2022-2023学年广西壮族自治区贵港市一德中学高一数学理上学期期末试卷含解析

2022-2023学年广西壮族自治区贵港市一德中学高一数学理上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. △ABC中，AB=，AC=1，∠B=30°则△ABC的面积等于（　　） A．B．或 C． D．或 参考答案： B 【分析】结合正弦定理可得，从而可求sinC及C，利用三角形的内角和公式计算A，利用三角形的面积公式S△ABC=bcsinA进行计算可求． 【解答】解：△ABC中，c=AB=，b=AC=1．B=30° 由正弦定理可得 sinC= b＜c∴C＞B=30° ∴C=60°，或C=120° 当C=60°时，A=90°，S△ACB=bcsinA=×1××1= 当C=120°时，A=30°，S△ABC=×1××= 故选：B． 【点评】本题主要考查了三角形的内角和公式，正弦定理及“大边对大角”的定理，还考查了三角形的面积公式S△ABC=bcsinA=acsinB=absinC，在利用正弦定理求解三角形中的角时，在求出正弦值后，一定不要忘记验证“大边对大角”． 2. 若l、m、n是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列结论正确的是（　　） A．α∥β，l?α，n?β?l∥n B．α∥β，l?α?l⊥β C．l⊥n，m⊥n?l∥m D．l⊥α，l∥β?α⊥β 参考答案： D 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系． 【分析】A根据面面平行的性质进行判断．        B根据面面平行的性质以及线面垂直的判定定理进行判断． C根据直线垂直的性质进行判断．              D根据线面垂直和平行的性质进行判断． 【解答】解：对于A，α∥β，l?α，n?β，l，n平行或 异面，所以错误； 对于B，α∥β，l?α，l 与β 可能相交可能平行，所以错误； 对于C，l⊥n，m⊥n，在空间，l与m还可能异面或相交，所以错误． 故选D． 3. 设函数f（x）=sinx+cosx，x∈R，则f（x）的最小正周期为（　　） A． B．π C．2π D．3π 参考答案： C 【考点】H1：三角函数的周期性及其求法；GQ：两角和与差的正弦函数． 【分析】先由两角和的正弦函数公式求出函数解析式，即可由三角函数的周期性及其求法求值． 【解答】解：∵f（x）=sinx+cosx=2sin（x+）， ∴T==2π， 故选：C． 4. 在下列向量组中,能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是(    )              A.       B. C.      D.   参考答案： C 略 5. 已知A、B是以原点O为圆心的单位圆上两点，且||＝1，则·等于         A.   　　　    　B．  －         C.   　　  　　D．  －   参考答案： B 6. 等比数列中，，则（    ） A．4      B．8      C．16     D．32 参考答案： C 略 7. 现有数列{an}满足：a1=1，且对任意的m，n∈N*都有：，则（    ） A.    B.    C.    D. 参考答案： D 8. 直线：ax－y＋b＝0，：bx－y＋a＝0(a、b≠0，a≠b)在同一坐标系中的图形大致是(　 　) 参考答案： C 略 9. 已知，则等于（    ）Ks5u    A．       B． C． D． 参考答案： A 略 10. .“数列{an}为等比数列”是“数列为等比数列”的（） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件 参考答案： A 【分析】 数列{an}是等比数列与命题是等比数列是否能互推，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断． 【详解】若数列{an}是等比数列，则，∴，∴数列是等比数列， 若数列是等比数列，则，∴，∴数列不是等比数列， ∴数列{an}是等比数列是数列是等比数列的充分非必要条件， 故选：A． 【点睛】本题主要考查充分不必要条件的判断，注意等比数列的性质的灵活运用，属于基础题． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 博才实验中学共有学生1 600名，为了调查学生的身体健康状况，采用分层抽样法 抽取一个容量为200的样本．已知样本容量中女生比男生少10人，则该校的女生人数是______人． 参考答案： 760 略 12. 已知，，且与的夹角为，则            参考答案： -6 13. 若，则=             ; 参考答案： 略 14. △ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acosB＝5bcosA，asinA﹣bsinB＝2sinC，则边c的值为_______． 参考答案： 3 【分析】 由acosB＝5bcosA得，由asinA﹣bsinB＝2sinC得，解方程得解. 【详解】由acosB＝5bcosA得. 由asinA﹣bsinB＝2sinC得， 所以. 故答案：3 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.   三、解答题（本大题共5小题，共计74分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 已知，则的值是_________ 参考答案： 【分析】 因为所以利用诱导公式求解即可。 【详解】 【点睛】本题考查了诱导公式。本题的关键是观察并找到已知角 和所求角 之间的关系。 16. 设向量，则的夹角等于_____. 参考答案： 【知识点】平面向量坐标运算 【试题解析】因为 所以，的夹角等于。 故答案为： 17. 设A、B、C、D为球O上四点，若AB、AC、AD两两互相垂直，且，，则A、D两点间的球面距离            ． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数，函数（，且）． （Ⅰ）求函数的定义域； （Ⅱ）求使函数的值为正数的的取值范围． 参考答案： 解：（Ⅰ）由题意可知，， …1分     由， 解得 ，    ……………3分 ∴  ，      ……………4分     ∴函数的定义域是．……………5分 （Ⅱ）由，得  ， 即 ，   ①      ……………6分         当时，由①可得 ，解得，                    又，∴；   ……………8分       当时，由①可得 ，解得，                    又，∴．……………10分        综上所述：当时，的取值范围是；                  当时，的取值范围是．…………12分   19. （12分）已知函数f（x）=ax2﹣4x+c（a，c∈R），满足f（2）=9，f（c）＜a，且函数f（x）的值域为[0，+∞）． （Ⅰ）求函数f（x）的解析式； （Ⅱ）设函数g（x）=（k∈R），对任意x∈[1，2]，存在x0∈[﹣1，1]，使得g（x）＜f（x0）求k的取值范围． 参考答案： （Ⅰ）根据f(2)＝9，得4a＋c＝17 由函数f(x)的值域为[0，＋∞)知，方程ax2－4x＋c＝0，判别式△＝0，即 ac＝4，………………4分 又f(c)＜a，∴ac2－4c＋c＜a，即c＜a， 解得：a＝4，c＝1，所以f(x)＝4x2－4x＋1．                               …………6分 （Ⅱ）当x∈[－1，1]时，f(x)∈[0，9]， 对任意x∈[1，2]，存在x0∈[－1，1]，使得g(x)＜f(x0)，即 ∴k的取值范围是(－∞，6)．                      …………12分 20. 在数列中，，是给定的非零整数，． （1）若，，求；     （2）证明：从中一定可以选取无穷多项组成两个不同的常数数列． 参考答案： 解析：（1）∵，，，，，，，，，，，，，…… ∴自第22项起，每三个相邻的项周期地取值1，1，0，故=1．……4分 （2）首先证明数列必在有限项后出现零项．假设中没有零项， 由于，所以.时，都有．……………………6分 当时，（）； 当时，（）， 即的值要么比至少小1，要么比至少小1．…………………8分 令，，则． 由于是确定的正整数，这样下去，必然存在某项，这与矛盾，从而中必有零项．……………………………………………………….……10分 若第一次出现的零项为，记，则自第项开始，每三个相邻的项周期地取值，即， 所以数列中一定可以选取无穷多项组成两个不同的常数数列.……12分 21. 已知集合. （1）求集合； （2）若幂函数的图像经过点，求不等式的解集.       参考答案： 解： （1）依题方程有两个相等的实根 即方程有两个相等的实根      ………………………………2分 ∴得 ∴集合                           ………………………………6分 （2）设幂函数，则其图象经过点 ∴，得 ∴                                   ………………………………9分 不等式即，得       ………………………………11分 ∴不等式的解集为     ………………………………12分   略 22. (本小题满分12分) 已知圆过两点(1，－1)，(－1,1)，且圆心在上． (1)求圆的方程； (2)设P是直线上的动点，、是圆的两条切线，、为切点，求四边形面积的最小值． 参考答案： 解：(1)法一:线段的中点为(0,0),其垂直平分线方程为．··· 2分        解方程组所以圆的圆心坐标为(1,1)． 故所求圆的方程为：．·············· 4分 法二:设圆的方程为：， 根据题意得·················· 2分 解得． 故所求圆的方程为：．·············· 4分 (2)由题知，四边形的面积为 .············· 6分 又,， 所以，而， 即．························· 8分 因此要求的最小值，只需求的最小值即可， 即在直线上找一点，使得的值最小， 所以，·················· 10分 所以四边形面积的最小值为 .      12分 略