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1………………….2`
略
19. 已知命题p：方程﹣=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：双曲线﹣=1的离心率e∈（1，2）．若命题p、q有且只有一个为真，求m的取值范围．
参考答案：
【考点】命题的真假判断与应用；椭圆的标准方程；双曲线的简单性质．
【专题】计算题．
【分析】根据题意求出命题p、q为真时m的范围分别为0＜m＜、0＜m＜15．由p、q有且只有一个为真得p真q假，或p假q真，进而求出答案即可．
【解答】解：将方程改写为，
只有当1﹣m＞2m＞0，即时，方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，所以命题p等价于；
因为双曲线的离心率e∈（1，2），
所以m＞0，且1，解得0＜m＜15，
所以命题q等价于0＜m＜15；…
若p真q假，则m∈?；
若p假q真，则
综上：m的取值范围为…
【点评】本小题主要考查命题的真假判断与应用、椭圆的标准方程、双曲线的简单性质、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．
20. 已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且Sn、an、成等差数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若，设，求数列{Cn}的前项和Tn．
参考答案：
【考点】数列的求和．
【分析】（Ⅰ） Sn、an、成等差数列．即，再利用1）根据Sn与an的固有关系an= 去解
（Ⅱ）（Ⅱ），∴bn=4﹣2n， ==，可用错位相消法求和．
【解答】解：（Ⅰ） 由题意知
当n=1时，；
当
两式相减得an=2an﹣2an﹣1（n≥2），整理得：（n≥2）
∴数列{an}是为首项，2为公比的等比数列.
（Ⅱ），
∴bn=4﹣2n
==，
①
②
①﹣②得
∴
【点评】本题考查Sn与an关系的具体应用，指数的运算，数列错位相消法求和知识和方法．要注意对n的值进行讨论
21. 已知⊙M：x2＋(y－2)2＝1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别
切⊙M于A，B两点．
(1)若|AB|＝，求|MQ|、Q点的坐标以及直线MQ的方程；
(2)求证：直线AB恒过定点．
参考答案：
略
22. （本小题满分14分）已知，设：函数在上单调递增；：不等式对任意都成立.若“”为真，“”为假，求实数的取值范围.
参考答案：
命题p真：a>1,命题Q真：0
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