河北省邯郸市赵站中学高三数学文月考试题含解析

河北省邯郸市赵站中学高三数学文月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 集合，则＝（　　） A．{0,2,3} B．{0,1,4} C．{1,2,3} D．{1,4,5} 参考答案： D 略 2. 已知，则下列结论错误的是 A. B. C. D. 参考答案： C 3. 下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为(    )  A  y=cos2x，xR       B.   y=log2|x|，xR且x≠0  C. y=，xR     D. ，xR     参考答案： B A,B为偶函数，C为奇函数，D为非奇非偶函数，排除C,D.当时，单调递增，选B. 4. 在下列各组函数中，表示同一函数的是（　　） 　 A． 和 B． y=x和 C． 和y=2lnx D． 和 参考答案： D 5. 设抛物线的顶点在原点,准线方程为  则抛物线的方程是 A．       B．  C．       D． 参考答案： B 6. 已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）﹣1（ω＞0，|φ|＜π）的一个零点是，函数y=f（x）图象的一条对称轴是x=﹣，则ω取得最小值时，函数f（x）的单调区间是（　　） A．[3kπ﹣，3kπ﹣]，k∈Z B．[3kπ﹣，3kπ﹣]，k∈Z C．[2kπ﹣，2kπ﹣]，k∈Z D．[2kπ﹣，2kπ﹣]，k∈Z 参考答案： B 【考点】H2：正弦函数的图象． 【分析】根据函数f（x）的一个零点是x=，得出f（）=0，再根据直线x=﹣是函数f（x）图象的一条对称轴，得出﹣ω﹣φ=+kπ，k∈Z；由此求出ω的最小值与对应φ的值，写出f（x），求出它的单调增区间即可． 【解答】解：函数f（x）=2sin（ωx﹣φ）﹣1的一个零点是x=， ∴f（）=2sin（ω﹣φ）﹣1=0， ∴sin（ω﹣φ）=， ∴ω﹣φ=+2kπ或ω﹣φ=π+2kπ，k∈Z； 又直线x=﹣是函数f（x）图象的一条对称轴， ∴﹣ω﹣φ=+kπ，k∈Z； 又ω＞0，|φ|＜π， ∴ω的最小值是，φ=， ∴f（x）=2sin（x+）﹣1； 令﹣+2kπ≤x+≤+2kπ，k∈Z， ∴﹣+3kπ≤x≤﹣+3kπ，k∈Z； ∴f（x）的单调增区间是[﹣+3kπ，﹣ +3kπ]，k∈Z． 故选：B． 【点评】本题考查了正弦型三角函数的图象与性质的应用问题，是综合性题目． 7. 定义一种运算“*”对于正整数满足以下运算性质：(1)；(2) ，则         .   参考答案： 略 8. 定义2×2矩阵，若，则的图象向右平移个单位得到的函数解析式为   A．    B．   C．          D． 参考答案： D 9. F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，A是其右顶点，过F2作x轴的垂线与双曲线的一个交点为P，G是的重心，若，则双曲线的离心率是 （    ）     A．2    B． C．3    D． 参考答案： C 略 10. 若函数的图像经过第一、三、四象限，则一定有（    ）  A.   B.   C.   D. 参考答案： A 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若二项式的展开式共7项，则该展开式中的常数项为___________. 参考答案： 60 12. 经过点且与原点的距离为2的直线方程为******      。 参考答案： 或    13. 《九章算术》把底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，把底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”现有如图所示的“塹堵”ABC - A1B1C1，其中，当“阳马”即四棱锥体积为时，则“堑堵”即三棱柱ABC - A1B1C1的外接球的表面积为_____. 参考答案： 【分析】 利用棱锥的体积公式结合已知可以求出的值，这样可以求出三棱柱ABC - A1B1C1的外接球的直径，最后利用球表面积公式求解即可. 【详解】 此时“塹堵”即三棱柱ABC - A1B1C1的外接球的直径为 ， 表面积为. 故答案为： 【点睛】本题考查了多面体外接球问题，考查了球的表面积公式，考查了棱锥的体积公式，考查了数学运算能力. 14. 已知函数的图象关于轴对称，则实数的值是_______________. 参考答案： 【分析】本题考察函数的基本性质，本题处理的方法如果不同，那么本题侧重的知识点就有所不同，但本质上都是围绕着函数的对称性进行问题的求解。第一种入手的方法就是从条件“关于轴对称”入手，得知函数为偶函数，从而利用偶函数的代数性质，进行求解；另外一种处理手段是通过解析式对原始的图象带来的图象变化入手可以解得问题，或者直接使用图象变化的二级结论，即的图象关于对称，利用二级结论解决小题是最快的求解手段，而且，近几年北京高考对于函数图象变化的考核明显增多，望考生在后续复习时加大关注力度。 【解】 方法一：由于函数图像关于轴对称，那么函数为偶函数，那么，根据指数函数的单调性可知，，只有当时，等式恒成立，故填. 方法二：根据函数图像的变化规律可知，函数，由函数得到，首先将函数关于轴进行翻折，可以得到函数，此时函数关于轴对称，再将图象向左平移个单位得到，此时函数关于对称，根据题目条件可知对称轴为轴，故，故填.【注：此法结论可以当作一个二级结论记下，在考试小题求解中直接使用】 15. （5分）（2010秋?东台市期末）若方程表示椭圆，则k的取值范围是　　． 参考答案： （1，5）∪（5，9） 考点： 椭圆的定义． 专题： 计算题． 分析： 根据方程表示椭圆得到两个代数式的分母都大于0，且要两个分母不相等，解不等式组，得到k的取值范围． 解答： 解：∵方程表示椭圆， ∴9﹣k＞0，k﹣1＞0，9﹣k≠k﹣1 ∴k∈（1，5）∪（5，9） 故答案为：（1，5）∪（5，9）． 点评： 本题考查椭圆的定义，解题的关键是不要忽略调两个分母不相等的情况，即椭圆不是圆，把构成圆的情况去掉． 16. 若函数y=f(x) (x∈R)满足：f(x+2)=f(x)，且x∈[–1, 1]时，f(x) = | x |，函数y=g(x)是定义在R上的奇函数，且x∈(0, +∞)时，g(x) = log 3 x，则函数y=f(x)的图像与函数y=g(x)的图像的交点个数为_______． 参考答案： 4 f(x+2)=f(x)T f(x)的周期为2，由条件在同一坐标系中画出f (x)与g(x)的图像如右，由图可知有4个交点. 14．若实数a、b、c成等差数列，点P(–1, 0)在动直线l：ax+by+c=0上的射影为M，点N(0, 3)，则线段MN长度的最小值是      ． 【答案】 【解析】a、b、c成等差数列Ta-2b+c=0T a×1+b×(-2)+c=0，∴直线l：ax+by+c=0过定点Q(1,-2)，又P(–1, 0)在动直线l：ax+by+c=0上的射影为M，∴∠PMQ=90°，∴M在以PQ为直径的圆上,圆心为C(0, -1)，半径r=，线段MN长度的最小值即是N(0, 3)与圆上动点M距离的最小值=|NC|-r=4-. 17. 在平面直角坐标系中，有一定点，若线段的垂直平分线过抛物线 （）的焦点，则抛物线的方程为_____________． 参考答案： 【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识. 【知识内容】图形与几何/曲线与方程/抛物线的标准方程和几何性质. 【试题分析】设抛物线的焦点坐标为，线段的中点坐标为，因为,所以经过抛物线焦点的线段OA的垂直平分线的斜率，所以，则抛物线的标准方程为，故答案为. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知，函数 （Ⅰ）若函数在[2,+∞)上为减函数，求实数a的取值范围； （Ⅱ）设正实数，求证：对上的任意两个实数，，总有成立 参考答案： （Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析. 【分析】 （Ⅰ）将问题转化为在上恒成立，可得，令，可判断出在上单调递增，即，从而可得的范围；（Ⅱ）构造函数，，且；利用导数可判断出在上是减函数，得到，经验算可知，从而可得，从而可证得结论. 【详解】（Ⅰ）由题意知： 函数在上为减函数，即在上恒成立 即：在上恒成立 设 当时，单调递减，单调递增 在上单调递增        即的取值范围为： （Ⅱ）设，令：， 则 ，令，则 在上为减函数    ，即 在上是减函数    ，即 时，     【点睛】本题考查利用函数在区间内的单调性求解参数范围、利用导数证明不等式成立的问题.本题证明不等式的关键是能够通过构造函数，将问题转化为求解新函数单调性和最值的问题，根据最值可证得对应的结论. 19. 已知函数，. （Ⅰ）若不等式对恒成立，求正实数m的取值范围； （Ⅱ）设实数t为（Ⅰ）中m的最大值.若正实数a、b、c满足，求的最小值. 参考答案： （Ⅰ）；（Ⅱ）8. 【分析】 （Ⅰ）利用绝对值不等式可求的最小值为，从而有，结合可得的取值范围. （Ⅱ）利用基本不等式可求的最小值. 【详解】（1），当且仅当时等号成立， ，解得，正实数的取值范围为. （2）由（1）知，，即. ，， ， 当且仅当时取得最小值为8. 【点睛】本题考查绝对值不等式以及基本不等式的应用，注意绝对值不等式中，等号成立的条件是，而用基本不等式求最值时，注意验证等号成立的条件. 20. 设函数. 当时,求的极值； 当时,求的单调递减区间； 当时,对任意正整数, 在区间上总存在个数, 使得成立，试问正整数是否有最大值？若有请求出其最大值；否则，说明理由。 参考答案： 略 21. 某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所示： （Ⅰ）该同学为了求出关于的线性回归方程，根据表中数据已经正确计算出，试求出的 值，并估计该厂月份生产的甲胶囊产量数；. （Ⅱ）若某药店现有该制药厂今年二月份生产的甲胶囊4盒和三月份生产的甲胶囊5盒，小红同学从中随机购买了3盒甲胶囊，后经了解发现该制药厂今年二月份生产的所有甲胶囊均存在质量问题．记小红同学所购买的3盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为，求的分布列和数学期望． 参考答案： 解：（Ⅰ）， 因线性回归方程过点， ∴， ∴6月份的生产甲胶囊的产量数： （Ⅱ） 其分布列为 0 1 2 3 略 22. (本题12分)某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动．活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券．（假定指针等可能地停在任一位置, 指针落在区域的边界时，重新转一次）指针所在的区域及对应的返劵金额见下表．例如：          消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和．      （1）已知顾客甲消费后获得n次转动转盘的机会，已知他每转一次转盘指针落在区域边界的概率为，每次转动转盘的结果相互独立，设为顾客甲转动转盘指针落在区域边界的次数，的数学期望,标准差，求、的值；    （2）顾客乙消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为（元)．求随机变量的分布列和数学期望． 参考答案： 解：（1）依题意知，服从二项分布，∴ 又，解得： （2）设指针落在A,B,C区域分别记为事件A,B,C. 则. 随机变量的可能值为0，30，60，90，120.   所以，随机变量