湖南省湘西市小溪桥中学高一数学理上学期期末试题含解析

湖南省湘西市小溪桥中学高一数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 函数y=sinx+cosx的值域是（　　） A．[﹣1，1] B．[﹣2，2] C． D． 参考答案： D 【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的定义域和值域． 【分析】利用两角和差的正弦公式 把函数y化为sin（x+），根据﹣1≤sin（x+）≤1，得到﹣≤sin（x+） ≤，从而得到函数y的值域． 【解答】解：函数y=sinx+cosx=sin（x+）， 由于﹣1≤sin（x+）≤1，∴﹣≤sin（x+）≤， 故函数y=sinx+cosx的值域是， 选D． 2. （5分）从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A={抽到一等品}，事件B={抽到二等品}，事件C={抽到三等品}，且已知 P（A）=0.65，P（B）=0.2，P（C）=0.1．则事件“抽到的不是一等品”的概率为（） A． 0.7 B． 0.65 C． 0.35 D． 0.3 参考答案： C 考点： 互斥事件的概率加法公式． 专题： 概率与统计． 分析： 根据对立事件的概率和为1，结合题意，即可求出结果来． 解答： 根据对立事件的概率和为1，得； ∵事件A={抽到一等品}，且 P（A）=0.65， ∴事件“抽到的不是一等品”的概率为 P=1﹣P（A）=1﹣0.65=0.35． 故选：C． 点评： 本题考查了求互斥事件与对立事件的概率的应用问题，是基础题目． 3. 若tan（π﹣a）=﹣，则的值为（　　） A．﹣ B．﹣15 C．D．15 参考答案： D 【分析】先求出tanα=，再弦化切，即可得出结论． 【解答】解：∵tan（π﹣α）=﹣， ∴tanα=， ∴=． 故选：D． 4. 某扇形的半径为1cm，它的弧长为2cm，那么该扇形的圆心角为（　　） A．2°          B. 4rad          C. 4°          D. 2rad 参考答案： D 5. cos210°=（　　） A．﹣ B．﹣ C． D． 参考答案： A 【考点】三角函数的化简求值． 【分析】由诱导公式，特殊角的三角函数值即可化简求值得解． 【解答】解：cos210°=cos=﹣cos30°=﹣． 故选：A． 6. 三个数,,的大小关系式是 A. <<          B. <<  C. <<          D. << 参考答案： B 略 7. （5分）下列函数：（1）f（x）=x3+2x；（2）f（x）=；（3）f（x）=x+；（4）f（x）=x﹣3；（5）f（x）=x+x5中，奇函数有（）个． A． 2 B． 3 C． 4 D． 5 参考答案： B 考点： 函数奇偶性的判断． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 因为函数的定义域都关于原点对称，所以只要将解析式的x换成﹣x，化简后观察f（﹣x）与f（x）的关系，若相同，则是偶函数，相反是奇函数． 解答： 经观察，各函数的定义域都关于原点对称； 对于（1），f（﹣x）=（﹣x）3+2（﹣x）=﹣（x3+2x）=﹣f（x），上奇函数； 对于（2），f（﹣x）==f（x）；上偶函数； 对于（3），f（﹣x）=﹣x﹣=﹣f（x），上奇函数； 对于（4），是非奇非偶的函数； 对于（5），f（﹣x）=﹣x+（﹣x）5=﹣（x+x5）=﹣f（x）； 所以奇函数有（1）（3）（5）三个； 故选B． 点评： 本题考查了函数奇偶性的判断，在函数定义域关于原点对称的前提下，判断f（﹣x）与f（x）的关系． 8. 已知扇形的弧长为6，圆心角弧度数为3，则其面积为（　　） A．3 B．6 C．9 D．12 参考答案： B 【考点】扇形面积公式． 【分析】利用扇形的面积计算公式、弧长公式即可得出． 【解答】解：由弧长公式可得6=3r，解得r=2． ∴扇形的面积S==6． 故选B． 【点评】本题考查了扇形的面积计算公式、弧长公式，属于基础题． 9. 设函数的图像过点，其反函数的图像过点，则等于 (     ) A．1              B．2             C．3            D． 参考答案： D 略 10. 函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在（4，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（　　） A．a≥5 B．a≥﹣3 C．a≤﹣3 D．a≤5 参考答案： B 【考点】二次函数的性质． 【分析】函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2的对称轴为x=1﹣a，由1﹣a≤4即可求得a． 【解答】解：∵函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2的对称轴为x=1﹣a， 又函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在[4，+∞）上是增函数， ∴1﹣a≤4， ∴a≥﹣3． 故选：B． 　 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若关于的方程组有解，且所有的解都是整数，则有序数对的数目为             。 参考答案： 。 解析：的整数解为， 所以这八个点两两所连的不过原点的直线有条，过这八个点的切线有条，每条直线确定了唯一的有序数对，所以有序数对的数目为。 12. 用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是：__________ 参考答案： 51 略 13. 若三点A（1，3）、B（a，0）、C（0，1）共线，则a的值等于　    　． 参考答案： ﹣ 【考点】三点共线． 【分析】三点A（1，3）、B（a，0）、C（0，1）共线，可得a≠0，1，kBA=kAC，利用斜率计算公式即可得出． 【解答】解：三点A（1，3）、B（a，0）、C（0，1）共线， 则a≠0，1，kBA=kAC，可得=，解得a=﹣． 故答案为：﹣． 14. 设偶函数f（x）满足：f（1）=2，且当时xy≠0时，，则f（﹣5）=　　． 参考答案： 【考点】抽象函数及其应用；函数奇偶性的性质． 【专题】综合题；转化思想；综合法；函数的性质及应用． 【分析】通过计算，确定f（n）=，即可得出结论． 【解答】解：令x=y=1，可得f（）==1，∴f（）=== f（2）==，f（）=，f（3）=， ∴f（n）= ∴f（5）=， ∵f（x）是偶函数， ∴f（﹣5）=f（5）=． 故答案为：． 【点评】本题考查抽象函数，考查赋值法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 15. （4分）在空间直角坐标系中，在z轴上求一点C，使得点C到点A（1，0，2）与点B（1，1，1）的距离相等，则点C的坐标为          ． 参考答案： （0，0，1） 考点： 空间中的点的坐标． 专题： 计算题． 分析： 根据点C在z轴上，设出点C的坐标，再根据C到A与到B的距离相等，由空间中两点间的距离公式求得AC，BC，解方程即可求得C的坐标． 解答： 解：设C（0，0，z） 由点C到点A（1，0，2）与点B（1，1，1）的距离相等，得 12+02+（z﹣2）2=12+12+（z﹣1）2解得z=1，故C（0，0，1） 故答案为：（0，0，1）． 点评： 考查空间两点间的距离公式，空间两点的距离公式和平面中的两点距离公式相比较记忆，利于知识的系统化，属基础题． 16. （5分）已知tanθ=﹣，则的值为           ． 参考答案： 考点： 三角函数的化简求值． 专题： 三角函数的求值． 分析： 直接利用同角三角函数的基本关系式化简求解即可． 解答： tanθ=﹣，则===﹣． 故答案为：． 点评： 本题考查萨迦寺的化简求值，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力． 17. 在二分法求方程f（x）=0在[0，4]上的近似解时，最多经过　　次计算精确度可以达到0.001． 参考答案： 12 【考点】二分法求方程的近似解． 【分析】精确度是方程近似解的一个重要指标，它由计算次数决定．若初始区间是（a，b），那么经过1次取中点后，区间的长度是，…，经过n次取中点后，区间的长度是，只要这个区间的长度小于精确度m，那么这个区间内的任意一个值都可以作为方程的近似解，由此可得结论． 【解答】解：初始区间是[0，4]，精确度要求是0.001，需要计算的次数n满足＜0.001，即2n＞4000， 而210=1024，211=2048，212=4096＞4000，故需要计算的次数是12． 故答案为：12 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知（为常数）． （1）求的递增区间； （2）若时，的最大值为4，求的值； （3）求出使取最大值时的集合． 参考答案： 解（1）当                        2分         即时，单调递增，           4分 的递递增区间为；                     5分 （2）， ，                           6分                                           8分     当时，有最大值为           9分      ；                                                    10分 （3）当R，则取最大值时，          12分      ，                                         13分  当R，使取得最大值时的集合为．    14分 略 19. 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①；②； ③；④； ⑤. (1) 利用计算器求出这个常数； (2) 根据(1)的计算结果，请你写出一个三角恒等式，使得上述五个等式是这个恒等式的特殊情况； （3）证明你写出的三角恒等式. 参考答案： 略 20. 已知指数函数y=g（x）满足：g（3）=8，定义域为R的函数f（x）=是奇函数． （1）确定y=g（x），y=f（x）的解析式； （2）若h（x）=f（x）+a在（﹣1，1）上有零点，求a的取值范围； （3）若对任意的t∈（﹣4，4），不等式f（6t﹣3）+f（t2﹣k）＜0恒成立，求实数k的取值范围． 参考答案： 【考点】函数恒成立问题；奇偶性与单调性的综合． 【分析】（1）设g（x）=ax（a＞0且a≠1），由g（3）=8可确定y=g（x）的解析式，故y=，依题意，f（0）=0可求得n，从而可得y=f（x）的解析式； （2）若h（x）=f（x）+a在（﹣1，1）上有零点，利用零点存在定理，由h（﹣1）h（1）＜0，可求a的取值范围； （3）由（2）知奇函数f（x）在R上为减函数，对任意的t∈（﹣4，4），不等式f（6t﹣3）+f（t2﹣k）＜0恒成立?6t﹣3＞k﹣t2，分离参数k，利用二次函数的单调性可求实数k的取值范围． 【解答】（本小题12分） （1）设g（x）=ax（a＞0且a≠1），∵g（3）=8，∴a3=8，解得a=2． ∴g（x）=2x．…（1分） ∴， ∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，∴ =0，∴n=1， ∴又f（﹣1）=f（1），∴=，解得m=2 ∴．… （2）由（1）知， 易知f（x）在R上为减函数，… 又h（x）=f（x）+a在（﹣1，1）上有零点， 从而h（﹣1）h（1）＜0，即，…（6分） ∴（a+）（a﹣）＜0， ∴﹣＜a＜， ∴a的取值范围为（﹣，）；…（8分） （3）由（1）知， 又f（x）