山西省晋中市交城第一中学2022-2023学年高三数学文模拟试题含解析

山西省晋中市交城第一中学2022-2023学年高三数学文模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 如果一个三位数的各位数字互不相同，且各数字之和等于10，则称此三位数为“十全十美三位数”（如235），任取一个“十全十美三位数”，该数为奇数的概率为（    ） A．   B．   C．   D． 参考答案： C 2. 已知集合，若，则实数取值范围为（   ） A .     B.       C.       D. 参考答案： B 3. 已知实数x，y满足不等式组，则目标函数z=2y﹣x的最大值为（　　） A．14 B．13 C．12 D．11 参考答案： D 【考点】简单线性规划． 【分析】画出约束条件表示的可行域，判断目标函数z=2y﹣x的位置，求出最大值． 【解答】解：作出约束条件不等式组的可行域如图， 目标函数z=2y﹣x在A处取得最小值， 由解得A（7，9）， 目标函数z=2y﹣x的最大值为z=2×9﹣7=11． 故选：D． 4. 已知过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，且，抛物线的准线与轴交于点C， 于点，若四边形的面积为，则准线的方程为 A．         B．         C．         D． 参考答案： A 设|BF|=m，|AF|=3m，则|AB|=4m，p=m，∠BAA1=60°， ∵四边形AA1CF的面积为， ∴=， ∴m=，∴=， ∴准线l的方程为x=﹣， 故选A．   5. 复数在复平面内对应的点位于 A. 第一象限    B. 第二象限    C. 第三象限    D. 第四象限 参考答案： D 6. 已知函数f（x）=的图象上存在不同的两点A、B，使得曲线y=f（x）在这两点处的切线重合，则点A的横坐标的取值范围可能是（　　） A．（﹣，0） B．（﹣1，﹣） C．（，1） D．（1，2） 参考答案： A 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】先根据导数的几何意义写出函数f（x）在点A、B处的切线方程，再利用两直线重合的充要条件：斜率相等且纵截距相等，列出关系式，求得x14﹣2x1﹣1=0，由零点存在定理，判断A，B，再由关系式，确定x2的范围，即可判断C，D． 【解答】解：当x＜0时，f（x）=x2+x的导数为f′（x）=2x+1； 当x＞0时，f（x）=﹣的导数为f′（x）=， 设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））为该函数图象上的两点，且x1＜x2， 当x1＜x2＜0，或0＜x1＜x2时，f′（x1）≠f′（x2），故x1＜0＜x2， 当x1＜0时，函数f（x）在点A（x1，f（x1））处的切线方程为 y﹣（x12+x1）=（2x1+1）（x﹣x1）； 当x2＞0时，函数f（x）在点B（x2，f（x2））处的切线方程为y+=（x﹣x2）． 两直线重合的充要条件是=2x1+1①，﹣=﹣x12②， 由x1＜0＜x2得0＜＜1， 由①②可得x14﹣2x1﹣1=0， 设f（x）=x4﹣2x﹣1，由f（﹣）=＞0，f（0）=﹣1＜0， 可得x1∈（﹣，0），A可能； 由f（﹣1）=＞0，B不正确； 由①可得x2＞1，由②可得=x12＜，即有x2＞8， 则C，D不正确． 故选：A． 7. 已知如图所示的程序框图是为了求出使n!＜5000的n最大值，那么在①和②处可以分别填入（　　） A. S＜5000？；S＝n?（n+1） B. S≥5000？；S＝S?n C. S＜5000？；S＝S?n D. S≥5000？；S＝n?（n+1） 参考答案： C 【分析】 根据程序框图了解程序功能进行求解． 【详解】因为要求“否”时，n＝n﹣1，然后输出n，所以①处应填S＜5000？； 又因为使n!＜5000的n的最大值，所以②处应该填S＝S?n， 故选：C． 【点睛】本题主要考查程序框图的识别和判断，了解程序框图的功能是解决本题的关键． 8. 在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，若B=，b=6，sinA﹣2sinC=0，则a=（　　） A．3 B．2 C．4 D．12 参考答案： C 【考点】正弦定理． 【分析】由已知及正弦定理可得：c=，进而利用余弦定理即可求得a的值． 【解答】解：∵sinA﹣2sinC=0， ∴由正弦定理可得：c=， ∵B=，b=6， ∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，可得：62=a2+（a）2﹣2a，整理可得：a=4，或﹣4（舍去）． 故选：C． 　 9. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S8=32，则a2+a7=（　　） 　 A． 1 B． 4 C． 8 D． 9 参考答案： 考点： 等差数列的前n项和． 专题： 等差数列与等比数列． 分析： 利用等差数列的通项公式和前n项和公式求解． 解答： 解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，S8=32， ∴，∴a2+a7=8．故选：C． 点评： 本题考查等差数列的两项和的求法，是基础题，解题时要注意等差数列的性质的合理运用． 10. 若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25， 则可以是 A.                    B.     C.                     D. 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 将一些正整数按如下规律排列，则10行第3个数为　　 第1行 1  2 第2行  2   4    6    8 第3行 4   7    10   13 第4行 8   12   16   20   24 … 参考答案： 532 【考点】F1：归纳推理． 【分析】：由题意，10行第3个数为29=512，公差为10，即可得出结论． 【解答】解：由题意，10行第3个数为29=512，公差为10，∴10行第3个数为532． 故答案为532． 【点评】本题借助于一个三角形数阵考查等差数列的应用，属基础题． 12. 甲、乙两人参加法律知识竞赛，共有10道不同的题目，其中选择题有6道，判断题4道，甲、乙两人依次各抽一题（不能抽同一题）．则甲、乙中至少有一人抽到选择题的概率等于　　．（用数字作答） 参考答案： 【考点】古典概型及其概率计算公式． 【分析】先求出基本事件总数和甲、乙都抽到判断题包含的基本事件个数，由此利用对立事件概率计算公式能求出甲、乙中至少有一人抽到选择题的概率． 【解答】解：甲、乙两人参加法律知识竞赛，共有10道不同的题目，其中选择题有6道，判断题4道， 甲、乙两人依次各抽一题（不能抽同一题）． 基本事件总数n=10×9=90， 甲、乙都抽到判断题包含的基本事件个数m=4×3=12， ∴甲、乙中至少有一人抽到选择题的概率： p=1﹣=1﹣=． 故答案为：． 【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用． 13. 过点的直线与圆截得的弦长为，则该直线的方程为 。 参考答案： 14. 若函数在上可导，，则           . 参考答案： -4 15. 若双曲线与有相同的焦点，则实数m=_________. 参考答案： 4 【分析】 结合双曲线的几何性质，得到，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，双曲线与有相同的焦点， 可得，解得. 故答案为：4. 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及几何性质的应用，其中解答中熟练应用双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题. 16. 以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线的极坐标方程为(∈R)，它与曲线（为参数)相交于两点A和B，则       ．   参考答案： 略 17. 在某大型企业的招聘会上，前来应聘的本科生、硕士研究生和 博士研究生共2000人，各类毕业生人数统计如图所示，则博士研究生 的人数为_____. 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数f（x）=xex﹣lnx（ln2≈﹣0.693，≈1.648，均为不足近似值） （1）当x≥1时，判断函数f（x）的单调性； （2＞证明：当x＞0时，不等式f（x）＞恒成立． 参考答案： 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性． 【分析】（1）求出函数的导数，判断导函数的符合，求出函数的单调区间即可；（2）求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可． 【解答】解：（1）对f（x）=xex﹣lnx求导得f′（x）=（x+1）ex﹣， ∵x≥1时，（x+1）ex≥2e，≤1， ∴f′（x）≥2e﹣1＞0， ∴f（x）在[1，+∞）递增； （2）证明：∵f′（）=1.25﹣4＜1.25×2﹣4＜0， f′（）=﹣2＞×1.648﹣2=0.472＞0， 又f′（x）在（0，+∞）递增， ∴f′（x）在（0，+∞）内有唯一1个零点x0， 且（x0+1）=，x0∈（，）， ∴x=x0是f（x）在（0，+∞）上唯一的极小值点，也是最小值值点， ∴f（x）≥f（x0）=x0﹣lnx0=﹣lnx0，＜x0＜， ∴f（x）在[，]递减， ∴f（x0）≥f（）=+ln2＞+0.639＞1.359＞， ∴f（x）＞． 19. 以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，已知点P的直角坐标为（1，－5），点M的极坐标为（4，），若直线过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心，4为半径。 （I）求直线的参数方程和圆C的极坐标方程。 （II）试判定直线与圆C的位置关系。 参考答案： 解：（1）直线的参数方程（t为参数）          M点的直角坐标为（0，4）  圆C半径         图C方程        得 代入         得圆C极坐标方程    （2）直线的普通方程为      圆心M到的距离为       ∴直线与圆C相离。 略 20. 如图，四边形是矩形，沿对角线将折起，使得点在平面上的射影恰好落在边上. （1）求证：平面平面； （2）当时，求二面角的余弦值. 参考答案： （I）设点在平面上的射影为点，连接 则平面，所以. 因为四边形是矩形，所以，所以平面， 所以. 又，所以平面，而平面， 所以平面平面. ……………… 5分 （II）方法1：在矩形中，过点作的垂线，垂足为，连结. 因为平面，又DM∩DE=D 所以平面， 所以为二面角的平面角.                ………………8分 设，则. 在中，易求出，. 在中，， 所以.       ……………… 12分 方法2：以点为原点，线段所在的直线为轴，线段所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示.                         ……………… 6分 设，则，所以，. 由（I）知，又，所以°，°，那么，，， 所以，所以，.  ………8分 设平面的一个法向量为，则即 取，则，，所以.       ………………10分 因为平面的一个法向量为， 所以. 所以求二面角的余弦值为.              ……………… 12分 21. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知△ABC的面积． （Ⅰ）求sinA与cosA的值； （Ⅱ）设，若tanC=2，求λ的值． 参考答案： 【考点】余弦定理；两角和与差的余弦函数． 【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形． 【分析】（Ⅰ）由三角形面积